Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

3.2: Gráfico de flujo de señal

  • Page ID
    80728
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Los SFG son formas convenientes de representar gráficamente sistemas de ecuaciones lineales simultáneas [1, 2]. Los SFG se utilizan en muchas disciplinas, pero son particularmente útiles con circuitos de RF y microondas.

    Un SFG representa una operación lineal en una entrada. Consideremos el inductor que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a), donde están las cantidades de circuito\(v\) y\(i\), y estas están relacionadas por la impedancia del inductor\(sL\). La representación SFG de esta relación se da en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b), con la operación realizada escrita junto a un borde dirigido. La operación aquí es simple, multiplicando una cantidad de entrada por un factor de escala. El borde se dirige desde el nodo de excitación al nodo de respuesta. La relación algebraica entre\(v\) y\(i\) es, en el dominio de Laplace,

    \[\label{eq:1}v=sLi \]

    y así es exactamente como se interpreta el SFG de la Figura\(\PageIndex{1}\) (b). Varias ecuaciones lineales se representan en forma SFG en la Tabla\(\PageIndex{1}\).

    3.2.1 SFG Representación de relaciones matemáticas

    En esta sección se presentan las reglas básicas para manipular los SFG. Piensa en cuando empezaste a trabajar con circuitos por primera vez. La gran abstracción surgió cuando el mundo físico se representaba gráficamente como conexiones de elementos de circuito. Siempre que se siguieran algunas reglas simples, la representación gráfica permitió el reconocimiento de topologías de circuitos y la selección de estrategias de solución adecuadas (por ejemplo, aplicar la regla del divisor de voltaje). Cuando se trata de trabajar con\(S\) parámetros e interconexiones de redes multipuerto, los SFG tienen el mismo propósito. Además, el análisis SFG permite el desarrollo de expresiones simbólicas. Aquí solo se considera una parte de la teoría de SFG, los aspectos relevantes para manipular descripciones de parámetros de dispersión. Balabaniano [3], Abrahams y Coverly [4], y Di Stefano et al. [5] proporcionan un tratamiento más detallado y general.

    3.2.2 Representación SFG de parámetros de dispersión

    Los parámetros de dispersión relacionan las ondas incidentes y reflejadas:

    \[\label{eq:2}\mathbf{b}=\mathbf{Sa} \]

    donde\(\mathbf{a}\) y\(\mathbf{b}\) son vectores y sus elementos\(i\) th se refieren a las ondas incidentes y reflejadas, respectivamente. Estas relaciones pueden ser representadas por SFG. Considere los dos puertos en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a) descritos por las ecuaciones

    \[\label{eq:3}b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2} \]

    \[\label{eq:4}b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2} \]

    que se representan en forma de SFG en la Figura\(\PageIndex{2}\) (b).

    3.2.3 Simplificación y Reducción de SFG

    El poder del análisis SFG es que un SFG puede formularse construyendo el conjunto de ecuaciones que describen una red conectando entre sí los SFG de secciones. El reconocimiento de patrones se puede utilizar para identificar patrones que pueden

    clipboard_eaf53c562ce98c6604cc83e53379fce24.png

    Figura\(\PageIndex{1}\): Un inductor representado como: (a) un elemento de dos terminales; y (b) su gráfica de flujo de señal.

    a) clipboard_e20d6502e2c59b124f5478dfbac4019dc.png \(y=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}\)
    b) clipboard_e3b49aaa0396bcf4c1b9b1e1319260b44.png

    \(\begin{aligned}y_{1}&=ax_{1}\\y_{2}&=ax_{1}\end{aligned}\nonumber\)

    c) clipboard_e642b44b4796ccb715b8062885dcb25a5.png \(\begin{aligned}y_{1}&=a_{3}(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}) \\ y_{2}&=a_{4}(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})\end{aligned}\nonumber\)

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Relaciones matemáticas en forma de gráficos de flujo de señal con bordes que conectan nodos. Los bordes y los nodos se utilizan en la teoría de grafos, un superconjunto de la teoría SFG. Un borde también se llama rama.

