1.5: Ecuaciones de Maxwell

En esta y siguientes secciones, la teoría EM se presenta en una forma que ayuda en la comprensión de los efectos distribuidos, como la propagación en líneas de transmisión, el acoplamiento de líneas de transmisión y cómo los efectos de la línea de transmisión pueden usarse para realizar componentes con una funcionalidad única. Si bien esta es una revisión del material que la mayoría de los lectores han aprendido previamente, se presenta de una forma ligeramente diferente a la habitual. El tratamiento comienza con las ecuaciones de Maxwell y no con las leyes de campo estáticas. Esta no es la forma en que inicialmente se presenta la teoría EM.

Las ecuaciones de Maxwell son una visión notable y las primeras leyes de campo se pueden derivar de ellas. Lo más importante es que las ecuaciones de Maxwell describen la propagación de un campo EM. Las ecuaciones de Maxwell se presentan en forma de puntos en la Sección 1.5.1 y en forma integral en la Sección 1.5.5. De estos, se derivan las primeras leyes del campo eléctrico y magnético. El efecto de las condiciones de contorno se introduce en la Sección 1.8 para llegar a implicaciones para el multimodo en las líneas de transmisión. El multimodo casi siempre es indeseable, y al diseñar estructuras de líneas de transmisión para evitar el multimodo, es necesario tener reglas que establezcan cuándo puede ocurrir el multimodo.

1.5.1 Forma puntual de los ecuaiones de Maxwell

Las características de los campos EM son descritas por las ecuaciones de Maxwell:

\[\label{eq:1}\nabla\times\overline{\mathcal{E}}=-\frac{\partial\overline{\mathcal{B}}}{\partial t}-\overline{\mathcal{J}}_{m} \]

\[\label{eq:2}\nabla\cdot\overline{\mathcal{D}}=\rho_{V} \]

\[\label{eq:3}\nabla\times\overline{\mathcal{H}}=\frac{\partial\overline{\mathcal{D}}}{\partial t}+\overline{\mathcal{J}} \]

\[\label{eq:4}\nabla\cdot\overline{\mathcal{B}}=\rho_{mV} \]

donde\(\mu\) se llama la permeabilidad del medio y\(\varepsilon\) se llama la permitividad del medio. (El lado izquierdo de la ecuación\(\eqref{eq:1}\) se lee como “curl E” y el lado izquierdo de la ecuación\(\eqref{eq:2}\) como “div E.”) Son propiedad de un medio y describen la capacidad de almacenar energía magnética y energía eléctrica. Las otras cantidades en Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) —\(\eqref{eq:4}\) son

• \(\overline{\mathcal{E}}\), el campo eléctrico, con unidades de voltios por metro (\(\text{V/m}\)), un vector variable en el tiempo
• \(\overline{\mathcal{D}}\), la densidad de flujo eléctrico, con unidades de culombios por metro cuadrado (\(\text{C/m}^{2}\))
• \(\overline{\mathcal{H}}\), el campo magnético tridimensional, con unidades de amperios por metro (\(\text{A/m}\))
• \(\overline{\mathcal{B}}\), la densidad de flujo magnético, con unidades de teslas (\(\text{T}\))
• \(\overline{\mathcal{J}}\), la densidad de corriente eléctrica, con unidades de amperios por metro cuadrado (\(\text{A/m}^{2}\))
• \(\rho_{V}\), la densidad de carga eléctrica, con unidades de culombios por metro cúbico (\(\text{C/m}^{3}\))
• \(\rho_{mV}\), la densidad de carga magnética, con unidades de webers por metro cúbico (\(\text{Wb/m}^{3}\))
• \(\overline{\mathcal{J}}_{m}\)es la densidad de corriente magnética, con unidades de webers por segundo por metro cuadrado (\(\text{Wb}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}\)).

