2.3: Parámetros de dispersión

La medición directa de los\(ABCD\) parámetros\(z,\: y,\: h,\) y requiere que los puertos se terminen en circuitos cortos o abiertos. Para los circuitos activos, tales terminaciones podrían resultar en un comportamiento no deseado, incluyendo oscilación o destrucción. Además, en RF es difícil realizar un buen abierto o corto. Dado que los circuitos de RF están diseñados con mucha atención a las condiciones de transferencia de potencia máxima, se prefieren las terminaciones resistivas, ya que estas están más cerca de las condiciones de operación reales. Así, el efecto de los errores de medición tendrá menos impacto que cuando la extracción de parámetros se basa en aperturas y cortocircuitos imperfectos. La esencia de los parámetros de dispersión (o\(S\) parámetros\(^{1}\)) es que relacionan ondas de avance y retroceso en una línea de transmisión, por lo que\(S\) los parámetros están relacionados con el flujo de potencia.

La discusión de\(S\) los parámetros comienza considerando el coeficiente de reflexión, que es el\(S\) parámetro de una red de un puerto.

2.3.1 Coeficiente de reflexión

El coeficiente de reflexión\(\Gamma\),, de una carga, como en la Figura\(\PageIndex{1}\), se puede determinar midiendo por separado los voltajes de avance y retroceso en la línea de transmisión:

\[\label{eq:1}\Gamma(x)=\frac{V^{-}(x)}{V^{+}(x)} \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Línea de transmisión de impedancia característica\(Z_{0}\) y longitud\(\ell\) terminada en una carga de impedancia\(Z_{L}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Una fuente equivalente a Thevenin con impedancia de generador\(V_{g}\) y fuente\(Z_{g}\) terminada en una carga\(Z_{L}\).

\(\Gamma\)en la carga se relaciona con la impedancia\(Z_{L}\) por

\[\label{eq:2}\Gamma(0)=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}} \]

donde\(Z_{0}\) está la impedancia característica de la línea de transmisión de conexión. Esto también se puede escribir como

\[\label{eq:3}\Gamma(0)=\frac{Y_{0}-Y_{L}}{Y_{0}+Y_{L}} \]

dónde\(Y_{0} = 1/Z_{0}\) y\(Y_{L} = 1/Z_{L}\).

2.3.2 Coeficiente de reflexión con impedancia de referencia compleja

Aquí se\(\PageIndex{2}\) desarrollará el coeficiente\(Z_{L}\) de reflexión de la Figura con respecto a la impedancia de referencia compleja.\(Z_{g}\) La tensión total y la corriente a la carga son

\[\label{eq:4}V=V_{g}\frac{Z_{L}}{Z_{g}+Z_{L}} \]

y

\[\label{eq:5}I=\frac{V_{g}}{Z_{g}+Z_{L}} \]

Para desarrollar el coeficiente de reflexión, primero defina ondas equivalentes que viajan hacia adelante y hacia atrás. Esto se puede hacer imaginando que entre el generador y la carga hay una línea de transmisión de impedancia característica\(Z_{g}\) que tiene longitud infinitesimal. El voltaje incidente y las ondas de corriente\((V^{+}, I^{+})\) son el voltaje y la corriente totales obtenidos cuando el generador se corresponde conjugadamente con la carga (es decir,\(Z_{L} = Z_{g}^{\ast}\)). Entonces las ecuaciones de voltaje y corriente que viajan hacia adelante se convierten\(^{2}\)

\[\label{eq:6}V^{+}=V_{g}\frac{Z_{g}^{\ast}}{Z_{g}+Z_{g}^{\ast}}=V_{g}Z_{g}^{\ast}2\mathcal{R}\{Z_{g}\} \]

\[\label{eq:7}I^{+}=V_{g}\frac{1}{2\mathcal{R}\{Z_{g}\}} \]

