6.4: Líneas de transmisión acopladas simétricas

En esta sección, se considera que los modos par e impar definen líneas de transmisión independientes. El desarrollo está restringido a un par simétrico de líneas acopladas. Así, las tiras tienen la misma autoinductancia\(L_{s} = L_{11} = L_{22}\), y autocapacitancia\(C_{s} = C_{11} = C_{22}\), donde el subíndice\(s\) significa “yo”. \(L_{m} = L_{12} = L_{21}\)y\(C_{m} = C_{12} = C_{21}\) son la inductancia mutua y capacitancia de las líneas, y el subíndice\(m\) significa “mutuo”. Las ecuaciones de línea de transmisión acopladas son

\[\label{eq:1}\frac{dV_{1}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{s}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{m}I_{2}(x) \]

\[\label{eq:2}\frac{dV_{2}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{m}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{s}I_{2}(x) \]

\[\label{eq:3}\frac{dI_{1}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{s}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{m}V_{2}(x) \]

\[\label{eq:4}\frac{dI_{2}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{m}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{s}V_{2}(x) \]

El modo par se define como el modo correspondiente a que ambos conductores estén al mismo potencial y transporten las mismas corrientes: \(^{1}\)

\[\label{eq:5}V_{1}=V_{2}=V_{2}\quad\text{and}\quad I_{1}=I_{2}=I_{2} \]

El modo impar se define como el modo correspondiente a que los conductores estén en potenciales opuestos con respecto al conductor de referencia y transportando corrientes de igual amplitud pero de signo opuesto: \(^{2}\)

\[\label{eq:6}V_{1}=-V_{2}=V_{o}\quad\text{and}\quad I_{1}=-I_{2}=I_{o} \]

A continuación se describen las características de los dos modos posibles de las líneas de transmisión acopladas. Para el modo par, de Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) y\(\eqref{eq:2}\),

\[\label{eq:7}\frac{d}{dx}\left[V_{1}(x)+V_{2}(x)\right] =-\jmath\omega\left[ L_{m}+L_{s}\right]\left[ I_{1}(x)+I_{2}(x)\right] \]

que se convierte

\[\label{eq:8}\frac{dV_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega (L_{s}+L_{m})I_{e}(x) \]

Del mismo modo, utilizando Ecuaciones\(\eqref{eq:3}\) y\(\eqref{eq:4}\),

\[\label{eq:9}\frac{d}{dx}\left[I_{1}(x)+I_{2}(x)\right]=-\jmath\omega (C_{s}+C_{m})\left[V_{1}(x)+V_{2}(x)\right] \]

que a su vez se convierte

\[\label{eq:10}\frac{dI_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega (C_{s}+C_{m})V_{e}(x) \]

Definir la inductancia y capacitancia de modo par,\(L_{e}\) y\(C_{e}\), respectivamente, como

\[\label{eq:11}L_{e}=L_{s}+L_{m}=L_{11}+L_{12}\quad\text{and}\quad C_{e}=C_{s}+C_{m}=C_{11}+C_{12} \]

conduce a las ecuaciones del telégrafo de modo par:

\[\label{eq:12}\frac{dV_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{e}I_{e}(x) \]

y

\[\label{eq:13}\frac{dI_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{e}V_{e}(x) \]

A partir de estos, se puede encontrar la impedancia característica de modo par,

\[\label{eq:14}Z_{0e}=\sqrt{\frac{L_{e}}{C_{e}}}=\sqrt{\frac{L_{s}+L_{m}}{C_{s}+C_{m}}} \]

y también la velocidad de fase de modo par,

\[\label{eq:15}v_{pe}=\frac{1}{\sqrt{L_{e}C_{e}}} \]

Las características de la operación en modo impar de la línea de transmisión acoplada se pueden determinar en un procedimiento similar al utilizado para el modo par. Usando Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) —\(\eqref{eq:4}\), las ecuaciones del telégrafo de modo impar se convierten en

\[\label{eq:16}\frac{dV_{o}(x)}{dx}=-\jmath\omega (L_{s}-L_{m})I_{o}(x) \]

y

\[\label{eq:17}\frac{dI_{o}(x)}{dx}=-\jmath\omega (C_{s}-C_{m})V_{o}(x) \]

Definir\(L_{o}\) y\(C_{o}\) para el modo impar tal que

\[\label{eq:18}L_{o}=L_{s}-L_{m}=L_{11}-L_{12}\quad\text{and}\quad C_{o}=C_{s}-C_{m}=C_{11}-C_{12} \]

entonces la impedancia característica de modo impar es

\[\label{eq:19}Z_{0o}=\sqrt{\frac{L_{o}}{C_{o}}}=\sqrt{\frac{L_{s}-L_{m}}{C_{s}-C_{m}}} \]

y la velocidad de fase de modo impar es

\[\label{eq:20}v_{po}=\frac{1}{\sqrt{L_{o}C_{o}}} \]

Ahora para un chequeo de cordura. Si las tiras individuales están ampliamente separadas,\(L_{m}\) y se\(C_{m}\) volverán muy pequeñas\(Z_{0e}\) y y\(Z_{0o}\) serán casi iguales. A medida que las tiras se acercan,\(L_{m}\) y se\(C_{m}\) harán más grandes\(Z_{0e}\) y y\(Z_{0o}\) divergirán. Esto es como se esperaba.

Notas al pie

[1] Aquí\(I_{e}=(I_{1}+I_{2})/2\) y\(V_{e}=(V_{1}+V_{2})/2\).

[2] Aquí\(I_{o}=(I_{1}-I_{2})/2\) y\(V_{o}=(V_{1}-V_{2})/2\).