3.2: Teoría de Líneas de Transmisión

En esta sección se desarrolla la teoría de la propagación de señales en líneas de transmisión. La primera sección, Sección 3.2.1, argumenta que un circuito con resistencias, inductores y capacitores es un buen modelo para una línea de transmisión. El desarrollo de la teoría de líneas de transmisión se presenta en la Sección 3.2.2. Las dimensiones de algunas de las cantidades que aparecen en la teoría de líneas de transmisión se discuten en la Sección 3.2.3. La Sección 3.2.4 resume los parámetros importantes de una línea sin pérdidas y luego una línea particularmente importante, la línea de microcinta, se considera en la Sección 3.2.5.

3.2.1 Línea de Transmisión Modelo RLGC

Independientemente de la estructura real, un segmento de línea de transmisión uniforme (es decir, una línea con sección transversal constante a lo largo de su longitud) como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) puede modelarse mediante el circuito mostrado en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b) con

\(\begin{array}{lr|l}{\text{Resistance along the line}}&{=R}&{}\\{\text{Inductance along the line}}&{=L}&{\text{all specified}}\\{\text{Conductance shunting the line}}&{=G}&{\text{per unit length}}\\{\text{Capacitance shunting the line}}&{=C}&{}\end{array}\)

\(R,\: L,\: G,\)y\(C\) se denominan resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia por unidad de longitud. (A veces p.u.l. se usa como taquigrafía para por unidad de longitud.) En el sistema métrico se utilizan ohmios por metro (\(\Omega\text{/m}\)), henries por metro (\(\text{H/m}\)), siemens por metro (\(\text{S/m}\)) y faradios por metro (F/m), respectivamente. Los valores de\(R,\: L,\: G,\) y\(C\) se ven afectados por la geometría de la línea de transmisión y por las propiedades eléctricas de los dieléctricos y conductores. \(C\)describe la capacidad de almacenar energía eléctrica y se debe principalmente a las propiedades del dieléctrico. \(G\)describe la pérdida en el dieléctrico que deriva de la conducción en el dieléctrico y de la relajación dieléctrica. La mayoría de los sustratos de microondas tienen conductividad insignificante por lo que la pérdida dieléctrica domina. La pérdida de relajación dieléctrica es el resultado del movimiento de los centros de carga que resultan en la distorsión de la red dieléctrica (si es un cristal) o estructura molecular. La variación periódica del\(E\) campo transfiere energía del campo EM a vibraciones mecánicas. \(R\)se debe a la pérdida óhmica en el metal más que a cualquier otra cosa. \(L\)describe la capacidad de almacenar energía magnética y es principalmente una función de la geometría, ya que la mayoría de los materiales utilizados con las líneas de transmisión tienen\(\mu_{r} = 1\) (por lo que no se almacena más energía magnética que en un vacío).

Para la mayoría de las líneas los efectos se deben\(L\) y\(C\) dominan debido a la resistencia en serie relativamente baja y la conductancia de derivación. Las características de propagación de la línea se describen por su línea equivalente sin pérdidas, o sin pérdidas, aunque en la práctica alguna información sobre\(R\) o\(G\) es necesaria para determinar las pérdidas de potencia. El concepto sin pérdidas es solo una aproximación útil y buena.

Figura\(\PageIndex{1}\): Segmento de línea de transmisión: (a) de longitud\(\Delta z\); y (b) modelo de lumpedelement.

3.2.2 Derivación de Propiedades de Línea de Transmisión

En esta sección se derivan las ecuaciones diferenciales que rigen la propagación de señales en una línea de transmisión. Estas son ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden y son similares a las ecuaciones de Maxwell en una dimensión. La solución de las ecuaciones diferenciales describe cómo se propagan las señales, y conduce a la extracción de algunos parámetros que describen las propiedades de la línea de transmisión.