Las cargas magnéticas no existen, pero su introducción en las ecuaciones de Maxwell a través de la densidad de carga magnética\(\rho_{mV}\), y la densidad de corriente magnética\(\overline{\mathcal{J}}_{m}\), introducen una simetría estéticamente atractiva. Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales, y como ocurre con la mayoría de las ecuaciones diferenciales, su solución se obtiene con condiciones de límite particulares que aquí son impuestas por conductores. Los conductores eléctricos (es decir, paredes eléctricas) soportan cargas eléctricas y, por lo tanto, corriente eléctrica. Por analogía, las paredes magnéticas soportan cargas magnéticas y corrientes magnéticas. Las paredes magnéticas también proporcionan condiciones de límite para ser utilizadas en la solución de las ecuaciones de Maxwell. La noción de paredes magnéticas es importante en la ingeniería de RF y microondas, ya que se aproximan por el límite entre dos dieléctricos de diferente permitividad. Cuanto mayor es la diferencia de permitividad, más cerca se aproxima el límite a una pared magnética. Como resultado, el análisis de muchas estructuras con diferentes dieléctricos se puede simplificar, ayudando a la comprensión intuitiva.

Los campos en Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) -\(\eqref{eq:4}\) son campos tridimensionales, e.g.

\[\label{eq:5}\overline{\mathcal{E}}=\mathcal{E}_{x}\hat{\mathbf{x}}+\mathcal{E}_{y}\hat{\mathbf{y}}+\mathcal{E}_{z}\hat{\mathbf{z}} \]

donde\(\hat{\mathbf{x}},\:\hat{\mathbf{y}},\) y\(\hat{\mathbf{z}}\) son los vectores unitarios (que tienen una magnitud de\(1\)) en las\(z\) direcciones\(x,\: y\) y, respectivamente. \(\mathcal{E}_{x},\:\mathcal{E}_{y},\)y\(\mathcal{E}_{z}\) son los componentes del campo eléctrico en las\(z\) direcciones\(x,\: y,\) y, respectivamente.

Los símbolos y unidades utilizadas con las diversas cantidades de campo y algunos de los otros símbolos que se introducirán pronto se dan en la Tabla\(\PageIndex{1}\). \(\overline{\mathcal{B}}\)y\(\overline{\mathcal{H}}\),\(\overline{\mathcal{D}}\) y\(\overline{\mathcal{E}}\) están relacionados entre sí por las propiedades del medio encarnado

