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2.8: Pérdida de retorno, pérdida por sustitución y pérdida de inserción

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    2.8.1 Pérdida de retorno

    La pérdida de retorno, también conocida como pérdida por reflexión, es una medida de la fracción de potencia que no es entregada por una fuente a una carga. Si el incidente de potencia en una carga es\(P_{i}\) y la potencia reflejada por la carga es\(P_{r}\), entonces la pérdida de retorno en decibelios es [6, 7]

    \[\label{eq:1}\text{RL}_{\text{dB}}=10\log\frac{P_{i}}{P_{r}} \]

    Cuanto mejor se ajuste la carga a la fuente, menor será la potencia reflejada y por lo tanto mayor será la pérdida de retorno. \(\text{RL}\)es una cantidad positiva si la potencia reflejada es menor que la potencia incidente. Si la carga tiene un coeficiente de reflexión complejo\(\rho\), entonces

    \[\label{eq:2}\text{RL}_{\text{dB}}=10\log\left|\frac{1}{\rho^{2}}\right|=-20\log|\rho| \]

    Es decir, la pérdida de retorno es la negativa del coeficiente de reflexión de entrada expresado en decibelios [8].

    Cuando se generaliza a dos puertos terminados, la pérdida de retorno se define con respecto al coeficiente de reflexión de entrada de los dos puertos terminados [9]. Los dos puertos en la Figura\(\PageIndex{1}\) tienen el coeficiente de reflexión de entrada

    \[\label{eq:3}\Gamma_{\text{in}}=S_{11}+\frac{\Gamma_{L}S_{12}S_{21}}{(1-\Gamma_{L}S_{22})} \]

    donde\(\Gamma_{L}\) está el coeficiente de reflexión de la carga. Por lo tanto, la pérdida de retorno de un puerto terminado de dos es

    \[\label{eq:4}\text{RL}_{\text{dB}}=-20\log|\Gamma_{\text{in}}|=-20\log\left|S_{11}+\frac{\Gamma_{L}S_{12}S_{21}}{(1-\Gamma_{L}S_{22})}\right| \]

    Si la carga se corresponde, es decir\(Z_{L} = Z_{0}^{\ast}\) (la impedancia de referencia del sistema), entonces

    \[\label{eq:5}\text{RL}_{\text{dB}}=-20\log|S_{11}| \]

    Esta pérdida de retorno también se denomina pérdida de retorno de entrada ya que el coeficiente de reflexión se calcula en Port\(\mathsf{1}\). La pérdida de retorno de salida se calcula buscando en el puerto\(\mathsf{2}\) de los dos puertos, donde ahora la terminación en Port\(\mathsf{1}\) es solo la impedancia de la fuente.

    clipboard_ec435b430db433aefc33f092a7ce4d104.png

    Figura\(\PageIndex{1}\): Dos puertos terminados utilizados para definir la pérdida de retorno.

    2.8.2 Pérdida de sustitución y pérdida de inserción

    La pérdida de sustitución es la relación de la potencia,\(^{i}P_{L}\), entregada a la carga por un dos puertos inicial identificado por el superíndice principal '\(i\)', y la potencia entregada a la carga,\(^{f}P_{L}\), con un final sustituido de dos puertos identificado por el superíndice principal '\(f\)'. En términos de parámetros de dispersión generalizados con impedancias de referencia\(Z_{01}\) en Puerto\(\mathsf{1}\) y\(Z_{02}\) en Puerto,\(\mathsf{2}\) la pérdida de sustitución en decibelios es (usando los resultados del Ejemplo 3.2.2 y señalando que\(\Gamma_{S}\) se refiere\(Z_{01}\) y\(\Gamma_{L}\) se hace referencia\(Z_{02}\))

    \[\label{eq:6}L_{S}|_{\text{dB}}=\frac{^{i}P_{L}}{^{f}P_{L}}=10\log\left|\frac{^{i}P_{L}}{^{f}P_{L}}\frac{[(1 −\:^{f}S_{11}\Gamma_{S})(1 −\:^{f}S_{22}\Gamma_{L}) −\:^{f}S_{12}\:^{f} S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}]}{[(1 −\:^{i}S_{11}\Gamma_{S})(1 −\:^{i}S_{22}\Gamma_{L}) −\:^{i}S_{12}\:^{i}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}]}\right|^{2} \]

    La pérdida de inserción es un caso especial de pérdida de sustitución con tipos particulares de redes iniciales de dos puertos. Hay una serie de casos especiales a considerar.