Nota

\(V(z)\)es un fasor y\(v(z, t) =\Re\{ V(z)e^{\jmath\omega t}\}\). \(\Re\{\omega\}\)denota la parte real de\(\omega\), un número complejo.

Aplicando las leyes de Kirchoff aplicadas al modelo de la Figura\(\PageIndex{1}\) (b) y tomando el límite como\(\Delta x\to 0\) ecuaciones de línea de transmisión

\[\label{eq:1} \frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-Ri(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t} \]

\[\label{eq:2} \frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=-Gv(z,t)-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t} \]

En estado estacionario sinusoidal usando fasores basados en coseno, estos se convierten en

\[\label{eq:3}\frac{dV(z)}{dz}=-(R+\jmath\omega L)I(z) \]

y

\[\label{eq:4}\frac{dI(z)}{dz}=-(G+\jmath\omega C)V(z) \]

Al eliminar\(I(z)\) en lo anterior se obtiene la ecuación de onda para\(V(z)\):

\[\label{eq:5}\frac{d^{2}V(z)}{dz^{2}}-\gamma ^{2}V(z)=0 \]

Del mismo modo

\[\label{eq:6}\frac{d^{2}I(z)}{dz^{2}}-\gamma ^{2}I(z)=0 \]

donde la constante de propagación es

\[\label{eq:7}\gamma =\alpha +\jmath\beta =\sqrt{(R+\jmath\omega L)(G+\jmath\omega C)} \]

con unidades SI de\(\text{m}^{−1}\) y donde\(\alpha\) es el coeficiente de atenuación y tiene unidades de nepers por metro (\(\text{Np/m}\)), y\(\beta\) es el coeficiente de cambio de fase, o constante de fase, y tiene unidades de radianes por metro (\(\text{rad/m}\)o\(\text{radians/m}\)). Nepers y radianes son unidades adimensionales, pero sirven como indicaciones para lo que se refiere.

Ecuaciones\(\eqref{eq:5}\) y\(\eqref{eq:6}\) son ecuaciones diferenciales de segundo orden que tienen soluciones de la forma

\[\label{eq:8}V(z)=V_{0}^{+}e^{-\gamma z}+V_{0}^{-}e^{\gamma z} \]

y

\[\label{eq:9} I(z)=I_{0}^{+}e^{-\gamma z}+I_{0}^{-}e^{\gamma z} \]

La interpretación física de estas soluciones es que\(V^{+}(z)=V_{0}^{+}e^{-\gamma z}\) y\(I^{+}(z)=I_{0}^{+}e^{-\gamma z}\) son olas que viajan hacia adelante (moviéndose en la\(+z\) dirección) y\(V^{-}(z)=V_{0}^{-}e^{\gamma z}\) y\(I^{-}(z)=I_{0}^{-}e^{\gamma z}\) son ondas que viajan hacia atrás (moviéndose en la\(−z\) dirección). \(V(z),\:V_{0}^{+},\:V_{0}^{-},\:I(z),\:I_{0}^{+}\)y todos\(I_{0}^{-}\) son fasores. La ecuación de sustitución\(\eqref{eq:8}\) en la ecuación\(\eqref{eq:3}\) da como resultado

\[\label{eq:10}I(z)=\frac{\gamma}{R+\jmath\omega L}\left[ V_{0}^{+}e^{-\gamma z}-V_{0}^{-}e^{\gamma z}\right] \]

Luego de Ecuaciones\(\eqref{eq:10}\) y\(\eqref{eq:9}\)

\[\label{eq:11} I_{0}^{+}=\frac{\gamma}{R+\jmath\omega L}V_{0}^{+}\qquad\text{and}\qquad I_{0}^{-}=\frac{\gamma}{R+\jmath\omega L}(-V_{0}^{-} \]