    clipboard_e9ac8abfbb8821dfcc2b00fb0149dd042.png

    Figura\(\PageIndex{2}\): Dos puertos representados como (a) una red de dos puertos con ondas incidentes y reflejadas; y (b) su representación SFG.

    clipboard_e9a13b6170f408d0d97ed28f0647c29ce.png

    Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfico de flujo de señal, representación de la suma.

    clipboard_e478de479db918453206961556b4a15f4.png

    Figura\(\PageIndex{4}\): Reducción en cascada de SFG: (a) tres bloques en cascada; y (b) forma reducida.

    clipboard_ed3593970d530fdb2de0957e1bfb882c3.png

    Figura\(\PageIndex{5}\): Simplificación del gráfico de flujo de señal eliminando una variable.

    reducido y simplificado para llegar a una relación simple entre entrada y salida del sistema. Los humanos son extraordinariamente buenos en el reconocimiento de patrones.

    Adición

    La Figura\(\PageIndex{3}\) representa la adición de SFG. Las figuras\(\PageIndex{3}\) (a y b) denotan

    \[\label{eq:5}x_{2}=G_{1}x_{1}+G_{2}x_{1} \]

    Multiplicación

    Consideremos los tres bloques en cascada representados por el SFG de la Figura\(\PageIndex{4}\) (a). Aquí la salida del primer bloque,\(x_{2}\), es descrita por\(x_{2} = G_{1}x_{1}\). Ahora\(x_{2}\) es la entrada al segundo bloque con salida\(x_{3} = G_{2}x_{2}\), y así sucesivamente. La respuesta total es producto de las respuestas individuales (ver Figura\(\PageIndex{4}\) (b)):

    \[\label{eq:6}x_{4}=G_{1}G_{2}G_{3}x_{1} \]

    Conmutación

    Las reglas que rigen la simplificación de los SFG utilizan el hecho de que cada gráfica representa un conjunto de ecuaciones simultáneas. Considera la remoción del nodo interno,\(b_{3}\), en la Figura\(\PageIndex{5}\) (a). Aquí

    \[\label{eq:7}b_{3}=S_{31}a_{1}+S_{32}a_{2}\quad\text{and}\quad b_{4}=S_{43}b_{3} \]

    \(b_{3}\)El nodo se llama un nodo mixto (siendo tanto de entrada como de salida) y se puede eliminar, por lo que

    \[\label{eq:8}b_{4}=S_{31}S_{43}a_{1}+S_{32}S_{43}a_{2} \]

    que tiene el SFG de la Figura\(\PageIndex{5}\) (b). En la Figura\(\PageIndex{5}\) (b) se\(b_{3}\) ha eliminado el nodo que representa la variable. Así, la eliminación de un nodo corresponde a

    clipboard_e3b1262a96e0c78882339aa959509157b.png

    Figura\(\PageIndex{6}\): Gráficas de flujo de señal que tienen un bucle automático: (a) SFG original; y (b) después de eliminar\(a_{2}\).

    clipboard_e1d94991dc745940de745e4aa35543799.png

    Figura\(\PageIndex{7}\): Gráfico de flujo de señal de (a) un auto-bucle; y (b) con el bucle eliminado.

    clipboard_e4ab24d53c639bd6a4a791a51f6e23e17.png

    Figura\(\PageIndex{8}\): Gráfico de flujo de señal con bucle.

    la eliminación de una variable en el simultáneo. Es suficiente reconocer el patrón SFG mostrado en la Figura\(\PageIndex{5}\) (a) y reemplazarlo por el SFG de la Figura\(\PageIndex{5}\) (b) para lograr la reducción de SFG.

