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# 6.4: Líneas de transmisión acopladas simétricas

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En esta sección, se considera que los modos par e impar definen líneas de transmisión independientes. El desarrollo está restringido a un par simétrico de líneas acopladas. Así, las tiras tienen la misma autoinductancia$$L_{s} = L_{11} = L_{22}$$, y autocapacitancia$$C_{s} = C_{11} = C_{22}$$, donde el subíndice$$s$$ significa “yo”. $$L_{m} = L_{12} = L_{21}$$y$$C_{m} = C_{12} = C_{21}$$ son la inductancia mutua y capacitancia de las líneas, y el subíndice$$m$$ significa “mutuo”. Las ecuaciones de línea de transmisión acopladas son

$\label{eq:1}\frac{dV_{1}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{s}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{m}I_{2}(x)$

$\label{eq:2}\frac{dV_{2}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{m}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{s}I_{2}(x)$

$\label{eq:3}\frac{dI_{1}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{s}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{m}V_{2}(x)$

$\label{eq:4}\frac{dI_{2}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{m}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{s}V_{2}(x)$

El modo par se define como el modo correspondiente a que ambos conductores estén al mismo potencial y transporten las mismas corrientes: $$^{1}$$

$\label{eq:5}V_{1}=V_{2}=V_{2}\quad\text{and}\quad I_{1}=I_{2}=I_{2}$

El modo impar se define como el modo correspondiente a que los conductores estén en potenciales opuestos con respecto al conductor de referencia y transportando corrientes de igual amplitud pero de signo opuesto: $$^{2}$$

$\label{eq:6}V_{1}=-V_{2}=V_{o}\quad\text{and}\quad I_{1}=-I_{2}=I_{o}$

A continuación se describen las características de los dos modos posibles de las líneas de transmisión acopladas. Para el modo par, de Ecuaciones$$\eqref{eq:1}$$ y$$\eqref{eq:2}$$,

$\label{eq:7}\frac{d}{dx}\left[V_{1}(x)+V_{2}(x)\right] =-\jmath\omega\left[ L_{m}+L_{s}\right]\left[ I_{1}(x)+I_{2}(x)\right]$

que se convierte

$\label{eq:8}\frac{dV_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega (L_{s}+L_{m})I_{e}(x)$

Del mismo modo, utilizando Ecuaciones$$\eqref{eq:3}$$ y$$\eqref{eq:4}$$,

$\label{eq:9}\frac{d}{dx}\left[I_{1}(x)+I_{2}(x)\right]=-\jmath\omega (C_{s}+C_{m})\left[V_{1}(x)+V_{2}(x)\right]$

que a su vez se convierte

$\label{eq:10}\frac{dI_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega (C_{s}+C_{m})V_{e}(x)$

Definir la inductancia y capacitancia de modo par,$$L_{e}$$ y$$C_{e}$$, respectivamente, como

$\label{eq:11}L_{e}=L_{s}+L_{m}=L_{11}+L_{12}\quad\text{and}\quad C_{e}=C_{s}+C_{m}=C_{11}+C_{12}$

conduce a las ecuaciones del telégrafo de modo par:

$\label{eq:12}\frac{dV_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{e}I_{e}(x)$

y

$\label{eq:13}\frac{dI_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{e}V_{e}(x)$

A partir de estos, se puede encontrar la impedancia característica de modo par,

$\label{eq:14}Z_{0e}=\sqrt{\frac{L_{e}}{C_{e}}}=\sqrt{\frac{L_{s}+L_{m}}{C_{s}+C_{m}}}$

y también la velocidad de fase de modo par,

$\label{eq:15}v_{pe}=\frac{1}{\sqrt{L_{e}C_{e}}}$

Las características de la operación en modo impar de la línea de transmisión acoplada se pueden determinar en un procedimiento similar al utilizado para el modo par. Usando Ecuaciones$$\eqref{eq:1}$$$$\eqref{eq:4}$$, las ecuaciones del telégrafo de modo impar se convierten en

$\label{eq:16}\frac{dV_{o}(x)}{dx}=-\jmath\omega (L_{s}-L_{m})I_{o}(x)$

y

$\label{eq:17}\frac{dI_{o}(x)}{dx}=-\jmath\omega (C_{s}-C_{m})V_{o}(x)$

Definir$$L_{o}$$ y$$C_{o}$$ para el modo impar tal que

$\label{eq:18}L_{o}=L_{s}-L_{m}=L_{11}-L_{12}\quad\text{and}\quad C_{o}=C_{s}-C_{m}=C_{11}-C_{12}$

entonces la impedancia característica de modo impar es

$\label{eq:19}Z_{0o}=\sqrt{\frac{L_{o}}{C_{o}}}=\sqrt{\frac{L_{s}-L_{m}}{C_{s}-C_{m}}}$

y la velocidad de fase de modo impar es

$\label{eq:20}v_{po}=\frac{1}{\sqrt{L_{o}C_{o}}}$

Ahora para un chequeo de cordura. Si las tiras individuales están ampliamente separadas,$$L_{m}$$ y se$$C_{m}$$ volverán muy pequeñas$$Z_{0e}$$ y y$$Z_{0o}$$ serán casi iguales. A medida que las tiras se acercan,$$L_{m}$$ y se$$C_{m}$$ harán más grandes$$Z_{0e}$$ y y$$Z_{0o}$$ divergirán. Esto es como se esperaba.

## Notas al pie

[1] Aquí$$I_{e}=(I_{1}+I_{2})/2$$ y$$V_{e}=(V_{1}+V_{2})/2$$.

[2] Aquí$$I_{o}=(I_{1}-I_{2})/2$$ y$$V_{o}=(V_{1}-V_{2})/2$$.

This page titled 6.4: Líneas de transmisión acopladas simétricas is shared under a CC BY-NC license and was authored, remixed, and/or curated by Michael Steer.