Símbolo	Unidad SI	Unidad SI	Nombre y Unidades Base
\(E\)	voltios por metro	\(\text{V/m}\)	intensidad de campo eléctrico unidad base:\(\text{kg}\cdot\text{m}\text{s}^{-3}\cdot\text{A}^{-1}\)
\(H\)	amperios por metro	\(\text{A/m}\)	intensidad del campo magnético
\(D\)	culombios por metro cuadrado	\(\text{C/m}^{2}\)	\(D=\varepsilon E\), densidad de flujo eléctrico unidad base:\(\text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-2}\)
\(B\)	tesla, webers por metro cuadrado	\(\text{T}\)	\(B=\mu H\), densidad de flujo magnético unidad base:\(\text{kg}\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{A}^{-1}\)
\(I\)	amp	\(\text{A}\)	corriente eléctrica
\(M\)	amperios por metro	\(\text{A/m}\)	magnetización unidad base:\(\text{A}\cdot\text{m}^{-1}\)
\(q_{e}\)	culombo	\(\text{C}\)	carga eléctrica unidad base:\(\text{A}\cdot\text{s}\)
\(q_{m}\)	weber	\(\text{Wb}\)	carga magnética unidad base:\(\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{A}^{-1}\)
\(\psi_{e}\)	culombo	\(\text{C}\)	flujo eléctrico unidad base:\(\text{A}\cdot\text{s}\)
\(\psi_{m}\)	weber	\(\text{Wb}\)	flujo magnético unidad base:\(\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{A}^{-1}\)
\(\rho_{V}\)	culombios por metro cúbico	\(\text{C}\cdot\text{m}^{-3}\)	densidad de carga unidad base:\(\text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-3}\)
\(\rho_{S}\)	culombios por emter cuadrado	\(\text{C/m}^{2}\)	densidad de carga superficial unidad base:\(\text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-2}\)
\(\rho_{mV}\)	webers por metro cúbico	\(\text{Wb/m}^{3}\)	densidad de carga magnética unidad base:\(\text{kg}\cdot\text{m}^{−1}\cdot\text{s}^{−2}\cdot\text{A}^{−1}\)
\(\rho_{mS}\)	webers por metro cuadrado	\(\text{Wb/m}^{2}\)	densidad de carga magnética superficial unidad base:\(\text{kg}\cdot\text{s}^{−2}\cdot\text{A}^{−1}\)
\(J\)	amperios por metro cuadrado	\(\text{A/m}^{2}\)	densidad de corriente eléctrica
\(J_{S}\)	amperios por metro	\(\text{A/m}\)	densidad de corriente eléctrica superficial
\(J_{m}\)	webers por segundo por metro cuadrado	\(\text{Wb}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}\)	densidad de corriente magnética unidad base:\(\text{kg}\cdot\text{s}^{−3}\cdot\text{A}^{−1}\)
\(J_{mS}\)	webers por segundo por metro	\(\text{Wb}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}\)	densidad de corriente magnética superficial unidad base:\(\text{kg}\cdot\text{m}^{−1}\cdot\text{s}^{−3}\cdot\text{A}^{−1}\)
\(S\)	metros cuadrados	\(\text{m}^{2}\)	superficie
\(V\)	metros cúbicos	\(\text{m}^{3}\)	volumen
\(\varepsilon\)	faradios por metro	\(\text{F/m}\)	permitividad unidad base:\(\text{kg}^{−1}\cdot\text{m}^{−3}\cdot\text{A}^{2}\cdot\text{s}^{4}\)
\(\mu\)	henry por metro	\(\text{H/m}\)	permeabilidad unidad base:\(\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{−2}\cdot\text{A}^{−2}\)
\(dS\)	metro cuadrado	\(\text{m}^{2}\)	área incremental
\(d\ell\)	medidor	\(\text{m}\)	longitud incremental
\(dV\)	metro cúbico	\(\text{m}^{3}\)	volumen incremental
\(\oint_{C}\)			integral alrededor de un contorno cerrado
\(\oint_{S}\)			integral sobre una superficie cerrada
\(\int_{V}\)			integral sobre una integral de volumen de superficie cerrada

Tabla\(\PageIndex{1}\): Cantidades utilizadas en las ecuaciones de Maxwell. La carga magnética y la corriente se introducen en el establecimiento de condiciones límite, especialmente en las interfaces dieléctricas. Las unidades SI de otras cantidades utilizadas en la ingeniería de RF y microondas se dan en la Tabla 2.A.1.

en\(\mu\) y\(\varepsilon\):

\[\label{eq:6}\overline{\mathcal{B}}=\mu\overline{\mathcal{H}} \]

\[\label{eq:7}\overline{\mathcal{D}}=\varepsilon\overline{\mathcal{E}} \]

La cantidad\(\mu\) se llama permeabilidad y describe la capacidad de almacenar energía magnética en una región. Se denota la permeabilidad en el espacio libre (o vacío)\(\mu_{0}\) y el flujo magnético y el campo magnético se relacionan como (dónde\(\mu_{0} = 4\pi\times 10^{−7}\text{ H/m}\))

\[\label{eq:8}\overline{\mathcal{B}}=\mu_{0}\overline{\mathcal{H}} \]

1.5.2 Momentos y Polarización

En esta subsección se describe la respuesta de los materiales a los campos eléctricos y magnéticos. En una sección posterior habrá una discusión más específica sobre la interacción de los dieléctricos y los metales con los campos eléctricos. El objetivo principal aquí es definir vectores de polarización eléctrica y magnética.