    Auto-lazo

    Reconocer un auto-bucle y eliminarlo es el mejor ejemplo hasta ahora de identificación de patrones y aplicación directa de estrategias de reducción de SFG. Considere el SFG de la Figura\(\PageIndex{6}\) (a), que tiene un auto-bucle, que describe Las ecuaciones para esta gráfica son

    \[\label{eq:9}b_{3} = S_{32}a_{2},\quad S_{23}a_{2} = b_{2},\quad b_{2} = S_{21}a_{1} + S_{23}a_{3},\quad a_{3} = b_{3} \]

    Así

    \[\label{eq:10}b_{3} = S_{32}S_{21}a_{1} + S_{32}S_{23}b_{3}\quad\text{ and }\quad (1 − S_{32}) b_{3} = S_{32}S_{21}a_{1} \]

    donde la variable\(b_{2}\) ha sido eliminada. La gráfica de la Ecuación\(\eqref{eq:10}\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\) (a). El bucle unido al nodo\(b_{3}\) se llama un auto-bucle. Tales bucles no son particularmente convenientes y se pueden eliminar escribiendo Ecuación\(\eqref{eq:10}\) en la forma

    \[\label{eq:11}b_{3}=\frac{S_{21}S_{32}}{1-S_{23}S_{32}}a_{1} \]

    y el SFG para esta ecuación se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\) (b). La regla para eliminar los auto-bucles se desprende de la manera en que la Figura\(\PageIndex{7}\) (a) se transformó en la Figura\(\PageIndex{7}\) (b). Como ejemplo, la Figura\(\PageIndex{8}\) (a) se convierte en Figura\(\PageIndex{8}\) (b) y ésta puede reducirse al SFG de la Figura\(\PageIndex{8}\) (c).

    Como ejemplo adicional, considere el caso de bucle múltiple más difícil que se muestra en la Figura\(\PageIndex{9}\) (a). Esto puede ser redibujado como la Figura\(\PageIndex{9}\) (b). Se agregan los dos autofloops y luego la gráfica se reduce a la de la Figura\(\PageIndex{9}\) (c).

    clipboard_e31453af664d05b050a6670c04b6ff04c.png

    Figura\(\PageIndex{9}\): Gráfico de flujo de señal con múltiples bucles.

    clipboard_e6184d296ee9f1ca8a72f5e3e92d45bde.png

    Figura\(\PageIndex{10}\): Secuencia de manipulaciones gráficas en Ejemplo\(\PageIndex{1}\) reduciendo un puerto terminado de dos puertos a una reflexión solamente.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Signal Flow Graph

    Dibujar el SFG de un puerto de dos puertos con una carga (en Puerto\(\mathsf{2}\)) que tiene un coeficiente de reflexión de voltaje de\(\Gamma_{L}\), y en Puerto\(\mathsf{1}\) una fuente tiene un coeficiente de reflexión de\(\Gamma_{S}\). Usando el análisis SFG, derivar una expresión para el coeficiente de reflexión de entrada buscando en el puerto de dos puertos\(\mathsf{1}\).

    Solución

    El puerto de dos puertos se muestra a la derecha con la carga unida. El coeficiente de reflexión de entrada es\(\Gamma_{\text{in}} = b_{1}/a_{1}\) y las propiedades de la fuente aquí no tienen impacto.

    clipboard_e585d701bdfbb0e6d67edbc2acefbe6ae.png

    Figura\(\PageIndex{11}\)

    La secuencia de manipulaciones de SFG se muestra en la Figura\(\PageIndex{10}\) comenzando con el SFG en la esquina superior izquierda. Entonces el coeficiente de reflexión de entrada es

    \[\label{eq:12}\Gamma_{\text{in}}=\frac{b_{1}}{a_{1}}=S_{11}+\frac{S_{21}S_{12}\Gamma_{L}}{1-S_{22}\Gamma_{L}} \]

    clipboard_ea12cce853a812b47ca98ebbe5e774e63.png

    Figura\(\PageIndex{12}\): Desarrollo del modelo gráfico de flujo de señal de una fuente. El modelo en (a) es para una impedancia de referencia real\(Z_{0}\).

