10.6: Impedancia del dipolo eléctrico corto
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En esta sección, determinamos la impedancia de la antena de dipolo eléctrico corto (ESD). La teoría física de operación para la ESD se introduce en la Sección 9.5, y los aspectos adicionales relevantes de la antena ESD se abordan en las Secciones 10.1 — 10.4. El concepto de impedancia de antena se aborda en la Sección 10.5. Se sugiere revisar esas secciones antes de intentar esta sección.
La impedancia de cualquier antena puede expresarse como
\[Z_A = R_{rad} + R_{loss} +jX_A \nonumber \]
donde las cantidades de valor real\(R_{rad}\)\(R_{loss}\), y\(X_A\) representan la resistencia a la radiación, la resistencia a la pérdida y la reactancia de la antena, respectivamente.
Resistencia a la radiación
La resistencia a la radiación de cualquier antena se puede expresar como:
\[R_{rad} = 2P_{rad} \left|I_0\right|^{-2} \nonumber \]
donde\(\left|I_0\right|\) es la magnitud de la corriente en los terminales de la antena, y\(P_{rad}\) es la potencia total resultante irradiada. Para una ESD (Sección 10.2):
\[P_{rad} \approx \eta \frac{\left|I_0\right|^2\left(\beta L\right)^2}{48\pi} \label{m0204_ePT} \]
por lo
\[R_{rad} \approx \eta \frac{\left(\beta L\right)^2}{24\pi} \label{m0204_eRrad} \]
Es útil tener una forma alternativa de esta expresión en términos de longitud de onda\(\lambda\). Esto se deriva de la siguiente manera. Primero, tenga en cuenta:
\[\beta L = \frac{2\pi}{\lambda} L = 2\pi\frac{L}{\lambda} \nonumber \]
donde\(L/\lambda\) es la longitud de la antena en unidades de longitud de onda. Sustituyendo esta expresión en Ecuación\ ref {M0204_errad}:
\ begin {align} R_ {rad} &\ approx\ eta\ izquierda (2\ pi\ frac {L} {\ lambda}\ derecha) ^2\ frac {1} {24\ pi}\ nonumber\\ &\ approx\ eta\ frac {\ pi} {6}\ izquierda (\ frac {L} {\ lambda}\ derecha) ^2\ end {align}
Asumiendo condiciones de espacio libre\(\eta\cong 376.7~\Omega\),, que es\(\approx 120\pi~\Omega\). Posteriormente,
\[\boxed{ R_{rad} \approx 20\pi^2 \left(\frac{L}{\lambda}\right)^2 } \label{m0204_eRrad2} \]
Esta expresión notablemente simple indica que la resistencia a la radiación de una ESD es muy pequeña (ya que\(L\ll\lambda\) para una ESD), pero aumenta a medida que el cuadrado de la longitud.
En este punto, una advertencia está en regla. A veces se dice que la resistencia a la radiación de un “dipolo eléctrico corto” es\(80\pi^2 \left(L/\lambda\right)^2\); es decir, 4 veces el lado derecho de la Ecuación\ ref {M0204_errad2}. Este valor más alto no es para una EDS físicamente-realizable, sino para el dipolo hertziano (a veces también referido como un “dipolo ideal”). El dipolo hertziano es un dipolo eléctrico corto con una distribución de corriente que tiene una magnitud uniforme sobre la longitud del dipolo. 1 El dipolo hertziano es bastante difícil de realizar en la práctica, y casi todos los dipolos prácticos de corta electricidad exhiben una distribución de corriente más cercana a la de la ESD. El ESD tiene una distribución de corriente que es máxima en el centro y va aproximadamente linealmente a cero en los extremos. La diferencia del factor de 4 en la resistencia a la radiación del dipolo hertziano en relación con la (práctica) ESD es una consecuencia directa de la diferencia en las distribuciones de corriente.
Resistencia a la pérdida
La resistencia a la pérdida de la ESD se deriva en la Sección 10.3 y se encuentra que es
\[R_{loss} \approx \frac{L}{6a} \sqrt{\frac{\mu f}{\pi \sigma}} \label{m0204_eRloss} \]
donde\(a\)\(\mu\), y\(\sigma\) son el radio, la permeabilidad y la conductividad del cable que comprende la antena, y\(f\) es la frecuencia.
Reactancia
La reactancia de la ESD se aborda en la Sección 10.4. Una expresión adecuada para esta reactancia es (véase, por ejemplo, Johnson (1993) en “Referencias adicionales” al final de esta sección):
\[X_A \approx -\frac{120~\Omega}{\pi L/\lambda} \left[ \ln{\left(\frac{L}{2a}\right)}-1 \right] \label{m0204_eXA} \]
donde\(a\ll L\) se asume.
Una antena dipolo delgada y recta opera a 30 MHz en espacio libre. La longitud y el radio del dipolo son de 1 m y 1 mm respectivamente. El dipolo se compone de aluminio que tiene conductividad\(\approx 3.7 \times 10^7\) S/m y\(\mu\approx\mu_0\). ¿Cuál es la impedancia y eficiencia de radiación de esta antena?
Solución
La longitud de onda de espacio libre a\(f=30\) MHz es\(\lambda=c/f\cong10\) m. Por lo tanto\(L\cong 0.1\lambda\),, y esta es una ESD. Dado que se trata de una ESD, podemos calcular la resistencia a la radiación usando la Ecuación\ ref {M0204_errad2}, rindiendo\(R_{rad} \approx 1.97~\Omega\). El radio\(a=1\) mm y\(\sigma\approx 3.7 \times 10^7\) S/m; así, encontramos que la resistencia a la pérdida\(R_{loss} \approx 94.9~\mbox{m}\Omega\) usando la ecuación\ ref {M0204_erloss}. Usando la ecuación\ ref {M0204_exa}, se encuentra que la reactancia es\(X_A \approx -1991.8~\Omega\). Por lo tanto, la impedancia de esta antena es
\[\begin{aligned} Z_A &= R_{rad} + R_{loss} +jX_A \nonumber \\ &\approx \underline{2.1-j1991.8~\Omega}\end{aligned} \nonumber \]
y la eficiencia de radiación de esta antena es
\[e_{rad} = \frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{loss}} \approx \underline{95.4\%} \nonumber \]
En el ejemplo anterior, la eficiencia de radiación es respetable de 95.4%. Sin embargo, la parte real de la impedancia de la ESD es mucho menor que la impedancia característica de las líneas de transmisión típicas (típicamente 10s a 100s de ohmios). Otro problema es que la reactancia de la ESD es muy grande. Se requiere alguna forma de adaptación de impedancia para transferir energía de manera eficiente desde un transmisor o línea de transmisión a esta forma de antena. De no hacerlo, se reflejará una gran fracción del incidente de energía en los terminales de la antena. Una solución común es insertar inductancia en serie para reducir —nominalmente, cancelar— la reactancia negativa de la ESD. En el ejemplo anterior, se necesitaría alrededor de\(10~\mu\) H. El desajuste restante en los componentes de impedancia de valor real es relativamente fácil de mitigar usando técnicas comunes de adaptación de impedancia “real a real”.
Lectura adicional:
- Consulte la Sección 9.4 para obtener información adicional sobre el dipolo hertziano. ↩