Respuesta del material a un campo eléctrico aplicado

La generación de momentos eléctricos es la respuesta atómica de un material a un campo eléctrico aplicado. Con un átomo el centro de carga negativa, el centro de la nube de electrones, y el centro de la carga positiva, el núcleo, se superponen. Cuando se aplica un campo eléctrico los centros de carga positiva y negativa se separan y la energía eléctrica adicional a la almacenada en el espacio libre se almacena de una manera muy similar al almacenamiento de energía potencial en un resorte estirado. La separación de carga (carga por distancia) forma un dipolo eléctrico que tiene un momento dipolo eléctrico\(\overline{p}\) que tiene las unidades SI de\(\text{C}\cdot\text{m}\) o\(\text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}\). Lo mismo ocurre con los sólidos pero ahora los centros de carga positiva y negativa podrían separarse incluso sin un campo eléctrico externo y se dice que el material está polarizado. Si hay momentos dipolares\(n\) eléctricos\(\overline{p}\) por unidad de volumen (en SI por\(\text{m}^{3}\)), entonces la densidad de polarización (o polarización eléctrica o simplemente polarización) es

\[\label{eq:9}\overline{\mathcal{P}}=n\overline{p} \]

que cuenta con las unidades SI de\(\text{C/m}^{2}\). \(\overline{\mathcal{P}}\)tiene las mismas unidades y tiene el mismo efecto que la densidad de flujo eléctrico\(\overline{\mathcal{D}}\). En un material homogéneo, lineal, isotrópico,\(\overline{\mathcal{P}}\) es proporcional a la intensidad del campo eléctrico aplicado\(\overline{\mathcal{E}}\). Un material homogéneo tiene las mismas propiedades promedio en todas partes y un material isotrópico se ve igual en todas las direcciones. Los materiales que no son isotrópicos se denominan anisotrópicos y más comúnmente estos son cristales que tienen celdas unitarias asimétricas de manera que la separación de carga, la energía eléctrica almacenada por esta separación de carga (la fuerza del resorte) en respuesta a un campo aplicado depende de la dirección. Como resultado

\[\label{eq:10}\overline{\mathcal{P}}=\check{χ}_{e}\varepsilon_{0}\overline{\mathcal{E}} \]

donde\(\check{χ}_{e}\) se llama la susceptibilidad eléctrica del material. La susceptibilidad eléctrica se ha escrito como un tensor, una\(3\times 3\) matriz que relaciona las tres direcciones de\(\overline{\mathcal{E}}\) con las tres posibles direcciones de\(\overline{\mathcal{P}}\). Para un sólido amorfo o un cristal con alta simetría de celda unitaria, los nueve elementos de\(\check{χ}_{e}\) son los mismos y así se deja caer la notación tensora y\(χ_{e}\) se usa como escalar.

Respuesta del material a un campo magnético aplicado

Todos los materiales contienen electrones cada uno teniendo una carga y un giro. Las cargas producen un campo eléctrico y el giro produce un campo magnético. El campo magnético producido por un electrón es casi el que sería producido por una carga de giro mecánico, aunque no hay rotación mecánica real. El giro es una propiedad mecánica cuántica. Aún así es muy difícil evitar usar la analogía de carga giratoria. El giro de un electrón apunta en una dirección particular y en la mayoría de los materiales estos giros se disponen aleatoriamente y se cancelan entre sí para que no haya un efecto magnético neto. Algunos materiales pueden magnetizarse mediante un gran campo magnético aplicado externamente y los giros se alinean permanentemente incluso cuando se elimina el campo magnético externo. En ocasiones la alineación se establece por la geometría cristalina.

Considera un material magnético sin magnetización permanente. Cuando se aplica un campo magnético a estos materiales, el vector de espín electrónico tiende a girar y se almacena energía. La capacidad de almacenar energía magnética por encima de la que se almacenaría en vacío se describe por el concepto de permeabilidad relativa.