    Pérdida de inserción con un adaptador ideal

    La comparación de la potencia entregada a la carga con una inserción de dos puertos con la entregada con un adaptador ideal es la definición comúnmente aceptada de pérdida de inserción [10]. Es decir, 'pérdida de inserción' sin calificaciones es lo mismo que 'pérdida de inserción con un adaptador ideal'. Un adaptador ideal (como la red inicial de dos puertos) se transforma de la impedancia de\(\mathsf{1}\) referencia de puerto\(Z_{01}\), a la impedancia de\(\mathsf{2}\) referencia de puerto,\(Z_{02}\). En términos de\(S\) parámetros generalizados el adaptador ideal tiene\(^{i}(\:^{G}S_{11}) =0=\:^{i}(\:^{G}S_{22})\) (para no reflexión),\(^{i}(^{G}S_{12})\:^{i}(\:^{G}S_{21}) = 1\) (para ninguna pérdida en el adaptador y no hay desplazamiento de fase), y\(^{i}(\:^{G}S_{12}) =\:^{i}(\:^{G}S_{21}) Z_{01}/Z_{02}\) (para reciprocidad). (Si\(Z_{01} = Z_{02}\) este adaptador ideal es lo mismo que una conexión directa). La pérdida de inserción en decibelios es, usando la ecuación\(\eqref{eq:6}\):

    \[\label{eq:7}\text{IL}|_{\text{dB}}=10\log\left\{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}\left|\frac{[1 −\:^{f}(\:^{G}S_{11})\Gamma_{S}]\:[1 −\:^{f}(\:^{G}S_{22})\Gamma_{L}] −\:^{f}(\:^{G}S_{12})\:^{f}(\:^{G}S_{21})\Gamma_{S}\Gamma_{L}}{^{f}(\:^{G}S_{12})(1-\Gamma_{S}\Gamma)}\right|^{2}\right\} \]

    La atenuación se define como la pérdida de inserción sin reflejos de fuente y carga\((\Gamma_{S} =0=\Gamma_{L})\) [10], y la ecuación\(\eqref{eq:7}\) se convierte

    \[\label{eq:8}A|_{\text{dB}}=10\log\left(\frac{Z_{02}}{Z_{01}}\frac{1}{|^{G}S_{21}|^{2}}\right)\quad (=\text{IL}|_{\text{dB}}\text{ with }\Gamma_{S}=0=\Gamma_{L}) \]

    donde\(^{G}S_{21}\) está el de los dos puertos finales.

    Pérdida de inserción con conexión directa

    Con\(S\) parámetros normalizados, es decir\(Z_{01} = Z_{02}\), la pérdida de inserción con una conexión directa inicial es como se da en la Ecuación\(\eqref{eq:7}\). Con diferentes impedancias de referencia en cada puerto, la conexión directa inicial '\(i\)', del Ejemplo 2.4.1,\(^{i}(\:^{G}S_{11})= (Z_{02} − Z_{01})/(Z_{02} + Z_{01}),\)\(^{i}(\:^{G}S_{22}) = −\:^{i}(\:^{G}S_{11}),\)\(^{i}(\:^{G}S_{21}) = [1 +\:^{i}(\:^{G}S_{11})]\times\sqrt{\Re \{Z_{02}\}}/\sqrt{\Re \{Z_{01}\}}\), y\(^{i}(\:^{G}S_{12}) =[1 +\:^{i}(\:^{G}S_{22})]\sqrt{\Re\{Z_{01}\}}/ \sqrt{\Re\{Z_{02}\}}\). Estos\(S\) parámetros de la red inicial de dos puertos se sustituyen en Ecuación\(\eqref{eq:6}\) para determinar la pérdida de inserción con una conexión directa.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Inserción de dos puertos y definición de variables para definir la pérdida de inserción: (a) fuente y carga antes de la inserción; (b) inserción de red de dos puertos con nivel de fuente sin cambios; y (c) inserción de red de dos puertos con nivel de fuente ajustado para mantener un voltaje constante a través de la carga.