    3.2.4 Modelo SFG de una Fuente

    El modelo SFG, referenciado a una impedancia posiblemente compleja\(Z_{0}\), de una fuente con una tensión\(E\) e impedancia equivalentes a Thevenin\(Z_{S}\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{12}\) (a). En el desarrollo de este modelo se utiliza el circuito mostrado en la Figura\(\PageIndex{12}\) (b) donde la línea de transmisión de longitud infinitesimal separa las ondas de voltaje hacia adelante y hacia atrás,\(V_{1}^{+}\) y\(V_{1}^{−}\) para una impedancia de referencia del sistema de\(Z_{0}\), la impedancia característica de la transmisión línea. El modelo SFG utilizado con la fuente de línea de transmisión aumentada se muestra en la Figura\(\PageIndex{12}\) (c). El modelo SFG de la Figura\(\PageIndex{12}\) (c) describe

    \[\label{eq:13}a_{1}=b_{s}+\Gamma_{S}b_{1} \]

    donde el coeficiente de reflexión de origen\(\Gamma_{S} = (Z_{S} − Z_{0})/(Z_{S} + Z_{0})\). Las ecuaciones de circuito para la Figura\(\PageIndex{12}\) (b) son

    \[\label{eq:14}V_{1}=E-I_{S}Z_{S}=V_{1}^{+}+V_{1}^{-}\quad\text{and}\quad I_{S}=\frac{V_{1}^{+}}{Z_{0}}-\frac{V_{1}^{-}}{Z_{0}} \]

    Ahora, los voltajes de onda viajera están relacionados con las ondas de potencia raíz a y b como (ver Ecuación\(\eqref{eq:15}\))

    \[\label{eq:15}a_{1}=\frac{V_{1}^{+}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\quad\text{and}\quad b_{1}=\frac{V_{1}^{-}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}} \]

    Luego combinando Ecuaciones\(\eqref{eq:14}\) y\(\eqref{eq:15}\) rendimientos

    \[\begin{align}E&=V_{1}^{+}\frac{Z_{S}+Z_{0}}{Z_{0}}-V_{1}^{-}\frac{Z_{S}-Z_{0}}{Z_{0}}\nonumber \\ \frac{Z_{0}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\frac{1}{Z_{S}+Z_{0}}E&=\frac{V_{1}^{+}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\left(\frac{Z_{S}+Z_{0}}{Z_{S}+Z_{0}}\right)-\frac{V_{1}^{-}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\left(\frac{Z_{S}-Z_{0}}{Z_{S}+Z_{0}}\right)\nonumber \\ \label{eq:16}\frac{Z_{0}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\frac{1}{Z_{S}+Z_{0}}E&=a_{1}-b_{1}\Gamma_{S}\end{align} \]

    Comparando ecuaciones\(\eqref{eq:13}\) y\(\eqref{eq:16}\) se ve que

    \[\label{eq:17}b_{s}=\frac{Z_{0}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\frac{1}{Z_{S}+Z_{0}}E \]

    Así, el modelo SFG de una fuente es como se muestra en la Figura\(\PageIndex{12}\) (a) donde se muestra el modelo para un real\(Z_{0}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Power Delivered to a Load and Substitution Loss

    Este ejemplo ilustra el método para determinar potencias usando análisis de gráficos de flujo de señal con\(S\) parámetros generalizados que tienen impedancias de referencia\(Z_{01}\) en Puerto\(\mathsf{1}\) y\(Z_{02}\) en Puerto\(\mathsf{2}\). Esto se utiliza entonces para determinar la pérdida por sustitución. La pérdida de sustitución es la relación de la potencia entregada a una carga con dos puertos iniciales, a la potencia entregada con la red final sustituida de dos puertos. Los elementos SFG se muestran a la derecha con los\(\Gamma_{S}\) referidos\(Z_{01}\) y\(\Gamma_{L}\) referidos\(Z_{02}\).

    clipboard_e1dd124a320f6fcbb7aa7a4a81aff056a.png

    Figura\(\PageIndex{13}\)

    Solución

    Las manipulaciones SFG que determinan la potencia entregada a la carga se muestran en la Figura\(\PageIndex{14}\) donde

    \[\label{eq:18}\alpha=\frac{S_{21}}{1-S_{22}\Gamma_{L}},\quad\beta=\frac{1}{1-\Gamma_{S}(S_{11}+S_{12}\Gamma_{L}\alpha)} \]