La respuesta de un material a un campo magnético aplicado no es directamente análoga a la respuesta a un campo eléctrico aplicado debido a la diferencia fundamental en la fuente de los momentos magnéticos. En la mayoría de los materiales el momento magnético de un electrón se empareja con un electrón que ocupa el mismo orbital con un momento magnético en la dirección opuesta para que no haya un momento magnético neto. En los materiales magnéticos hay algunos orbitales que no tienen par de electrones para que haya un momento magnético neto. La energía adicional se almacena cuando los momentos magnéticos netos son girados lejos de su dirección preferida a largo plazo por un campo magnético aplicado externamente\(\overline{\mathcal{H}}\). Esto es como almacenar energía en una primavera. Es como si hubiera un campo magnético adicional llamado polarización magnética que tiene una densidad particular. La densidad neta de polarización magnética se denota\(\overline{\mathcal{M}}\) que tiene las unidades SI de\(\text{A/m}\) y

\[\label{eq:11}\overline{\mathcal{M}}=\check{χ}_{m}\overline{\mathcal{H}} \]

donde\(\check{χ}_{m}\) se llama la susceptibilidad magnética del material y en general puede ser una\(3\times 3\) matriz. La permeabilidad relativa se define como

\[\label{eq:12}\check{\mu}_{r}=1+\check{χ}_{m} \]

Resumen

Una aspiradora puede almacenar energía eléctrica y magnética. Los materiales pueden almacenar energía adicional y la propensión relativa al vacío se describe por la permitividad relativa y permeabilidad, respectivamente, del material.

1.5.3 Intensidad de Campo y Densidad de Flujo

La permeabilidad\(\mu\),, es generalmente un escalar, pero en materiales magnéticos puede ser una\(3\times 3\) matriz llamada tensor diádico siendo el tensor de permeabilidad relativa\(\check{\mu}_{r}\). Entonces

\[\label{eq:13}\overline{\mathcal{B}}=\mu_{0}(\overline{\mathcal{H}}+\overline{\mathcal{M}}) \]

donde\(\overline{\mathcal{M}}\) está la magnetización del material. Introduciendo fasores

\[\label{eq:14}\overline{\mathcal{B}}=\mu_{0}(\overline{\mathcal{H}}+\check{χ}_{m}\overline{\mathcal{H}})=\mu_{0}\check{\mu}_{r}\overline{\mathcal{H}} \]

\[\label{eq:15}\left[\begin{array}{c}{\mathcal{B}_{x}}\\{\mathcal{B}_{y}}\\{\mathcal{B}_{z}}\end{array}\right] =\check{\mu}_{r}\left[\begin{array}{c}{\mathcal{H}_{x}}\\{\mathcal{H}_{y}}\\{\mathcal{H}_{z}}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}{\mu_{xx}}&{\mu_{xy}}&{\mu_{xz}}\\{\mu_{yx}}&{\mu_{yy}}&{\mu_{yz}}\\{\mu_{zx}}&{\mu_{zy}}&{\mu_{zz}}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}{\mathcal{H}_{x}}\\{\mathcal{H}_{y}}\\{\mathcal{H}_{z}}\end{array}\right] \]

La propiedad dependiente de la dirección indicada por esta diádica resulta de la alineación de espines de electrones en un material. Sin embargo, en la mayoría de los materiales no hay alineación de giros y\(\mu = \mu_{0}\). La permeabilidad relativa,\(\mu_{r}\), se refiere a la relación de permeabilidad de un material a su valor en vacío:

\[\label{eq:16}\mu_{r}=\frac{\mu}{\mu_{0}} \]

Entonces\(\mu_{r} > 1\) indica que un material puede almacenar más energía magnética que un vacío en un volumen dado.