Ahora vuelve a considerar la carga real,\(Z_{L}\). El voltaje y la corriente\((V^{−}, I^{−})\) reflejados se obtienen calculando el voltaje y la corriente reales en la fuente usando las relaciones

\[\label{eq:8}V=V^{+}+V^{-} \]

\[\label{eq:9}I=I^{+}+I^{-} \]

para determinar los componentes que viajan hacia atrás. En Ecuaciones\(\eqref{eq:8}\) y\(\eqref{eq:9}\) los componentes de avance son los de Ecuaciones\(\eqref{eq:6}\) y\(\eqref{eq:7}\). A partir de la ecuación\(\eqref{eq:6}\),

\[\label{eq:10}V_{g}=V^{+}\frac{Z_{g}+Z_{g}^{\ast}}{Z_{g}^{\ast}} \]

y de Ecuaciones\(\eqref{eq:4}\),\(\eqref{eq:8}\), y\(\eqref{eq:10}\),

\[\begin{align}V^{-}&=V-V^{+}=V_{g}\frac{Z_{L}}{Z_{g}+Z_{L}}-V^{+}=\left[\frac{Z_{g}+Z_{g}^{\ast}}{Z_{g}^{\ast}}\frac{Z_{L}}{Z_{g}+Z_{L}}-1\right]V^{+}\nonumber \\ &=\left[\frac{Z_{g}Z_{L}+Z_{g}^{\ast}Z_{L}-Z_{g}^{\ast}Z_{g}-Z_{g}^{\ast}Z_{L}}{Z_{g}^{\ast}(Z_{g}+Z_{L})}\right]V^{+}\nonumber \\ \label{eq:11}&=\underbrace{\left(\frac{Z_{L}-Z_{g}^{\ast}}{Z_{L}+Z_{g}}\right)\frac{Z_{g}}{Z_{g}^{\ast}}}_{\Gamma^{V}}V^{+}=\Gamma^{V}V^{+}\end{align} \]

Del mismo modo

\[\label{eq:12}I^{-}=\underbrace{-\left(\frac{Z_{L}-Z_{g}^{\ast}}{Z_{L}+Z_{g}}\right)\frac{Z_{g}}{Z_{g}^{\ast}}}_{\Gamma^{I}}I^{+}=\Gamma^{I}I^{+} \]

\(\Gamma^{V}\)es el coeficiente de reflexión de voltaje, que generalmente se denota como justo\(\Gamma\), mientras que\(\Gamma^{I}\) es el coeficiente de reflexión de corriente. Es claro que\(\Gamma^{V} =0=\Gamma^{I}\) cuándo\(Z_{L} = Z_{g}^{\ast}\) y\(\Gamma^{V} = −\Gamma^{I} = (Z_{L} − R_{g})/(Z_{L} + R_{g})\) cuándo\(Z_{g}\) es puramente resistivo (es decir, cuándo\(Z_{g} = R_{g}\)). Generalmente los coeficientes de reflexión se definen utilizando una puramente resistiva\(Z_{g}\). Esto se convierte en la resistencia de referencia, que se conoce más comúnmente como la impedancia de referencia, o\(Z_{0}\), si se usa la misma impedancia de referencia en todas partes, la impedancia del sistema.

2.3.3\(S\) Parámetros de dos puertos

Los\(S\) parámetros de dos puertos se definen en términos de ondas viajeras en líneas de transmisión con impedancia característica real\(Z_{0}\) conectada a cada uno de los puertos de la red, ver Figura 2.1.1 (b):

\[\label{eq:13}V_{1}^{-}=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}V_{2}^{+} \]

\[\label{eq:14}V_{2}^{-}=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{+} \]

donde\(S_{ij}\) están los\(S\) parámetros individuales. En forma de matriz, las ecuaciones anteriores se convierten

\[\label{eq:15}\left[\begin{array}{c}{V_{1}^{-}}\\{V_{2}^{-}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{S_{11}}&{S_{12}} \\ {S_{21}}&{S_{22}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V_{1}^{+}}\\{V_{2}^{+}}\end{array}\right]=\mathbf{S}\left[\begin{array}{c}{V_{1}^{+}}\\{V_{2}^{+}}\end{array}\right] \]

Los\(S\) parámetros individuales se determinan midiendo las olas que viajan hacia adelante y hacia atrás con cargas\(Z_{L} = Z_{0}\) en los puertos. Para la línea de salida la carga no puede reflejar la potencia y así\(V_{2}^{+}= 0\), entonces

\[\label{eq:16}S_{11}=\left.\frac{V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}\right|_{V_{2}^{+}=0} \]