La impedancia característica se define como

\[\label{eq:12} Z_{0}=\frac{V_{0}^{+}}{I_{0}^{+}}=\frac{-V_{0}^{-}}{I_{0}^{-}}=\frac{R+\jmath\omega L}{\gamma}=\sqrt{\frac{R+\jmath\omega L}{G+\jmath\omega C}} \]

con la unidad SI de ohmios (\(\Omega\)). Ecuaciones\(\eqref{eq:8}\) y se\(\eqref{eq:9}\) pueden reescribir como

\[\label{eq:13} V(z)=V_{0}^{+}e^{-\gamma z}+V_{0}^{-}e^{\gamma z} \]

y

\[\label{eq:14}I(z)=\frac{V_{0}^{+}}{Z_{0}}e^{-\gamma z}-\frac{V_{0}^{-}}{Z_{0}}e^{\gamma z} \]

Conversión de nuevo al dominio de tiempo:

\[\label{eq:15}v(z,t)=|V_{0}^{+}|\cos (\omega t-\beta z+\varphi ^{+})e^{-\alpha z}+|V_{0}^{-}|\cos (\omega t+\beta z+\varphi^{-})e^{\alpha z} \]

donde\(\varphi^{+}\) y\(\varphi^{-}\) son fases de las olas que viajan hacia adelante y hacia atrás, respectivamente. Los fasores de las ondas de voltaje circulantes son

\[\label{eq:16}V_{0}^{+}(z)=|V_{0}^{+}|e^{\jmath\varphi^{+}}e^{-\jmath\beta z}\qquad\text{and}\qquad V_{0}^{-}(z)=|V_{0}^{-}|e^{\jmath\varphi^{-}}e^{\jmath\beta z} \]

Se definen las siguientes cantidades:

\[\begin{align}\label{eq:17}\text{Characteristic impedance:}& \quad Z_{0}=\sqrt{(R+\jmath\omega L)(G+\jmath\omega C)} \\ \label{eq:18}\text{Propagation constant:}&\quad\gamma=\sqrt{(R+\jmath\omega L)(G+\jmath\omega C)}\\ \label{eq:19}\text{Attenuation constant:}& \quad\alpha =\Re \left\{\gamma\right\} \\ \label{eq:20}\text{Phase constant:}&\quad\beta =ℑ\left\{\gamma\right\} \\ \label{eq:21}\text{Wavenumber:}&\quad k=-\jmath\gamma \\ \label{eq:22}\text{Phase velocity:}&\quad v_{p}=\omega /\beta \\ \label{eq:23}\text{Wavelength:}&\quad\lambda =\frac{2\pi}{|\gamma |}=\frac{2\pi}{|k|} \end{align} \]

donde\(\omega = 2πf\) es la frecuencia de radianes y\(f\) es la frecuencia con las unidades SI de hertz (\(\text{Hz}\)). El número de onda tal\(k\) como se define aquí se usa en electromagnetismo y en lo que respecta a la propagación de ondas. Considerando una de las ondas viajeras, la velocidad de fase se refiere a la velocidad aparente de la cual un punto de fase constante en la onda sinusoidal parece moverse.

El resultado importante aquí es que se puede definir una onda de voltaje (y una onda de corriente) en una línea de transmisión. Se necesita introducir un parámetro más: la velocidad del grupo,

\[\label{eq:24}v_{g}=\frac{\partial\omega}{\partial\beta} \]

La velocidad de grupo es la velocidad de la envolvente de una forma de onda modulada y describe qué tan rápido se propaga la información. Es la velocidad a la que se mueve la energía (es decir, la información) en la forma de onda. Así la velocidad del grupo nunca puede ser mayor que la velocidad de la luz en un vacío,\(c\). Velocidad de fase, sin embargo, puede ser más de\(c\). Si la velocidad a la que se mueve la información varía con la frecuencia, entonces una señal como un pulso se extenderá. Se dice que tal línea tiene dispersión. Para una línea sin pérdidas, sin dispersión, la velocidad de grupo y fase son las mismas. Si la velocidad de fase es independiente de la frecuencia, entonces\(\beta\) es linealmente proporcional a\(\omega\).