    y

    \[\begin{align}b_{2}&=b_{S}\alpha\beta =b_{S}\frac{S_{21}}{(1-S_{22}\Gamma_{L})}\frac{1}{\{1 − \Gamma_{S} [S_{11} + S_{12}S_{21}\Gamma_{L}/(1 − S_{22}\Gamma_{L})]\}}\nonumber \\ &=b_{S}\frac{S_{21}}{(1-S_{22}\Gamma_{L})}\frac{(1-S_{22}\Gamma_{L})}{[(1 − S_{22}\Gamma_{L}) − S_{11}\Gamma_{S}(1 − S_{22}\Gamma_{L}) + S_{12}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}]}\nonumber \\ &=b_{S}\frac{S_{21}}{1 − S_{22}\Gamma_{L} − S_{11}\Gamma_{S} + S_{11}S_{22}\Gamma_{S}\Gamma_{L} + S_{12}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}}\nonumber \\ \label{eq:19}&=b_{S}\frac{S_{21}}{(1 − S_{11}\Gamma_{S})(1 − S_{22}\Gamma_{L}) − S_{12}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}}\end{align} \]

    Entonces la potencia entregada a la carga es (usando la Ecuación (2.4.9))

    \[\label{eq:20}P_{L}=\frac{1}{2}|b_{2}|^{2}(1-|\Gamma_{L}|^{2})=\frac{\frac{1}{2}|b_{S}S_{21}|^{2}(1-|\Gamma_{L}|^{2})}{|(1-S_{11}\Gamma_{S})(1-S_{22}\Gamma_{L})-S_{12}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}|^{2}} \]

    La pérdida de sustitución\(L_{S}\),, es la relación de la potencia entregada a la carga por un dos puertos inicial identificado por el superíndice principal '\(i\)', y la potencia entregada a la carga con un puerto final de dos identificados por el superíndice principal '\(f\)'. En decibelios

    \[\label{eq:21}L_{S}|_{\text{dB}}=10\log\left|\frac{^{i}P_{L}}{^{f}P_{L}}\right|=10\log\left|\frac{[(1 −\:^{f}S_{11}\Gamma_{S})(1 −\:^{f}S_{22}\Gamma_{L}) −\:^{f}S_{12}\:^{f}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}]}{[(1 −\:^{i}S_{11}\Gamma_{S})(1 −\:^{i}S_{22}\Gamma_{L}) −\:^{i}S_{12}\:^{i}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}]}\right|^{2} \]

    La pérdida por sustitución se utiliza para derivar fórmulas para la pérdida de inserción, ver Sección 2.8.2.

    clipboard_e188c58a1b2677caf1b21c2b189c55303.png

    Figura\(\PageIndex{14}\): Manipulaciones SFG en el desarrollo de la potencia entregada a una carga con una red de dos puertos entre la fuente y la carga.

    3.2.5 Regla de Mason

    La regla de Mason es un procedimiento general para reducir SFG con múltiples bucles y es un procedimiento sistemático para la reducción de SFG a una sola rama. Mason [6] derivó la fórmula con el objetivo de desarrollar un método general para el análisis por computadora de circuitos eléctricos. En primer lugar, se deben introducir varias definiciones de topología.

    Un camino comienza en un nodo y atraviesa una serie de bordes sucesivos en la dirección de las flechas para llegar al nodo o sumidero final. En el análisis SFG, un camino es un camino de avance, ya que los bordes sucesivos se recorren en la dirección de las flechas. Una ruta abierta se encuentra con el mismo nodo solo una vez, y una ruta cerrada (o un bucle) termina en el mismo nodo en el que se inicia. El producto de las transmitancias de todos los bordes en un bucle se llama transmitancia de bucle. Se dice que dos caminos, abiertos o cerrados, son caminos que no se tocan si no tienen nodos en común. Del mismo modo, los bucles disjuntos son bucles que no tienen nodos en común.