Los tres parámetros restantes se determinan de manera similar y así\(S_{22}\) se encuentra como

\[\label{eq:17}S_{22}=\left.\frac{V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}\right|_{V_{1}^{+}=0} \]

y el parámetro de transmisión es

\[\label{eq:18}S_{21}=\left.\frac{V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}\right|_{V_{2}^{+}=0} \]

\(S_{21}\)también se llama el coeficiente de transmisión,\(T\). En la dirección inversa,

\[\label{eq:19}S_{12}=\left.\frac{V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}\right|_{V_{1}^{+}=0} \]

En lo anterior\(Z_{0}\) se conoce como la impedancia de normalización o equivalentemente la impedancia de referencia. En algunas circunstancias\(Z_{\text{REF}}\) se utiliza para denotar impedancia de referencia para evitar posibles confusiones con una impedancia de línea de transmisión que no es la misma que la impedancia de referencia. Los\(S\) parámetros aquí también se denominan\(S\) parámetros normalizados, y los\(S\) parámetros se normalizan a la misma impedancia de referencia en cada puerto. Llamarlos\(S\) parámetros normalizados también lleva el significado adicional de que los\(S\) parámetros están referenciados a la impedancia real.

Las relaciones entre los parámetros de dos puertos y los\(S\) parámetros de red comunes se dan en la Tabla\(\PageIndex{1}\). Es interesante señalar eso\(S_{21}/S_{12} = z_{21}/z_{12} = y_{21}/y_{12} = h_{21}/h_{12}\). Es decir, la relación de los parámetros directo a inverso (al menos para\(S,\: z,\: y,\) y\(h\) parámetros) es la misma y esta relación es una para un dispositivo recíproco. Un\(S\) parámetro es una relación de voltaje, por lo que cuando se expresa en decibelios\(S_{ij}|_{\text{dB}} = 20 \log(S_{ij})\).

Una red recíproca tiene\(S_{12} = S_{21}\). Si la potencia de la unidad fluye hacia un puerto de dos (con puertos terminados en la impedancia de referencia), una fracción\(|S_{11}|^{2}\),, se refleja y una fracción adicional,\(|S_{21}|^{2}\), se transmite a través de la red.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Two-Port \(S\) Parameters

¿Cuáles son los\(S\) parámetros de un\(30\text{ dB}\) atenuador?

Solución

Se muestra un atenuador con una impedancia del sistema de\(Z_{0}\). Un atenuador ideal no tiene reflexión en cada uno de los dos puertos cuando el atenuador está incrustado en su impedancia del sistema. Por lo tanto\(\Gamma_{\text{in}} =0=\Gamma_{\text{out}}\). Dado que no hay reflexión de la carga o de la fuente, esto implica que\(S_{11} =0= S_{22}\).

Figura\(\PageIndex{3}\)

Dado que se trata de un\(30\text{ dB}\) atenuador, la potencia entregada a la impedancia de carga\(Z_{0}\) está\(30\text{ dB}\) por debajo de la potencia disponible de la fuente, por lo tanto\(S_{21} = −30\text{ dB} = 0.0316\). El atenuador es recíproco y así\(S_{12} = S_{21}\). Así los\(S\) parámetros del atenuador son

\[\label{eq:20}\mathbf{S}=\left[\begin{array}{cc}{0}&{0.0316} \\ {0.0316}&{0}\end{array}\right] \]

Obsérvese que no fue necesario conocer la impedancia de referencia para desarrollar los\(S\) parámetros.