La longitud eléctrica se utiliza en diseños previos a establecer la longitud física de una línea. La longitud eléctrica se expresa ya sea como una fracción de una longitud de onda o en grados (o radianes), donde una longitud de onda corresponde a\(360^{\circ}\) (o\(2π\text{ radians}\)). Si\(\ell\) es su longitud física, la longitud eléctrica de la línea en radianes es\(\beta\ell\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Physical and Electrical Length

Una línea de transmisión es\(10\text{ cm}\) larga y a la frecuencia de operación la constante de fase\(\beta\) es\(30\text{ rad/m}\). ¿Cuál es la longitud eléctrica de la línea?

Solución

La longitud física de la línea es\(\ell = 10\text{ cm} = 0.1\text{ m}\). Entonces la longitud eléctrica de la línea es\(\ell_{e} =\beta\ell = (30\text{ rad/m})\times 0.1\text{ m} = 3\text{ radians}\). La longitud eléctrica también se puede expresar en términos de longitud de onda señalando que\(360^{\circ}\) corresponde a\(2π\text{ radians}\), que también corresponde a\(\lambda\). Así\(\ell_{e} = (3\text{ radians})=3\times 360/(2π) = 171.9^{\circ}\) o\(\ell_{e} = 3/(2π)\lambda = 0.477\lambda\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): \(RLGC\) Parameters

Una línea de transmisión tiene los\(RLGC\) parámetros\(R = 100\:\Omega\text{/m},\: L = 80\text{ nH/m},\: G = 1.6\text{ S/m}\), y\(C = 200\text{ pF/m}\). Considera una ola viajera\(2\text{ GHz}\) en la línea.

1. ¿Cuál es la constante de atenuación?
2. ¿Cuál es la constante de fase?
3. ¿Cuál es la velocidad de fase?
4. ¿Cuál es la impedancia característica de la línea?
5. ¿Cuál es la velocidad del grupo?

Solución

1. \(\alpha :\gamma =\alpha +\jmath\beta =\sqrt{(R+\jmath\omega L)(G+\jmath\omega C)};\quad\omega =12.57\cdot 10^{9}\text{ rad/s}\)
   \[\gamma =\sqrt{(100+\jmath\omega\cdot 80\cdot 10^{-9})(1.6+\jmath\omega 200\times 10^{-12})}=(17.94+\jmath 51.85)\text{m}^{-1}\nonumber \]
   \[\alpha =\Re\left\{\gamma\right\} =17.94\text{ Np/m}\nonumber \]
2. Constante de fase:\(\beta =ℑ\left\{\gamma\right\} =51.85\text{ rad/m}\)
3. Velocidad de fase:
   \[v_{p}=\frac{\omega}{\beta}=\frac{2\pi f}{\beta}=\frac{12.57\times 10^{9}\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}}{51.85\text{rad}\cdot\text{m}^{-1}}=2.42\times 10^{8}\text{ m/s}\nonumber \]
4. \(Z_{0}=(R+\jmath\omega L)/\gamma =(100+\jmath\omega\cdot 80\cdot 10^{-9})/(17.94+\jmath 51.85)=(17.9+\jmath 4.3)\Omega\)
   Tenga en cuenta también eso\(Z_{0}=\sqrt{(R+\jmath\omega L)/(G+\jmath\omega C)}\), lo que arroja la misma respuesta.
5. Velocidad de grupo: Se utilizarán derivados
   \[v_{g}=\frac{\partial\omega}{\partial\beta}|_{f=2\text{ GHz}}\nonumber \]
   numéricos, así\(v_{g}=\Delta\omega /\Delta\beta\). Ahora ya\(\beta\) se conoce en\(2\text{ GHz}\). En\(1.9\text{ GHz},\:\gamma =17.884+\jmath 49.397\text{ m}^{-1}\), y así\(\beta =49.397\text{ rad/m}\).
   \[v_{g}=\frac{2\pi (2\text{ GHz}-1.9\text{ GHz})}{\beta (2\text{ GHz})-\beta (1.9\text{ GHz})}=\frac{2\pi (2-1.9)10^{9}\text{ Hz}}{(51.85-49.397)\text{ m}^{-1}}=2.563\times 10^{8}\text{ m/s}\nonumber \]
   (Tenga en cuenta que\(\text{Hz} = \text{s}^{-1}\). Tenga en cuenta que\(v_{g}\neq= v_{p}\), y así la línea de transmisión tiene dispersión.)