    Regla de Mason:

    Si\(T\) representa la función general de transferencia gráfica y\(T_{k}\) representa la función de transferencia de la ruta de avance\(k\) th desde la fuente hasta el sumidero, entonces

    \[\label{eq:22}T=\frac{1}{\lambda}\sum_{k}T_{k}\lambda_{k} \]

    donde\(\lambda\) es el determinante de la matriz de coeficientes de las ecuaciones representadas por el SFG (generalmente llamado el determinante de la gráfica) y\(\lambda_{k}\) es el determinante de esa parte de la gráfica (subgrafía) que no toca la ruta de avance\(k\) th. El determinante viene dado por

    \[\label{eq:23}\lambda=1-\sum_{k}P_{j1}+\sum_{j}P_{j2}-\sum_{j}P_{j3}+\ldots \]

    donde la primera suma en Ecuación\(\eqref{eq:23}\) es la suma de las funciones de transferencia de bucle de todos los bucles en la gráfica. En la segunda suma, se agregan los productos de las funciones de transferencia de todos los pares de bucles no táctiles. En la tercera suma, se agregan los productos de las funciones de transferencia de bucles disjuntos tomados tres a la vez, y así sucesivamente. La regla de Mason puede ser bastante difícil de aplicar, pero cualquier problema que la regla de Mason pueda resolver también se puede resolver usando múltiples aplicaciones de manipulaciones SFG descritas anteriormente.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Application of Mason's Rule

    Use la regla de Mason para reducir el SFG que se muestra en la Figura\(\PageIndex{15}\) (a). Aquí, el nodo de entrada\(a_{1}\) es la excitación y el nodo de salida\(b_{4}\) es la respuesta. La transmitancia\(T\) es igual a\(b_{4}/a_{1}\).

    Solución

    Primero, considere el determinante de la gráfica de flujo. Dado que todos los bucles tienen al menos un nodo en común, la expresión para el determinante se reduce a

    \[\label{eq:24}\lambda=1-\sum_{j}P_{j1} \]

    Hay tres bucles identificados en la Figura\(\PageIndex{15}\) (b) con transmitancias\(\mathsf{A} = S_{21}S_{32}S_{13},\: \mathsf{B} = S_{32}S_{43}S_{24},\) y\(\mathsf{C} = S_{21}S_{32}S_{43}S_{14}\). Así, la suma de las transmitancias de bucle es

    \[\label{eq:25}\sum_{j}=P_{j1}=S_{21}S_{32}S_{13} + S_{32}S_{43}S_{24} + S_{21}S_{32}S_{43}S_{14} \]

    y el determinante viene dado por

    \[\label{eq:26}\lambda= 1 − S_{21}S_{32}S_{13} − S_{32}S_{43}S_{24} − S_{21}S_{32}S_{43}S_{14} \]

    Esta regla funciona bien con la capacidad humana de reconocer patrones, en este caso bucles. Solo hay una ruta de avance, identificada en la Figura\(\PageIndex{15}\) (b), de fuente\(a_{1}\) a sumidero\(b_{4}\), dada por

    \[\label{eq:27}T_{1}=S_{21}S_{32}S_{43} \]

    Dado que todos los bucles de la gráfica tienen nodos que tocan\(T_{1}\), entonces\(\lambda_{1} = 1\) y

    \[\label{eq:28}\sum_{k}T_{k}\lambda_{k}=T_{1}\lambda_{1}=S_{21}S_{32}S_{43} \]

    Así

    \[\label{eq:29}\frac{b_{4}}{a_{1}}=T=\frac{S_{21}S_{32}S_{43}}{1− S_{21}S_{32}S_{13} − S_{32}S_{43}S_{24} − S_{21}S_{32}S_{43}S_{14}} \]

    clipboard_e6319d4fbba800e25d6608882700ff3fd.png

    Figura\(\PageIndex{15}\): Gráfica de flujo de señal utilizada en el Ejemplo 3.2.3 aplicando la regla de Mason: (a) SFG; (b) anotación que identifica bucles y trayectoria pasante; y (c) reducción final.

    3.2.6 Resumen

    La reducción de SFG se puede utilizar con valores numéricos pero el poder real proviene de la capacidad de desarrollar expresiones simbólicas. En la ingeniería de RF y microondas estas expresiones casi siempre implican parámetros de dispersión, pero se pueden usar con cualquier conjunto de ecuaciones. El diseño se realiza mejor mediante el desarrollo de soluciones simbólicas, ya que permiten realizar la optimización y obtener conocimientos sobre la importancia de los parámetros.


    This page titled 3.2: Gráfico de flujo de señal is shared under a CC BY-NC license and was authored, remixed, and/or curated by Michael Steer.