	\(S\)	En términos de\(S\)
\(z\)	\ (S\) ">\(Z_{11}'=z_{11}Z_{0}\quad Z_{12}'=z_{12}Z_{0}\)	\ (S\) ">\(Z_{21}'=z_{21}Z_{0}\quad Z_{22}'=z_{22}Z_{0}\)
	\ (S\) ">\(\begin{aligned} \delta_{z}&= (1+z_{11})(1+z_{22})-z_{12}z_{21} \\ S_{11}&=[(z_{11}-1)(z_{22}+1)-z_{12}z_{21}]/\delta_{z} \\ S_{12}&=2z_{12}/\delta_{z} \\ S_{21}&=2z_{21}/\delta_{z} \\ S_{22}&=[(z_{11}+1)(z_{22}-1)-z_{12}z_{21}]/\delta_{z}\end{aligned}\)	\ (S\) ">\(\begin{aligned}\delta_{S}&=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21} \\ z_{11}&=[(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}]/\delta_{S} \\ z_{12}&=2S_{12}/\delta_{S} \\ z_{21}&=2S_{21}/\delta_{S} \\ z_{22}&=[(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}]/\delta_{S}\end{aligned}\)
\(y\)	\ (S\) ">\(Y_{11}'=y_{11}/Z_{0}\quad Y_{12}'=y_{12}/Z_{0}\)	\ (S\) ">\(Y_{21}'=y_{21}/Z_{0}\quad Y_{22}'=y_{22}/Z_{0}\)
	\ (S\) ">\(\begin{aligned}\delta_{y}&=(1+y_{11})(1+y_{22})-y_{12}y_{21} \\ S_{11}&=[(1-y_{11})(1+y_{22})+y_{12}y_{21}]/\delta_{y} \\ S_{12}&=-2y_{12}/\delta_{y} \\ S_{21}&=-2y_{21}/\delta_{y} \\ S_{22} &=[(1+y_{11})(1-y_{22})+y_{12}y_{21}]/\delta_{y}\end{aligned}\)	\ (S\) ">\(\begin{aligned}\delta_{S}&=(1+S_{11})(1+S_{22})-S_{12}S_{21}\\ y_{11}&=[(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}]/\delta_{S} \\ y_{12}&=-2S_{12}/\delta_{S} \\ y_{21}&=-2S_{21}/\delta_{S} \\ y_{22}&=[(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}]/\delta_{S}\end{aligned}\)
\(h\)	\ (S\) ">\(H_{11}'=h_{11}Z_{0}\quad H_{12}'=h_{12}\)	\ (S\) ">\(H_{21}'=h_{21}\quad H_{22}'=h_{22}/Z_{0}\)
	\ (S\) ">\(\begin{aligned}\delta_{h}&=(1+h_{11})(1+h_{22})-h_{12}h_{21} \\ S_{11}&=[(h_{11}-1)(h_{22}+1)-h_{12}h_{21}]/\delta_{h} \\ S_{12}&=2h_{12}/\delta_{h} \\ S_{21}&=-2h_{21}/\delta_{h} \\ S_{22}&=[(1+h_{11})(1-h_{22})+h_{12}h_{21}]/\delta_{h}\end{aligned}\)	\ (S\) ">\(\begin{aligned}\delta_{S}&=(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21} \\ h_{11}&=[(1+S_{11})(1+S_{22})-S_{12}S_{21}]/\delta_{S} \\ h_{12}&=2S_{12}/\delta_{S} \\ h_{21}&=-2S_{21}/\delta_{S} \\ h_{22}&=[(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}]/\delta_{S}\end{aligned}\)

Tabla\(\PageIndex{1}\): Tabla de conversión de\(S\) parámetros de dos puertos. Los\(h\) parámetros\(z,\: y,\) y se normalizan a\(Z_{0}\). \(Z′,\: Y′,\)y\(H′\) son los parámetros reales. Para la conversión de\(ABCD\) parámetros, consulte la Sección 2.7.2.

Figura\(\PageIndex{4}\): Una red de dos puertos terminada con líneas de transmisión de longitud infinitesimal en los puertos.

2.3.4 Coeficiente de reflexión de entrada de una red de dos puertos terminada

En la Figura se muestra un puerto de dos puertos\(\PageIndex{4}\) que termina en Puerto\(\mathsf{2}\) en una carga con un coeficiente de reflexión\(\Gamma_{L}\). Las líneas en cada uno de los puertos son de longitud infinitesimal (es decir,\(\ell_{1} → 0\) y\(\ell_{2} → 0\)) y se utilizan para facilitar la visualización de la separación de la tensión en componentes de avance y retroceso. El objetivo en esta sección es desarrollar una fórmula para el coeficiente de reflexión de entrada\(\Gamma_{\text{in}} = V_{1}^{−}/V_{1}^{+}\). Para el circuito de la Figura se pueden desarrollar\(\PageIndex{4}\) tres ecuaciones:

\[\begin{align}\label{eq:21}V_{1}^{-}&=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}V_{2}^{+} \\ \label{eq:22}V_{2}^{-}&=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{+} \\ \label{eq:23}V_{2}^{+}&=\Gamma_{L}V_{2}^{-},\quad\text{i.e.,}\quad V_{2}^{-}=V_{2}^{+}/\Gamma_{L}\end{align} \]

Tenga en cuenta que\(V_{2}^{−}\) es la onda de voltaje que sale de los dos puertos pero es incidente en la carga\(\Gamma_{L}\). El objetivo aquí es eliminar\(V_{2}^{+}\) y\(V_{2}^{−}\). Ecuación sustitutiva

Figura\(\PageIndex{5}\): Elemento de derivación en forma de dos puertos.