La otra cantidad material es la permitividad\(\varepsilon\), que se denota\(\varepsilon_{0}\), y en un vacío

\[\label{eq:17}\mathcal{D}=\varepsilon_{0}\mathcal{E} \]

donde\(\varepsilon_{0} = 8.854\times 10^{−12}\text{ F}\cdot\text{m}^{−1}\). La permitividad relativa,\(\varepsilon_{r}\), se refiere a la relación de permeabilidad de un material a su valor en vacío:

\[\label{eq:18}\varepsilon_{r}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} \]

Entonces\(\varepsilon_{r} > 1\) indica que un material puede almacenar más energía eléctrica en un volumen que la que se puede almacenar en un vacío. En algunos cálculos es útil introducir una polarización eléctrica,\(P_{e}\). Entonces

\[\label{eq:19}\mathcal{D}=\varepsilon\mathcal{E}=\varepsilon_{0}\mathcal{E}+\mathcal{P}_{e} \]

y así el vector de polarización es

\[\label{eq:20}\mathcal{P}_{e}=(\varepsilon -\varepsilon_{0})\mathcal{E}=\varepsilon_{0}χ_{e}\mathcal{E} \]

donde\(χ_{e}\) se llama la susceptibilidad eléctrica.

Algunos materiales requieren una forma diádica de\(\varepsilon\). Esto suele indicar una dependencia de la simetría cristalina, y el movimiento relativo de los centros de carga en diferentes direcciones cuando se aplica un\(E\) campo. Algunos sustratos de microondas de uso común, como el zafiro, tienen permitividades que dependen de la dirección en lugar de tener una permitividad diádica completa. Un material en el que la permitividad es una función de la dirección se denomina material anisotrópico o se dice que tiene anisotropía dieléctrica. En un material isotrópico la permitividad es la misma en todas las direcciones; el material tiene isotropía dieléctrica. La mayoría de los materiales son isotrópicos.

Las ecuaciones originales de Maxwell fueron puestas en forma de Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\)\(\eqref{eq:4}\) —por el matemático Oliver Heaviside a partir de la forma menos conveniente que Maxwell utilizó originalmente. Las ecuaciones anteriores se denominan la forma puntual de las ecuaciones de Maxwell, relacionando los componentes del campo entre sí y con la carga y densidad de corriente en un punto.

Las ecuaciones de Maxwell tienen tres tipos de derivadas. En primer lugar, está la derivada del tiempo,\(\partial /\partial t\). Luego hay dos derivadas espaciales:\(\nabla\times\), llamadas curl, capturando la forma en que un campo circula espacialmente (o la cantidad que se acurruca sobre sí mismo); y\(\nabla\cdot\), llamado operador div, que describe la dispersión de un campo (es decir, su divergencia). Curl y div tienen diferentes formas en diferentes sistemas de coordenadas, y en el sistema rectangular se pueden expandir como (\(\mathbf{A} = A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}})\)

\[\label{eq:21}\nabla\times\mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{x}}+\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{y}}+\left(\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{z}} \]

y

\[\label{eq:22}\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z} \]

Curl y div en coordenadas cilíndricas y esféricas se dan en las ecuaciones (1.A.48), (1.A.49), (1.A.57) y (1.A.58). Al estudiar la ecuación\(\eqref{eq:21}\) verás ese rizo,\(\nabla\times\), describe cuánto da vueltas un campo alrededor de los\(z\) ejes\(x,\: y,\) y. Es decir, el rizo describe cómo un campo circula sobre sí mismo. Entonces Ecuación\(\eqref{eq:1}\) relaciona la cantidad que un campo eléctrico circula sobre sí mismo con los cambios del\(B\) campo en el tiempo (y modificados por la corriente magnética). Entonces una derivada espacial de los campos eléctricos está relacionada con una derivada temporal del campo magnético. También en Ecuación\(\eqref{eq:3}\), la derivada espacial del campo magnético está relacionada con la derivada temporal del campo eléctrico (y modificada por la corriente eléctrica). Estos son los elementos clave que dan como resultado una propagación autosustentable.

Div\(\nabla\cdot\),, describe cómo se extiende un campo desde un punto. Por lo que la presencia de carga eléctrica neta (digamos, en un conductor) dará como resultado que el campo eléctrico se extienda desde un punto (ver Ecuación\(\eqref{eq:2}\)). El campo magnético (Ecuación\(\eqref{eq:4}\)) nunca puede divergir de un punto, lo que es resultado de cargas magnéticas que no existen. Una aproximación de pared magnética describe un circuito abierto y luego efectivamente las cargas magnéticas terminan el campo magnético. Lo que realmente sucede en el espacio libre o en una línea de transmisión depende de las condiciones de contorno, y en el caso de las líneas de transmisión, de las dimensiones involucradas.

