10.12: Coincidencia usando la Gráfica Smith

El propósito de esta sección es utilizar el gráfico Smith para presentar varias opciones de diseño para hacer coincidir una fuente con una carga, ver Figura\(\PageIndex{1}\). Los diseños aquí proporcionan otra vista del diseño usando el gráfico Smith.

10.9.1 Localización de los puntos de diseño

La primera elección de diseño que se debe hacer es la impedancia de referencia a usar. Aquí se\(Z_{\text{REF}} = 50\:\Omega\) elegirá en gran parte porque esto está en el centro del espacio de diseño para líneas de microcinta. Generalmente la impedancia característica,\(Z_{0}\), de una línea de microcinta necesita estar entre\(20\:\Omega\) y\(100\:\Omega\). Una línea de microcinta con\(Z_{0} < 20\:\Omega\) será amplia y existe la posibilidad de multimodal debido a la resonancia transversal. También una\(20\:\Omega\) línea es aproximadamente seis veces más ancha que una\(50\:\Omega\) línea y así ocupa mucho espacio y hay muchas posibilidades de que pueda estar cerca de otras líneas de microcinta o tal vez de la pared de un recinto. Esto se basa en la regla general (desarrollada en el Ejemplo 3.4 de [2].) que\(Z_{0} \propto\sqrt{h/w}\) donde\(h\) está el grosor del sustrato y\(w\) es el ancho de la tira. El espesor suele ser fijo. Si\(Z_{0} > 100\:\Omega\) la impedancia característica es acercarse a la impedancia de onda del espacio libre o del dieléctrico del sustrato. Como tal, es probable que las líneas de campo no estén fuertemente restringidas por el metal de la tira y es más probable que los campos puedan irradiar. Entonces la pérdida de radiación puede ser alta o el acoplamiento a una microtira vecina puede ser alta.

Las impedancias normalizadas de fuente y carga son\(z_{S} = Z_{S}/Z_{\text{REF}} = [(29.36 − \jmath 12.05)\:\Omega ]/(50\:\Omega ) = 0.587 − \jmath 0.241\) y\(z_{L} = Z_{L}/Z_{\text{REF}} = [(132.7 − \jmath 148.8)\:\Omega /(50\:\Omega ) = 2.655 − \jmath 2.976 = r_{L} + \jmath x_{L}\), respectivamente. La transferencia de potencia máxima requiere que la impedancia de entrada de la red coincidente terminada en\(Z_{L}\) sea\(Z_{1}\) =\(Z_{S}^{\ast}\), es decir\(z_{1} = z_{S}^{\ast} = 0.587 +\jmath 0.241 = r_{1} + \jmath x_{1}\). Estas impedancias se representan en la gráfica normalizada de Smith en la Figura\(\PageIndex{2}\). La impedancia de carga normalizada es Point\(\mathsf{L}\). Para ubicar este punto se consideran los arcos correspondientes a las partes real e imaginaria de\(z_{L}\)

Figura\(\PageIndex{1}\): Problema de coincidencia con la red de correspondencia entre la fuente y la carga diseñada para la transferencia máxima de potencia. \(Z_{S} = R_{S} + \jmath X_{S} = 29.36 −\jmath 12.05,\: Z_{1} = R_{1} +\jmath X_{1} = Z_{S}^{\ast} = R_{S} −\jmath X_{S} = 29.36 +\jmath 12.05,\)y\(Z_{L} = R_{L} + \jmath X_{L} = 32.7 − \jmath 148.8\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Localización\(Z_{L}\) en Punto\(\mathsf{L}\) y\(Z_{1}=Z_{S}^{\ast}\) Punto\(\mathsf{1}\).