\(\eqref{eq:23}\)en Ecuación\(\eqref{eq:22}\) lleva a

\[\begin{align}\label{eq:24}V_{2}^{+}/\Gamma_{L}&=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{+} \\ \label{eq:25}V_{2}^{+}\left(\frac{1-S_{22}\Gamma_{L}}{\Gamma_{L}}\right)&=S_{21}V_{1}^{+} \\ \label{eq:26}V_{2}^{+}&=\left(\frac{S_{21}\Gamma_{L}}{1-S_{22}\Gamma_{L}}\right)V_{1}^{+}\end{align} \]

Ahora sustituyendo Ecuación\(\eqref{eq:26}\) en\(\eqref{eq:21}\) Rendimientos de Ecuación

\[\label{eq:27}V_{1}^{-}=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}\left(\frac{S_{21}\Gamma_{L}}{1-S_{22}\Gamma_{L}}\right)V_{1}^{+} \]

y así

\[\label{eq:28}\Gamma_{\text{in}}=S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_{L}}{1-S_{22}\Gamma_{L}} \]

2.3.5 Evaluación de los parámetros de dispersión de un elemento

Los parámetros de dispersión se pueden derivar analíticamente para diversas configuraciones de circuito y en esta sección se ilustra el procedimiento para el elemento de derivación de la Figura\(\PageIndex{5}\). El procedimiento a encontrar\(S_{11}\) es hacer coincidir Puerto\(\mathsf{2}\) para que\(V_{2}^{+}= 0\), entonces\(S_{11}\) sea el coeficiente de reflexión en Puerto\(\mathsf{1}\):

\[\label{eq:29}S_{11}=\frac{Y_{0}-Y_{\text{in}}}{Y_{0}+Y_{\text{in}}} \]

donde\(Y_{\text{in}} = Y_{0} + Y\), dado que la terminación coincidente en Puerto\(\mathsf{2}\) (i.e.,\(Y_{0} = 1/Z_{0}\)) desvía la admisión\(Y\). Así

\[\label{eq:30}S_{11}=\frac{Y_{0}-Y_{0}-Y}{2Y_{0}+Y}=\frac{-Y}{2Y_{0}+Y} \]

A partir de la simetría de los dos puertos,

\[\label{eq:31}S_{22}=S_{11} \]

\(S_{21}\)se evalúa determinando la onda transmitida,\(V_{2}^{−}\), con la línea de salida emparejada para que nuevamente una admitancia,\(Y_{0}\), se coloque en Puerto\(\mathsf{2}\) y\(V_{2}^{+} = 0\). Después de alguna manipulación algebraica,

\[\label{eq:32}S_{21}=2Y_{0}/(Y+2Y_{0}) \]

se obtiene. Ya que esta es claramente una red recíproca,\(S_{12} = S_{21}\) y se obtienen los cuatro\(S\) parámetros. Un procedimiento similar de aplicar selectivamente cargas coincidentes se utiliza para obtener los\(S\) parámetros de otras redes.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Calculation of the \(S\) Parameters of a Two-Port Network

Derive los\(50\:\Omega\text{ S}\) parámetros de dos puertos del circuito resistivo a la derecha.

