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2.2: Un conjunto universal de operaciones booleanas

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    Al pensar en álgebra booleana, es importante darse cuenta de que los valores booleanos son binarios, por lo que cualquier variable booleana se limita a dos valores. A menudo estos valores serán Verdadero o Falso, pero en realidad se puede utilizar cualquier valor binario. En este libro de texto, se utilizará el valor 0 para Falso y 1 para Verdadero. La razón para usar 0 y 1 es que es una forma más natural y útil de representar estos valores en un contexto de ingeniería, lo que ojalá se haga evidente para el lector a medida que continúe su estudio de la organización informática.

    Para ser útil algún conjunto mínimo de operaciones que se pueden utilizar para manipular esas variables booleanas. Para álgebra booleana este conjunto mínimo de operaciones incluirá solo 3 operaciones, son AND, OR y NOT. Las operaciones AND y OR son operaciones binarias (operaciones que toman dos operandos), y la NOT es una operación unaria (operación que toma un operando). Estas operaciones se definirán formalmente utilizando tablas de verdad en la siguiente sección. Por ahora se definirán de manera informal de la siguiente manera:

    • el operador AND es f (A, B), donde f (A, B) es 1 (verdadero) donde A, B son ambos 1 (verdadero) de lo contrario es 0 (falso).
    • el operador OR es f (A, B), donde f (A, B) es 1 (verdadero) es A o B o tanto A como B son 1 (verdadero), de lo contrario es 0 (falso).
    • el operador NOT es f (A), donde f (A) es 1 (verdadero) si A es 0 (falso), y f (A) es 0 (falso) si a es 1 (verdadero).

    Esto lleva a preguntarse por qué se eligen estas tres, y sólo estas tres, operaciones. La respuesta es que estas tres operaciones son operaciones booleanas universales. En este contexto, universal significa que cualquier función booleana puede reducirse a combinaciones de estas tres operaciones. Por lo tanto, nunca es necesario definir ninguna otra operación booleana para calcular una función booleana. Otras operaciones booleanas útiles se introducirán en este libro de texto, pero tenga en cuenta que estas operaciones pueden reducirse a operaciones simplemente AND, OR y NOT 2. La prueba de ello se dejará a los ejercicios al final de este capítulo.

    En este libro de texto, la operación AND se escribirá usando el signo de multiplicación, “*”, y el resultado llamará un producto; la operación OR se escribirá usando el signo “+”, y se llamará suma; la operación NOT se mostrará siguiendo la variable con una sola marca “'”, por ejemplo, A' es NO-A. Tenga en cuenta también que el símbolo “*” se puede soltar como en álgebra estándar, por lo que “A*B” también se puede escribir simplemente como “AB”.


    2 Este resultado, y AND, OR y NOT son funciones universales sobre booleanas es aún más sorprendente cuando se da cuenta de que cualquier función efectivamente computable es computable usando solo funciones booleanas. Este resultado, que cualquier función efectivamente computable es computable con solo las operaciones AND, OR, y NOT, fue personalmente alucinante cuando lo entendí por primera vez.


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