    2.8.3 Medición de la pérdida de inserción

    Si se pueden medir los\(S\) parámetros de una red de dos puertos, es sencillo calcular la pérdida de inserción de los dos puertos. Sin embargo, hay situaciones en las que no se pueden medir\(S\) los parámetros y esto incluye donde no hay una conexión de puerto (por ejemplo, el lado de aire de una antena) y las impedancias de referencia del sistema difieren en los dos puertos. En esta sección se describen métodos para medir la pérdida de inserción en situaciones tan difíciles. Si las mediciones de\(S\) parámetros no están disponibles la pérdida de inserción de una red de dos puertos se define como la relación, en decibelios, de voltajes inmediatamente más allá del punto de inserción, antes y después de la inserción [6, 11]. Haciendo referencia a las figuras\(\PageIndex{2}\) (a y b), la pérdida de inserción se expresa en decibelios como

    \[\label{eq:9}\text{IL}_{\text{dB}}=20\log\left|\frac{E_{2}}{E_{2}'}\right| \]

    donde\(E_{2}\) es el voltaje a través de la carga\((Z_{L})\) antes de la inserción de los dos puertos y\(E_{2}′\) es el voltaje a través de la carga\((Z_{L})\) después de la inserción de los dos puertos. La potencia entregada a la carga es proporcional al cuadrado de la magnitud del voltaje a través de la carga, por lo que esta definición es equivalente a la descrita en la sección 2.8.2 donde

    \[\label{eq:10}\text{IL}_{\text{dB}}=10\log\frac{P_{L}}{P_{T}} \]

    donde\(P_{L}\) es la potencia entregada a la carga antes de la inserción de los dos puertos y\(P_{T}\) es la potencia entregada a la carga después de la inserción.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Insertion loss of a two-port in a different reference system

    Un\(50\:\Omega\) atenuador tiene una atenuación de\(3\text{ dB}\) y una pérdida de retorno de\(20\text{ dB}\). Si el atenuador se usa en un\(75\:\Omega\) sistema ¿cuál es la pérdida de inserción del atenuador?

    Solución

    La pérdida de inserción se puede calcular usando la fórmula de pérdida de inserción en Ecuación\(\eqref{eq:6}\). Para aplicar esto se necesitan los\(50\:\Omega\text{ S}\) parámetros del atenuador y luego los coeficientes de reflexión de carga y fuente,\(\Gamma_{L}\) y\(\Gamma_{S}\) respectivamente, que serán los coeficientes de reflexión de las impedancias de\(75\:\Omega\) carga y fuente referidas\(50\:\Omega\). También tenga en cuenta que\(Z_{01} = Z_{02} = 50\:\Omega\). Ya que existen dos sistemas de referencia los superíndices principales\(50\) y\(75\) serán utilizados para distinguirlos.