Figura\(\PageIndex{6}\)

Solución

\(\underline{\text{Calculation of }S_{11}.}\)Esto implica terminar Port\(\mathsf{2}\) en la impedancia de referencia del sistema\(50\:\Omega\), y luego calcular la impedancia de entrada de la red aumentada. Esto se convierte entonces en un coeficiente de reflexión, que aquí está\(S_{11}\). El circuito para el cálculo está a la derecha. Ahora

Figura\(\PageIndex{7}\)

\[\label{eq:33}Z_{\text{IN}}=100\parallel [25\:$\:(50\parallel 50)]\:\Omega=100\parallel 50\:\Omega=33.33\:\Omega \]

donde\(\parallel\) indica el cálculo de la conexión en paralelo e\($\) indica el cálculo de la conexión en serie. Así

\[\label{eq:34}S_{11}=\Gamma_{\text{IN}}=\frac{Z_{\text{IN}}-Z_{0}}{Z_{\text{IN}}+Z_{0}}=\frac{33.33-50}{33.33+50}=-0.2 \]

\(\underline{\text{Calculation of }S_{21}.}\)Esto implica terminar Port\(\mathsf{2}\) en la impedancia de referencia del sistema\(50\:\Omega\), y luego calcular la onda de voltaje de avance en Port\(\mathsf{1}\) y la onda de voltaje de desplazamiento inverso en Port\(\mathsf{2}\). Tenga en cuenta que la onda de voltaje de desplazamiento inverso en Port\(\mathsf{2}\) está saliendo de los dos puertos.

Dado que no hay onda reflejada desde la terminación en Port\(\mathsf{2}\), el voltaje total en Port\(\mathsf{2}\) es justo\(V_{2}^{−}\). El circuito para el cálculo está a la derecha.

Figura\(\PageIndex{8}\)

\[\label{eq:35}V_{1}=V_{1}^{+}+V_{1}^{-}=V_{1}^{+}(1+S_{11})\to V_{1}^{+}=\frac{V_{1}}{1+S_{11}}=1.25V_{1} \]

El voltaje en el puerto\(\mathsf{1}\) es

\[\label{eq:36}V_{1}=I_{1}Z_{\text{IN}}=33.33I_{1}\to V_{1}^{+}=1.25\cdot 33.33I_{1}=41.66I_{1} \]

El siguiente paso es encontrar una expresión para\(I_{2}\):

\[\label{eq:37}V_{1}=I_{1}Z_{\text{IN}}=33.33I_{1}=I_{2}(25\:$\:50\parallel 50)=50I_{2} \]

Reorganizar,

\[\label{eq:38}I_{2}=I_{1}\frac{33.33}{50}=0.6667I_{1} \]

Ahora

\[\label{eq:39}V_{2}^{-}=V_{2}=I_{2}(50\parallel 50)=25I_{2}=16.67I_{1} \]

Entonces

\[\label{eq:40}S_{21}=\frac{V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}=\frac{16.67}{41.66}=0.4 \]

\(\underline{\text{Calculation of }S_{12}.}\)El dos puertos es una red recíproca (como lo son todas las redes con solo agrupadas\(R,\: L,\) y\(C\) elementos) y así\(S_{12} = S_{21}\).

\(\underline{\text{Calculation of }S_{22}.}\)Usando un procedimiento similar al utilizado para encontrar\(S_{11}\), el circuito para el cálculo se encuentra a la derecha:

Figura\(\PageIndex{9}\)

\[\label{eq:41}Z_{\text{IN}}=50\parallel [25\:$\:(100\parallel 50)]\:\Omega=50\parallel (25\:$\:33.33)=50\parallel 58.33=26.92\:\Omega \]

Por lo tanto

\[\label{eq:42}S_{22}=\Gamma_{\text{IN}}=\frac{26.92-50}{26.92+50}=-0.3 \]

Recogiendo los\(S\) parámetros individuales:

\[\label{eq:43}\mathbf{S}=\left[\begin{array}{cc}{-0.2}&{0.4}\\{0.4}&{-0.3}\end{array}\right] \]

2.3.6 Propiedades de un Dos Puertos en términos de\(S\) Parámetros

Las propiedades de mayor interés son si la red de dos puertos es sin pérdidas, pasiva o recíproca.

Si una red no tiene pérdidas, toda la entrada de energía a la red debe salir de la red. El incidente eléctrico en Puerto\(\mathsf{1}\) de una red es

\[\label{eq:44}P_{1}^{+}=\left|\frac{\frac{1}{2}V_{1}^{+}}{Z_{0}}\right|^{2} \]

y el poder que sale de Port\(\mathsf{1}\) es

\[\label{eq:45}P_{1}^{-}=\left|\frac{\frac{1}{2}V_{1}^{-}}{Z_{0}}\right|^{2} \]

Esto se puede repetir para Port\(\mathsf{2}\) y el factor\(\frac{1}{2}/Z_{0}\) aparece en todas las expresiones.