por separado. La parte resistiva de\(z_{L}\) es\(r_{L} = 2.655\) y las etiquetas de resistencia se encuentran en el eje horizontal (o ecuador) del gráfico Smith. Hay dos conjuntos de etiquetas, una para resistencia normalizada,\(r\) (que está por encima del eje horizontal), y otra para conductancia normalizada,\(g\) (que está por debajo del eje horizontal). La forma de recordar cuál es cuál es darse cuenta de que el punto de impedancia infinita está en la ubicación\(\Gamma = +1\) (circuito abierto) a la derecha de la gráfica. En el origen (centro) de la gráfica Smith\(r =1= g\) y a la derecha del centro los valores de\(r\) deben ser mayores a uno. Las\(r\) etiquetas más cercanas a\(r_{L} = 2.655\) son\(r = 2.0\) y\(r = 3.0\). Hay cinco divisiones por lo que las curvas sin etiquetar corresponden a\(2.2, 2.4,\ldots\). El arco correspondiente a\(r = 2.655\) debe ser interpolado y esta interpolación se muestra como la Trayectoria 'a'.

La parte imaginaria de\(z_{L}\) es\(x_{L} = −2.976\). Las etiquetas para los arcos de reactancia constante se dan adyacentes al círculo unitario. Hay dos juegos de etiquetas, una para reactancia y otra para susceptancia. Para recordar cual es cual, se puede usar el punto de impedancia infinita y las etiquetas de reactancia requeridas deben aumentar hacia el\(\Gamma =+1\) punto. Recordemos que el gráfico de Smith no incluye signos de reactancias (no hay suficiente espacio) por lo que hay que tener en cuenta que las reactancias positivas están en la mitad superior del gráfico Smith y las reactancias negativas están en la mitad inferior. Dado que\(x_{L}\) es negativo estará en la mitad inferior de la tabla de Smith. Las etiquetas más cercanas son\(x = 2.0\) (esto es en realidad\(−2.0\)) y\(x = 3.0\) (esto es en realidad\(−3.0\)) así que el arco para\(x = −2.976\) se interpola como el Trayectoria 'b'. El punto\(\mathsf{L}\), es decir\(z_{L}\), se encuentra en la intersección de Caminos 'a' y 'b'. La impedancia normalizada\(z_{1}\) se ubica de manera similar en el Punto\(\mathsf{1}\) al encontrar el punto de intersección de la\(r_{1} = 0.587\text{ arc}\), Trayectoria 'c', y la\(x_{1} = +0.241\text{ arc}\), Trayectoria 'd'.

10.9.2 Opciones de diseño

Por convención, el diseño sigue un proceso de comenzar con\(z_{L}\) y agregar elementos de serie y derivación frente a él evolucionando la impedancia (o coeficiente de reflexión) hasta que la impedancia de entrada sea\(z_{1} = z_{s}^{\ast}\). En la Figura se muestran dos diseños eléctricos\(\PageIndex{3}\) y en la Figura se muestran las topologías correspondientes de elementos grumados y microbandas\(\PageIndex{4}\). El subíndice en los elementos del circuito corresponde a las trayectorias en el gráfico de Smith en la Figura\(\PageIndex{3}\). Los diseños se elaborarán en las siguientes subsecciones.

10.9.3 Diseño 1, Diseño Híbrido

El diseño 1 por sí solo se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\). El concepto aquí es usar una línea de transmisión y una derivación para ir del Punto de carga\(\mathsf{L}\) al Punto\(\mathsf{1}\). La razón por la que se elige un elemento de derivación y no un elemento serie es que el elemento de derivación se puede implementar como una línea auxiliar y un elemento serie, es decir, un trozo de serie, no se puede implementar en microcinta. Un elemento agrupado limita un diseño al rango bajo de microondas ya que las pérdidas se vuelven prohibitivamente grandes, especialmente para los inductores. Además, si una línea de microcinta va a ser utilizada de todos modos entonces ya se ha tomado la decisión de que hay suficiente espacio para implementar un diseño basado en línea de transmisión y así el elemento agrupado de derivación puede ser reemplazado razonablemente por un trozo.