La rapidez con que un campo varía con el tiempo,\(\partial\overline{\mathcal{B}}/\partial t\) y\(\partial\overline{\mathcal{D}}/\partial t\), depende de la frecuencia. La propiedad más interesante es la rapidez con la que un campo puede cambiar espacialmente,\(\nabla\times\overline{\mathcal{E}}\) y\(\nabla\times\overline{\mathcal{H}}\) —esto depende de la longitud de onda relativa a la geometría. Entonces, si las dimensiones transversales de una línea de transmisión son mucho menores que una longitud de onda (digamos, menores que\(\lambda /4\)), entonces será imposible que los campos se acurruquen sobre sí mismos y así solo habrá una o, en algunos casos, ninguna solución a las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Energy Storage

Considere un material con una permitividad relativa de\(65\) y una permeabilidad relativa de\(1000\). Hay un campo eléctrico estático\(E\) de\(1\text{ kV/m}\). ¿Cuánta energía se almacena en el\(E\) campo en un\(10\text{ cm}^{3}\) volumen del material?

Solución

Energía almacenada en un campo eléctrico estático\(=\int_{V}\overline{D}\cdot\overline{E}\cdot dv\):

\[\begin{aligned}D&=\varepsilon E\text{ and field is constant (uniform)}\nonumber\\ \text{Energy stored }&=\varepsilon E^{2}\times (\text{volume})=65\varepsilon_{0}\cdot (10^{3})^{2}\cdot(10\cdot 10^{−6})= 5.75\cdot 10^{−9}\text{ J} = 5.75\text{ nJ}\nonumber\end{aligned} \nonumber \]

El cálculo completo usando unidades SI es

\[\begin{aligned}\text{Energy stored }&= 65(8.854\cdot 10^{−12}\cdot\text{F}\cdot\text{m}^{−1})(10^{3}\cdot\text{V}\cdot\text{m}^{-1})^{2}\cdot (10\cdot 10^{−6}\cdot\text{m}^{3})\nonumber \\ &=65(8.854\cdot 10^{−12}\cdot\text{kg}^{−1}\cdot\text{m}^{−3}\cdot\text{A}^{2}\cdot\text{s}^{4})\cdot (10^{3}\cdot\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{A}^{−1}\cdot\text{s}^{−3}\cdot\text{m}^{−1})^{2}\cdot (10^{−5}\cdot\text{m}^{3})\nonumber \\ &= 65\cdot 8.854\cdot 10^{−12}\cdot 10^{6}\cdot 10^{−5}\cdot\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{−2} = 5.75\cdot 10^{−9}\cdot\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}\nonumber \\ &= 5.75\cdot 10^{−9}\text{ J} = 5.75\text{ nJ}\nonumber\end{aligned} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Polarization Vector

Un campo eléctrico variable en el tiempo en la\(x\) dirección tiene una fuerza de\(100\text{ V/m}\) y una frecuencia de\(10\text{ GHz}\). El medio tiene una permitividad relativa de\(10\). ¿Qué es el vector de polarización? ¿Expresar este vector en el dominio del tiempo?