Entonces, al cancelar este factor, la condición para que la red no tenga pérdidas es

\[\label{eq:46}|S_{11}|^{2}+|S_{21}|^{2}=1\quad\text{and}\quad |S_{12}|^{2}+|S_{22}|^{2}=1 \]

Para que una red sea pasiva, no puede salir de la red más energía que la que la ingresa. Entonces la condición para la pasividad es

\[\label{eq:47}|S_{11}|^{2}+|S_{21}|^{2}\leq 1\quad\text{and}\quad |S_{12}|^{2}+|S_{22}|^{2}\leq 1 \]

Eso requiere la reciprocidad\(S_{21} = S_{12}\).

2.3.7 Transferencia de dispersión o\(T\) parámetros

\(S\)los parámetros relacionan las ondas reflejadas con las ondas incidentes, mezclando así las cantidades en los puertos de entrada y salida. Sin embargo, al tratar con redes en cascada es preferible relacionar las ondas viajeras en los puertos de entrada con los puertos de salida. Tales parámetros se llaman los parámetros de transferencia de dispersión (o\(^{S}T\)), que para una red de dos puertos se definen por

\[\label{eq:48}\left[\begin{array}{c}{V_{1}^{-}}\\{V_{1}^{+}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{^{S}T_{11}}&{^{S}T_{12}}\\{^{S}T_{21}}&{^{S}T_{22}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V_{2}^{+}}\\{V_{2}^{-}}\end{array}\right] \]

donde

\[\label{eq:49}^{S}\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}{^{S}T_{11}}&{^{S}T_{12}}\\{^{S}T_{21}}&{^{S}T_{22}}\end{array}\right] \]

Figura\(\PageIndex{10}\):\(N\) -red de puertos con voltaje de desplazamiento y ondas de corriente.

Los\(^{S}T\) parámetros y\(S\) parámetros de dos puertos están relacionados por

\[\label{eq:50}\left[\begin{array}{cc}{^{S}T_{11}}&{^{S}T_{12}}\\{^{S}T_{21}}&{^{S}T_{22}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-(S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21})/S_{21}}&{(S_{11}/S_{21})} \\ {-(S_{22}/S_{21})}&{(1/S_{21})}\end{array}\right] \]

y

\[\label{eq:51}\left[\begin{array}{cc}{S_{11}}&{S_{12}}\\{S_{21}}&{S_{22}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{^{S}T_{12}\:^{S}T_{22}^{-1}}&{(^{S}T_{11}-^{S}T_{12}\:^{S}T_{22}^{-1}\:^{S}T_{21})}\\{^{S}T_{22}^{-1}}&{-^{S}T_{22}^{-1}\:^{S}T_{21}}\end{array}\right] \]

Muy a menudo los\(^{S}T\) parámetros se llaman\(T\) parámetros, pero hay al menos dos tipos de\(T\) parámetros, por lo que es necesario ser específicos. (Se introducirá otra forma en la Sección 2.6.) Si las redes A y B tienen parámetros\(^{S}\mathbf{T}_{A}\) y\(^{S}\mathbf{T}_{B}\), entonces los\(^{S}\mathbf{T}\) parámetros de la red en cascada son

\[\label{eq:52}^{S}\mathbf{T}=^{S}\mathbf{T}_{A}\cdot ^{S}\mathbf{T}_{B} \]

Hay dos formas de los\(T\) parámetros de dispersión. Aquí los parámetros de transferencia de dispersión se designan como los\(^{S}T\) parámetros pero a menudo\(T\) se usa por sí solo. La otra forma más común son los parámetros de dispersión de cadena que se considerarán en la Sección 2.6.

Notas al pie

[1] Por razones históricas se utiliza una “S” mayúscula cuando se hace referencia a\(S\) parámetros. Para la mayoría de los otros parámetros de red, se usa minúscula (por ejemplo,\(z\) parámetros para parámetros de impedancia).

[2] Aquí\(\Re\) está el operador real, que arroja la parte real de un número complejo.