3.2.3 Dimensiones de\(\gamma ,\alpha ,\) y\(\beta\)

La unidad SI de\(\gamma\) son metros inversos (\(\text{m}^{−1}\)) y la constante de atenuación,\(\alpha\), y la constante de fase\(\beta\),, tienen, estrictamente hablando, las mismas unidades. Sin embargo, la convención es introducir las cantidades adimensionales Néper y radián para transmitir información adicional. Así la constante de atenuación\(\alpha\) tiene las unidades de Nepers por metro (\(\text{Np/m}\)) y la constante de fase\(\beta\) tiene las unidades radianes por metro (\(\text{rad/m}\)). La unidad Néper proviene del nombre del\(e (= 2.7182818284590452354\ldots )\) símbolo (escrito en fuente vertical y no en cursiva ya que es una constante), que se llama el Neper.

Nota

El nombre para e deriva de John Napier, quien desarrolló la teoría de logaritmos [2]. \(e\)a veces se llama constante de Euler

El Néper se utiliza en el cálculo de niveles de señal de línea de transmisión, como en Ecuaciones\(\eqref{eq:8}\) y\(\eqref{eq:9}\). Las constantes de atenuación y fase a menudo se separan y luego la constante de atenuación describe la disminución en la amplitud de la señal a medida que la señal viaja por una línea de transmisión. Entonces\(\alpha\ell = 1\text{ Np}\), cuando, dónde\(\ell\) está la longitud de la línea, la señal ha disminuido a\(1/e\) de su valor original, y la potencia cae a\(1/e^{2}\) de su valor original. La disminución en el nivel de señal representa pérdida y se utilizan con las unidades de decibelios por metro (\(\text{dB/m}\))\(1\text{ Np} = 20 \log e = 8.6858896381\text{ dB}\). Entonces expresando\(\alpha\) como\(1\text{ Np/m}\) es lo mismo que decir que la pérdida de atenuación es\(8.6859\text{ dB/m}\). Para convertir de\(\text{dB}\) a\(\text{Np}\) multiplicar por\(0.1151\). Así\(\alpha = x\text{ dB/m} = x\times 0.1151\text{ Np/m}\).

Nota

En ingeniería\(\log x ≡ \log_{10} x\) y\(\ln x ≡ \log_{e} x\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Transmission Line Characteristics

Una línea tiene una atenuación de\(10\text{ dB/m}\) y una constante de fase de\(50\text{ radians/m}\) at\(2\text{ GHz}\).

1. ¿Cuál es la constante de propagación compleja de la línea de transmisión?
2. Si la capacitancia de la línea es\(100\text{ pF/m}\) y la pérdida conductora es cero (es decir,\(G = 0\)), ¿cuál es la impedancia característica de la línea?

Solución

1. \(\alpha |_{\text{Np}}=0.1151\times\alpha |_{\text{dB}}=0.1151\times (10\text{ dB/m})=1.151\text{ Np/m},\:\beta =50\text{ rad/m}\)
   Constante de propagación,\(\gamma =\alpha +\jmath\beta =(1.151+\jmath 50)\text{ m}^{-1}\)
2. \(\gamma =\sqrt{(R+\jmath\omega L)(G+\jmath\omega C)}\), y\(Z_{0}=\sqrt{(R+\jmath\omega L)/(G+\jmath\omega C)}\), por tanto\(Z_{0}=\gamma /(G+\jmath\omega C);\: w=2\pi\cdot 2\times 10^{9}\text{ s}^{-1};\: G=0;\:C=100\times 10^{-12}\text{ F}\), así\(Z_{0}=39.8-\jmath 0.916\:\Omega\).