    \(\underline{\text{Step 1.}}\)Encuentra\(\Gamma_{S}\) y\(\Gamma_{L}\) en el\(50\:\Omega\) sistema:\(\Gamma_{S} =\Gamma_{L} = (55 − 50)/(55 + 50) = 0.2000\)

    \(\underline{\text{Step 2.}}\)Encuentra los\(S\) parámetros en un\(50\:\Omega\) sistema. (caso\(\mathsf{1}\), asuma\(\angle S_{11} =\angle S_{21} = 0^{\circ})\)

    Se sabe que\(^{50}\text{RL}|_{\text{dB}} = 20\text{ dB}\) y\(^{50}\text{IL}|_{\text{dB}} = 3\text{ dB}\). También un atenuador es simétrico para que\(^{50}S_{11} =\:^{50}S_{22}\) y\(^{50}S_{12} =\:^{50}S_{21}\). Usando Ecuaciones\(\eqref{eq:5}\) y\(\eqref{eq:8}\)

    \[|^{50}S_{11}|=|^{50}S_{22}|=10^{-50_{\text{RL}|_{\text{dB}}/20}}=10^{-20/20}=0.1000\nonumber \]

    y

    \[|^{50}S_{12}|=|^{50}S_{21}|=10^{-50_{\text{IL}|_{\text{dB}}/20}}=10^{-3/20}=0.7080\nonumber \]

    Se desconocen las fases de los\(S\) parámetros. Suponga primero (use el subíndice principal '\(1\)') que las fases son\(0^{\circ}\) y considere alternativas más adelante y luego la matriz de\(S\) parámetros es

    \[\label{eq:11}_{1}\mathbf{S}=\left[\begin{array}{cc}{^{50}_{1}S_{11}}&{^{50}_{1}S_{12}}\\{^{50}_{1}S_{21}}&{^{50}_{1}S_{22}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{0.1000}&{0.7080}\\{0.7080}&{0.1000}\end{array}\right] \]

    De Ecuación\(\eqref{eq:7}\)

    \[\label{eq:12}^{75}_{1}\text{IL}_{\text{dB}}=10\log\left[\frac{50}{50}\left|\frac{(1 − 0.1\cdot 0.2) (1 − 0.1\cdot 0.2) − 0.7080\cdot 0.7080\cdot 0.2\cdot 0.2}{0.7080 (1 − 0.2\cdot 0.2)}\right|^{2}\right]=2.82\text{ dB} \]

    \(\underline{\text{Step 3}}\)Supuestos de cuatro fases para\(S_{11}\) y\(S_{22}\)

    \[\begin{array}{lll}{\text{Case 1}}&{\angle S_{11}=\angle S_{22}=0^{\circ},\:\angle S_{21}=\angle S_{12}=0^{\circ}}&{^{75}_{1}\text{IL}_{\text{dB}}=2.82\text{ dB}}\\{\text{Case 2}}&{\angle S_{11}=\angle S_{22}=0^{\circ},\:\angle S_{21}=\angle S_{12}=180^{\circ}}&{^{75}_{2}\text{IL}_{\text{dB}}=2.82\text{ dB}}\\{\text{Case 3}}&{\angle S_{11}=\angle S_{22}=180^{\circ},\:\angle S_{21}=\angle S_{12}=0^{\circ}}&{^{75}_{3}\text{IL}_{\text{dB}}=3.53\text{ dB}}\\{\text{Case 4}}&{\angle S_{11}=\angle S_{22}=180^{\circ},\:\angle S_{21}=\angle S_{12}=180^{\circ}}&{^{75}_{4}\text{IL}_{\text{dB}}=3.53\text{ dB}}\end{array}\nonumber \]

    Por lo tanto, solo conocer la pérdida de retorno y la pérdida de inserción en un sistema de referencia no es suficiente para conocer la pérdida de inserción en otro sistema sin conocer las fases de los\(S\) parámetros.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Insertion loss calculation using change of reference impedance

    Un\(50\:\Omega\) atenuador tiene una atenuación de\(3\text{ dB}\) y una pérdida de retorno de\(20\text{ dB}\). Si el atenuador se usa en un\(75\:\Omega\) sistema ¿cuál es la pérdida de inserción del atenuador?