El diseño sigue prueba y error. El primer intento, y el que aquí funciona, es dibujar un círculo a través\(\mathsf{L}\) centrado en el origen en Point\(\mathsf{O}\). Este círculo describe una línea de transmisión cuya impedancia característica es la misma que la impedancia de referencia del gráfico Smith, aquí\(50\:\Omega\). El siguiente paso es dibujar un círculo de conductancia constante a través de Point\(\mathsf{1}\). La ruta de combinación de\(\mathsf{L}\) a 1 necesita estar sobre estos círculos y el punto intermedio será donde estos círculos se cruzan. Otra restricción es que con una línea de transmisión el lugar geométrico (a medida que aumenta la longitud de la línea) del coeficiente de reflexión de entrada de la línea debe girar en el sentido de las agujas del reloj. Se ve que hay dos puntos de intersección y el primero de estos, at\(\mathsf{A}\), se elige en diseño. Por lo que el diseño eléctrico está definido por los Caminos dirigidos 'g' y 'h'. Path 'g' define las propiedades de la línea de transmisión y Path 'h' define las propiedades del elemento shunt. Como 'h' se dirige hacia el punto de susceptancia inductiva infinita, Path 'h' define un inductor. La topología de este diseño se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) (a).

La impedancia característica de la línea de transmisión (definida por Path 'g') es\(Z_{0g} = 50\:\Omega\) y la longitud eléctrica de la línea se define por el ángulo subtendido por el arco 'g'. La longitud eléctrica de la línea se determina a partir de

Figura\(\PageIndex{3}\): Dos diseños eléctricos de red coincidentes que coinciden con una impedancia de carga\(Z_{L}\) en Punto\(\mathsf{L}\) con una fuente\(Z_{S}\) que se muestra\(Z_{1} = Z_{S}^{\ast}\) en Punto\(\mathsf{1}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Emparejamiento de topologías de red utilizando elementos agrupados y líneas de microcinta. En los diseños de stub\(\mathsf{x}\) hay una vía al plano de tierra implementando un cortocircuito (s/c) y un circuito abierto o/c simplemente no muestra una conexión al plano de tierra de microcinta.

Figura\(\PageIndex{5}\): Diseño 1. Diseño híbrido que combina una línea de transmisión con un elemento agrupado en derivación. El diseño se identifica por los caminos 'g' y 'h'.

la escala circular más externa que está etiquetada como 'ONDENTURAS HACIA EL GENERADOR. ' Una línea dibujada\(\mathsf{O}\) desde la\(\mathsf{L}\) intersección de la escala tiene una lectura de escala de\(\ell_{L} = 0.280\lambda\). Entonces la lectura de escala en\(\mathsf{A}\) se encuentra de manera similar como\(\ell_{A} = 0.452\lambda\) y así la longitud de la línea es\(\ell_{g} = \ell_{A} −\ell_{L} = 0.452\lambda −0.280\lambda = 0.172\lambda\). Otra forma de determinar la longitud eléctrica de la línea es a partir del cambio en el ángulo del coeficiente de reflexión. Para\(\mathsf{L}\) el coeficiente de reflexión, el ángulo se\(\phi_{L} = −21.8^{\circ}\) lee desde la escala circular más interna. Este ángulo es solo el ángulo de la trama polar. Entonces el ángulo a\(\mathsf{A}\) se lee como\(\phi_{A} = −145.7^{\circ}\). La diferencia es\(|\phi_{A} −\phi_{L}| = |−145.7−(−21.8^{\circ})| = 124.9^{\circ}\). La longitud eléctrica de la línea es la mitad del cambio en el ángulo del coeficiente de reflexión y así la longitud eléctrica de la línea es\(θ_{g} = \frac{1}{2} 124.9^{\circ} = 62.5^{\circ}\). Ahora\(\lambda\) corresponde a una longitud eléctrica de\(360^{\circ}\) así\(θ_{g}\) corresponde a\(62.5/360\lambda = 0.174\lambda\) correspondiente a la longitud previamente determinada de la\(0.172\lambda\) cual es muy buen acuerdo dado que éstas se derivaron de lecturas gráficas.