3.2.4 Línea de transmisión sin pérdidas

Si el conductor y el dieléctrico son ideales (es decir, sin pérdidas), entonces R = 0= G y las ecuaciones para las características de la línea de transmisión simplifican. Los parámetros de la línea de transmisión de Ecuaciones\(\eqref{eq:12}\) y\(\eqref{eq:18}\) -\(\eqref{eq:23}\) son entonces

\[\begin{align}\label{eq:25}&Z_{0}=\sqrt{\frac{L}{C}} \\ \label{eq:26} &\alpha =0\\ \label{eq:27}&\beta =\omega\sqrt{LC} \\ \label{eq:28} &v_{p}=1/\sqrt{LC} \\ \label{eq:29}&\lambda_{g}=\frac{2\pi}{\omega\sqrt{LC}}=\frac{v_{p}}{f} \end{align} \]

3.2.5 Línea Microstrip

En la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) se muestra una línea de microcinta. Esta es una línea de transmisión de uso común, ya que puede fabricarse a bajo costo utilizando técnicas de placa de circuito impreso. Esta línea consiste en un sustrato con respaldo metálico de permitividad relativa\(\varepsilon_{r}\) sobre el cual se encuentra una tira metálica. Por encima de eso está el aire. El

Figura\(\PageIndex{1}\): Línea de transmisión Microstrip. La vista de diseño (o superior) se usa comúnmente con diseños de circuitos que utilizan microcinta. Este es el patrón de la tira donde (b) muestra tres líneas de diferente anchura.

Figura\(\PageIndex{2}\): Dependencia\(Z_{0}\) de una línea de microcinta\(1\text{ GHz}\) para varias relaciones\(\varepsilon_{r}\) y aspecto (\(w/h\)). Calculado mediante simulación EM.

Figura\(\PageIndex{3}\): Dependencia de la permitividad relativa efectiva\(\varepsilon_{e}\) de una línea de microcinta\(1\text{ GHz}\) para diversas permitividades y relaciones de aspecto (\(w/h\)).

ancho de la tira determina la impedancia característica de la línea. La impedancia característica de las líneas de microcinta que tienen varios anchos de banda se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) para varias permitividades de sustrato. Entonces, cuanto más ancha es la tira y mayor es la permitividad del sustrato, menor es la impedancia característica de la línea. Los campos EM están parcialmente en el aire y en parte en el dieléctrico y se debe utilizar una permitividad efectiva al calcular la longitud eléctrica de la línea. Los resultados de simulaciones de campo de la permitividad efectiva de líneas de diversos anchos y con diversas permitividades de sustrato se muestran en la Figura\(\PageIndex{3}\), donde se puede observar que la permitividad relativa efectiva,\(\varepsilon_{e}\), aumenta para tiras anchas. Esto se debe a que más del campo EM está en el sustrato. Las estructuras de líneas de transmisión de microcinta a menudo se dibujan mostrando solo el diseño de la tira, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b), donde las tres líneas tienen diferentes impedancias características. El siguiente capítulo presenta análisis detallados de microcinta y otras líneas de transmisión planas.

3.2.6 Resumen

La conclusión importante de esta sección es que una señal se mueve en una línea de transmisión como ondas que viajan hacia adelante y hacia atrás. La energía transferida está en las olas viajeras. El voltaje y la corriente totales en un punto de la línea es la suma de las ondas de voltaje y corriente de desplazamiento, respectivamente, pero la vista voltaje/corriente total no es suficiente para describir cómo funciona una línea de transmisión. La teoría de la línea de transmisión se desarrolla en términos de voltajes de desplazamiento y ondas de corriente y estos son similares a una forma onedimensional de las ecuaciones de Maxwell.