    Solución

    Esto es una alternativa al método utilizado en Ejemplo\(\PageIndex{1}\). Usando los\(S\) parámetros del atenuador en Ecuación\(\eqref{eq:11}\), en un\(75\:\Omega\) sistema los\(S\) parámetros se encuentran usando la Ecuación (2.4.30) y señalando que\(\Gamma_{75} = 0.2\) es el coeficiente de reflexión de\(75\:\Omega\) en un\(50\:\Omega\) sistema:

    \[\begin{align}^{75}\mathbf{S}&=\left[\begin{array}{cc}{^{75}S_{11}}&{^{75}S_{12}} \\ {^{75}S_{21}}&{^{75}S_{22}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{^{50}_{1}S_{11}-\Gamma_{75}}&{^{50}_{1}S_{12}}\\{^{50}_{1}S_{21}}&{^{50}_{1}S_{22}-\Gamma_{75}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1-\Gamma_{75}\:^{50}_{1}S_{11}}&{-\Gamma_{75}\:^{50}_{1}S_{12}}\\{-\Gamma_{75}\:^{50}_{1}S_{21}}&{1-\Gamma_{75}\:^{50}_{1}S_{22}}\end{array}\right]^{-1} \nonumber \\ \label{eq:13}&=\left[\begin{array}{cc}{-0.1}&{0.7080} \\ {0.7080}&{-0.1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0.9800}&{-0.1416} \\ {-0.1416}&{0.9800}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{0.002379}&{0.7227} \\ {0.7227}&{0.002379}\end{array}\right]\end{align} \]

    En el\(75\:\Omega\) sistema la carga y la fuente se emparejan y usando Ecuación\(\eqref{eq:7}\)

    \[\label{eq:14}^{75}_{1}\text{IL}_{\text{dB}}=10\log\frac{1}{|^{75}S_{21}|^{2}}=10\log\frac{1}{|0.7227|^{2}}=2.82\text{ dB} \]

    que está de acuerdo con el cálculo en Ejemplo\(\PageIndex{1}\), ver Ecuación\(\eqref{eq:12}\).

    2.8.4 Pérdida mínima del transductor, atenuación intrínseca

    Otra situación que a menudo se requiere es determinar la mínima pérdida posible de un puerto de dos. Esto se obtiene con redes de dos puertos sin pérdidas,\(M_{1}\) y\(M_{2}\) en la entrada y salida de los dos puertos de interés,\(M_{3}\). \(M_{1}\)y\(M_{2}\) se ajustan para obtener la mínima pérdida posible de\(M_{3}\). Esto no es lo mismo que diseñar\(M_{1}\) y\(M_{2}\) obtener emparejamientos. La pérdida mínima de inserción, también llamada atenuación intrínseca, o pérdida mínima del transductor en\(\text{dB}\) es [12] (la derivación está involucrada),

    \[\label{eq:15}L_{\text{TM}|\text{dB}}=10\log\left[\frac{Z_{02}}{Z_{01}}\frac{|1 − S_{22}\Gamma_{\text{TM}}|^{2} − |(S_{12}S_{21} − S_{11}S_{22})\Gamma_{\text{TM}} + S_{11}| ^{2}}{|S_{21}|^{2} (1 − |\Gamma_{\text{TM}}|^{2})}\right] \]

    donde los\(S\) parámetros son de\(M_{3}\)\(Z_{01}\) y\(Z_{02}\) son las impedancias de referencia reales en los puertos\(\mathsf{1}\) y\(\mathsf{2}\) respectivamente, y

    \[\label{eq:16}\Gamma_{\text{TM}}=\frac{B}{2A}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{2|A|}{B}}\right) \]

    donde

    \[\label{eq:17}A = S_{22} + S_{11}^{\ast} (S_{12}S_{21} − S_{11}S_{22}) \]

    y

    \[\label{eq:18}B = 1 − |S_{11}|^{2} + |S_{22}|^{2} − |S_{12}S_{21} − S_{11}S_{22}|^{2} \]

    La atenuación intrínseca es una métrica útil cuando se está desarrollando un dispositivo y aún no se ha emparejado de manera óptima.

    Otros conceptos de pérdida de inserción son pérdida de comparación, pérdida de desajuste y pérdida de desajuste conjugado, ver [10].


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