La ruta 'h' define un inductor de derivación y se sigue un círculo de conductancia constante con solo el cambio de susceptancia. La susceptancia indicada por Path 'h' es\(b_{h} = b_{1} − b_{A}\). Para obtener\(b_{A}\) extender el círculo de susceptancia constante a través de A hacia el círculo unitario. El círculo extendido cruza el círculo unitario entre las etiquetas de susceptancia 2.0 y 3.0. Una comprobación es que la susceptancia es positiva en la mitad inferior del gráfico de Smith por lo que no es necesario ajustar los signos de las etiquetas. Hay dos escalas adyacentes al círculo unitario, una para susceptancia normalizada y otra para reactancia normalizada. La intersección está cerca del punto de susceptancia infinita en el s/c (cortocircuito) por lo que se utilizan los valores que se están volviendo muy grandes hacia s/c. La interpolación da como resultado la lectura\(b_{A} = 2.48\). Un proceso similar aplicado a Point\(\mathsf{1}\) da como resultado\(b_{1} = −0.598\) donde el signo negativo se ha aplicado a la lectura de escala ya que Point\(\mathsf{1}\) está en la mitad superior del gráfico Smith. Así\(b_{h} = b_{1} −b_{A} = −0.598−2.48 = −3.08\) y así es la reactancia normalizada del elemento de derivación\(x_{h} = −1/b_{h} = 0.325\). La reactancia no normalizada del elemento de derivación es\(X_{h} = x_{h}Z_{\text{REF}} = 16.2\:\Omega\).

El diseño híbrido final del Diseño 1 se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) (a) con\(X_{h} = 16.2\:\Omega,\: Z_{0g} = 50\:\Omega\), y\(\ell_{g} = 0.172\lambda\). Eso es todo lo que se necesita para definir el diseño eléctrico, proporcionando la longitud eléctrica en grados,\(θ_{g} = 62.5^{\circ}\) es redundante pero proporcionada de todos modos. La línea de transmisión en la Figura\(\PageIndex{4}\) (a) se muestra como la vista superior de la tira de una línea de microcinta como se hace comúnmente. Una forma más común de representar este esquema se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) (b) donde se han eliminado las conexiones a tierra en los Puertos 1 y 2 y la conexión a tierra del inductor se muestra por separado.

10.9.4 Diseño 1 con un trozo de circuito abierto

En la sección anterior el Diseño 1 se dejó como un diseño híbrido con una línea de transmisión y un inductor de elementos grumosos. En esta sección se implementa el inductor de elementos grumados como un trozo de circuito abierto, ver Figura\(\PageIndex{4}\) (d). Recordemos que la susceptancia\(50\:\Omega\) -normalizada del inductor es\(b_{h} = −3.08\). Si el stub también se implementa como una\(50\:\Omega\) línea, entonces se\(b_{h}\) puede usar sin cambios. El punto\(\mathsf{C}\) en la Figura\(\PageIndex{6}\) corresponde a la admisión normalizada\(0 −\jmath 3.08\). El círculo unitario es el círculo de conductancia cero (y también es el círculo de resistencia cero) y la susceptancia se lee de la escala adyacente al círculo unitario nuevamente señalando que las susceptancias en la mitad superior del gráfico Smith necesitan incorporar un signo negativo, y la escala de susceptancia se identifica por el los valores de susceptancia se vuelven más grandes acercándose al punto s/c. El punto\(\mathsf{C}\) también corresponde\(x_{h} = −1/b_{h} = 3.25\) y de hecho este es el valor leído de la escala de reactancia normalizada.

Una línea de transmisión debe diseñarse para tener una susceptancia de entrada normalizada de\(b_{h} = −3.08\). Escogiendo un circuito abierto, o/c, terminación el punto correspondiente a o/c es como se identifica en la figura. En el punto o/c se lee la escala de longitud\(\ell_{\text{o/c}} = 0.250\lambda\). El lugar gira en el sentido de las agujas del reloj hasta el punto\(\mathsf{C}\) donde está la lectura eléctrica directa de lectura\(\ell_{C} = 0.050\lambda\). Usando esto directamente para determinar la longitud de línea\(\ell_{k} = \ell_{C} − \ell_{\text{o/c}} = 0.050\lambda − 0.250\lambda = −0.20\lambda\) que indica que el trozo tiene una longitud negativa. Claramente un resultado erróneo. Esta aparente discrepancia se produce porque la escala de longitud se restablece en el punto de cortocircuito donde la escala de longitud va abruptamente de\(0.5\lambda\) a\(0\lambda\). Por lo tanto, la\(\ell_{C}\) lectura corregida necesita tener un adicional\(0.5\lambda\). Así, el valor corregido de\(\ell_{C} = (0.5+0.050)\lambda = 0.550\lambda\)

