10.2: Potencia irradiada por un dipolo eléctrico corto

En esta sección, determinamos la potencia total irradiada por una antena de dipolo eléctrico corto (ESD) en respuesta a una corriente sinusoidalmente variable aplicada a los terminales de la antena. Este resultado es útil por sí mismo y necesario como resultado intermedio en la determinación de la impedancia de la ESD. La EDS se introduce en la Sección 9.5, y se sugiere una revisión de esa sección antes de intentar esta sección.

En la Sección 9.5, se muestra que la intensidad del campo eléctrico en el campo lejano de una ESD\(\hat{\bf z}\) orientada ubicada en el origen es

\[\widetilde{\bf E}({\bf r}) \approx \hat{\bf \theta} j \eta \frac{I_0\cdot\beta L}{8\pi} ~\left(\sin\theta\right) ~\frac{e^{-j\beta r}}{r} \label{m0207_eE} \]

donde\({\bf r}\) es el punto de campo,\(I_0\) es un número complejo que representa la magnitud pico y la fase de la corriente terminal variable sinusoidalmente,\(L\) es la longitud del ESD, y\(\beta\) es la constante de propagación de fase\(2\pi/\lambda\) donde\(\lambda\) es la longitud de onda. Tenga en cuenta que\(L\ll\lambda\) ya que se trata de una EDS. También tenga en cuenta que la Ecuación\ ref {M0207_EE} es válida solo para las condiciones de campo lejano\(r\gg L\) y\(r\gg \lambda\), y presume propagación en medios simples (lineales, homogéneos, invariables en el tiempo, isotrópicos) con pérdida insignificante.

Dado que ya tenemos alcance limitado al campo lejano, es razonable aproximar el campo electromagnético en cada punto de campo\({\bf r}\) como una onda plana que se propaga radialmente alejándose de la antena; es decir, en la\(\hat{\bf r}\) dirección. Bajo esta suposición, la densidad de potencia promedio en el tiempo es

\[{\bf S}({\bf r}) = \hat{\bf r}\frac{\left|\widetilde{\bf E}({\bf r})\right|^2}{2\eta} \nonumber \]

donde\(\eta\) está la impedancia de onda del medio. La potencia total\(P_{rad}\) irradiada por la antena se\({\bf S}({\bf r})\) integra simplemente sobre cualquier superficie cerrada\(\mathcal{S}\) que encierra la antena. Así:

\[P_{rad} = \oint_{\mathcal{S}} { {\bf S}({\bf r}) \cdot d{\bf s} } \nonumber \]

donde\(d{\bf s}\) está el elemento diferencial orientado hacia el exterior del área de superficie. En otras palabras, la densidad de potencia (W/m\(^2\)) integrada sobre un área (m\(^2\)) da potencia (W). Anticipando que este problema se abordará en coordenadas esféricas, observamos que

\[d{\bf s} = \hat{\bf r} r^2~\sin\theta~d\theta~d\phi \nonumber \]

y posteriormente:

\ begin {align} P_ {rad} &=\ int_ {\ theta=0} ^ {\ pi}\ int_ {\ phi=0} ^ {2\ pi} {\ pi} {\ left (\ hat {\ bf r}\ frac {\ izquierda|\ Widetilde {\ bf E} ({\ bf r})\ derecha|^2} {2\} eta\ derecha)\ punto\ izquierda (\ hat {\ bf r} r^2~\ sin\ theta~d\ theta~d\ phi\ derecha)}\ nonumber\\ &=\ frac {1} {2\ eta}\ int_ {\ theta=0} ^ {\ pi}\ int_ {\ phi=0} ^ {2\ pi} {\ tilft|\ ancho { \ bf E} ({\ bf r})\ derecha|^2 r^2\ sin\ theta~d\ theta~d\ phi}\ etiqueta {M0207_Eprad}\ end {align}

Volviendo a la Ecuación\ ref {M0207_EE}, observamos:

\[\left|\widetilde{\bf E}({\bf r})\right|^2 \approx \eta^2 \frac{\left|I_0\right|^2\left(\beta L\right)^2}{64\pi^2} ~\left(\sin\theta\right)^2 ~\frac{1}{r^2} \label{m0207_eE2} \]

La sustitución en Ecuación\ ref {M0207_Eprad} rinde:

\[P_{rad} \approx \eta \frac{\left|I_0\right|^2\left(\beta L\right)^2}{128\pi^2}\int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2\pi} { \sin^3 \theta~d\theta~d\phi } \nonumber \]

Tenga en cuenta que esto puede ser factorizado en integrales separadas sobre\(\theta\) y\(\phi\). La integral sobre\(\phi\) es simplemente\(2\pi\), dejando:

\[P_{rad} \approx \eta \frac{\left|I_0\right|^2\left(\beta L\right)^2}{64\pi}\int_{\theta=0}^{\pi} { \sin^3 \theta~d\theta } \nonumber \]

La integral restante es igual a\(4/3\), dejando:

\[\boxed{ P_{rad} \approx \eta \frac{\left|I_0\right|^2\left(\beta L\right)^2}{48\pi} } \label{m0207_ePT} \]

Esto completa la derivación, pero es útil para verificar unidades. Recordemos que\(\beta\) tiene unidades base SI de rad/m, por lo que\(\beta L\) tiene unidades de radianes. Esto deja\(\eta\left|I_0\right|^2\), que tiene unidades base SI de\(\Omega\)\(\cdot\) A\(^2\)\(=\) W, como se esperaba.

La potencia radiada por un ESD en respuesta a la corriente\(I_0\) aplicada en los terminales viene dada por la Ecuación\ ref {M0207_EPT}.

Finalmente, es útil considerar cómo diversos parámetros afectan la potencia radiada. Primero, tenga en cuenta que la potencia radiada es proporcional al cuadrado de la corriente del terminal. Segundo, señalar que el producto\(\beta L=2\pi L/\lambda\) es la longitud eléctrica de la antena; es decir, la longitud de la antena expresada en radianes, donde\(2\pi\) radianes es una longitud de onda. Así, vemos que la potencia irradiada por la antena aumenta a medida que el cuadrado de longitud eléctrica.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Potencia radiada por un ESD. Un dipolo mide 10 cm de largo y está rodeado de espacio libre. Una corriente sinusoidal que tiene frecuencia 30 MHz y magnitud pico 100 mA se aplica a los terminales de antena. ¿Cuál es la potencia que irradia la antena?

Solución

Si no se disipa energía dentro de la antena, entonces toda la energía se irradia. La longitud de onda\(\lambda=c/f \cong 10\) m, entonces\(L \cong 0.01\lambda\). Esto ciertamente califica como eléctricamente corto, por lo que podemos usar la Ecuación\ ref {M0207_EPT}. En el presente problema,\(\eta\cong 376.7~\Omega\) (la impedancia de onda espacial libre),\(I_0=100\) mA, y\(\beta=2\pi/\lambda\cong 0.628\) rad/m. Así, encontramos que la potencia radiada es de\(\approx\) 98.6\(\mu\) W.