Figura\(\PageIndex{6}\): Diseño 1. Diseño de un trozo de circuito abierto con susceptancia de entrada normalizada\(b_{h}\).

y\(\ell_{k} = \ell_{C} − \ell_{\text{o/c}} = 0.550\lambda − 0.250\lambda = 0.300\lambda\).

Así, el diseño final es como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) (d) con\(Z_{0k} = 50\:\Omega\), y\(\ell_{g} = 0.300\lambda ,\: Z_{0g} = 50\:\Omega\), y\(\ell_{g} = 0.172\lambda\).

El stub también podría haberse implementado como un stub de cortocircuito como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) (c). Ahora el inicio de la línea estaría en el punto s/c y la longitud de la línea estaría\(0.050\lambda\).

10.9.5 Diseño 2, Diseño de elementos Lumped-Element

El diseño 2 es un diseño de elementos grumosos y el diseño eléctrico basado en Smith Chart se muestra en la Figura,\(\PageIndex{7}\) dando como resultado el esquema mostrado en la Figura\(\PageIndex{4}\) (e). El diseño procede identificando donde los círculos de conductancia constante y resistencia constante pasan por los Puntos\(\mathsf{L}\) y se\(\mathsf{1}\) cruzan. Una solución se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\). Un círculo de conductancia constante pasa a través\(\mathsf{L}\) y parte de un círculo de resistencia constante pasa a través\(\mathsf{1}\). Si el círculo hubiera continuado habría habido una

Figura\(\PageIndex{7}\): Diseño 2.

segunda intersección con el círculo a través\(\mathsf{L}\). Ambas intersecciones significan que hay un elemento de derivación adyacente a la carga y elemento serie adyacente a la fuente. Recordemos que en un diseño de elementos grumados que bajo ninguna circunstancia el locus puede pasar un elemento agrupado a través de los puntos de cortocircuito o circuito abierto (los puntos infinitos de susceptancia y reactancia respectivamente).

Volviendo al diseño real que se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\). La primera intersección de los dos círculos es Punto\(\mathsf{B}\) para que el diseño sea especificado por los Caminos 'e' y 'f'. El diseño se ha completado en gran medida identificando estas trayectorias y la siguiente etapa es determinar los elementos del circuito que corresponden a estas trayectorias. La trayectoria 'e' sigue un círculo de conductancia constante y así indica una susceptancia de derivación y la dirección del lugar indica una capacitancia. El valor de esta susceptancia normalizada es\(b_{e} = b_{B} −b_{L} = 0.506−0.187 = 0.319\). (Acuérdate de revisar los signos de las lecturas.) La ruta 'f' identifica un inductor en serie con una reactancia\(x_{f} = x_{1} − x_{B} = 0.241 − (−1.78) = 2.02\). El diseño final se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) (e) con\(X_{e} = Z_{0}/b_{e} = 50/0.319\:\Omega = 158\:\Omega\) y\(X_{f} = Z_{0}x_{f} = 50\cdot 2.02\:\Omega = 101\:\Omega\).

10.9.6 Resumen

En esta sección se presentaron dos diseños para una red coincidente. Uno de los beneficios particulares de usar el gráfico Smith es identificar topologías y valores iniciales de diseño. El diseño puede luego transferirse a un simulador de circuito de microondas. El gráfico Smith permite estudios de diseño de la parte posterior del sobre. Si bien con experiencia es posible completar muchos de estos pasos con una herramienta de gráficos Smith basada en computadora, incluso los diseñadores experimentados garabean con un gráfico Smith impreso al explorar opciones de diseño.