Solución

\[\overline{\mathcal{D}}=\varepsilon\overline{\mathcal{E}}=\varepsilon_{0}\overline{\mathcal{E}}+\overline{\mathcal{P}}_{e}\nonumber \]

El vector de polarización es

\[\overline{\mathcal{P}}_{e}=(\varepsilon -\varepsilon_{0})\overline{\mathcal{E}}=(10-1)\varepsilon_{0}\overline{\mathcal{E}}=9\varepsilon_{0}\overline{\mathcal{E}}\nonumber \]

Ahora\(\overline{\mathcal{E}}=100\cos(2\cdot\pi\cdot 10^{10}t)\hat{\mathbf{x}}\)

y\(\varepsilon_{0}=8\cdot 85\cdot 10^{12}\), entonces

\[\begin{align}\overline{\mathcal{P}}_{e}&= 9(8.85\times 10^{−12})\cdot (100)\cos(6.28\times 10^{10}t)\hat{\mathbf{x}}\nonumber \\ &= 79.7\times 10^{−10}\cdot\cos(6.28\times 10^{10}t)\hat{\mathbf{x}} \nonumber \\ \label{eq:23} &= 7.79\cos(6.28\times 10^{10}t)\hat{\mathbf{x}}\text{ nC/m}^{2} \end{align} \]

1.5.4 Ecuaciones de Maxwell en forma de fasor

Los fasores reducen la dimensionalidad de las ecuaciones de Maxwell al reemplazar una derivada del tiempo por un escalar complejo. La forma fasora se utiliza con una cantidad cosinusoidalmente variable, por ejemplo, un campo eléctrico\(x\) dirigido en coordenadas rectangulares,

\[\label{eq:24}\overline{\mathcal{E}}=|E_{x}|\cos(\omega t+\phi)\hat{x} \]

se representa como el fasor

\[\label{eq:25}E_{x}=|E_{x}|e^{\jmath\phi}\hat{x} \]

El campo eléctrico tridimensional completo es

\[\label{eq:26}\overline{\mathcal{E}}=|E_{x}|\cos(\omega t+\phi_{x})\hat{\mathbf{x}}+|E_{y}|\cos(\omega t+\phi_{y})\hat{\mathbf{y}}+|E_{z}|\cos(\omega t+\phi_{z})\hat{\mathbf{z}} \]

y tiene la forma fasor

\[\label{eq:27}\overline{E}=|E_{x}|e^{\jmath\phi_{x}}\hat{\mathbf{x}}+|E_{y}|e^{\jmath\phi_{y}}\hat{\mathbf{y}}+|E_{z}|e^{\jmath\phi_{z}}\hat{\mathbf{z}} \]

Para expresar las ecuaciones de Maxwell en forma de fasor, se\(\eqref{eq:26}\) debe considerar la forma compleja completa de Ecuación. Usando la ecuación (1.A.8), la ecuación\(\eqref{eq:26}\) se convierte

\[\begin{align}\overline{\mathcal{E}}&=\frac{1}{2}(|E_{x}|e^{\jmath\phi_{x}}\hat{\mathbf{x}}+|E_{y}|e^{\jmath\phi_{y}}\hat{\mathbf{y}}+|E_{z}|e^{\jmath\phi_{z}}\hat{\mathbf{z}})e^{\jmath\omega t}\nonumber \\ \label{eq:28} &\quad +\frac{1}{2}(|E_{x}|e^{-\jmath\phi_{x}}\hat{\mathbf{x}}+|E_{y}|e^{-\jmath\phi_{y}}\hat{\mathbf{y}}+|E_{z}|e^{-\jmath\phi_{z}}\hat{\mathbf{z}})e^{-\jmath\omega t}\end{align} \]

con la derivada del tiempo

\[\begin{align}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}&=\frac{1}{2}\jmath\omega(|E_{x}|e^{\jmath\phi_{x}}\hat{\mathbf{x}}+|E_{y}|e^{\jmath\phi_{y}}\hat{\mathbf{y}}+|E_{z}|e^{\jmath\phi_{z}}\hat{\mathbf{z}})e^{\jmath\omega t}\nonumber \\ \label{eq:29} &\quad -\frac{1}{2}\jmath\omega(|E_{x}|e^{-\jmath\phi_{x}}\hat{\mathbf{x}}+|E_{y}|e^{-\jmath\phi_{y}}\hat{\mathbf{y}}+|E_{z}|e^{-\jmath\phi_{z}}\hat{\mathbf{z}})e^{-\jmath\omega t}\end{align} \]

La ecuación\(\eqref{eq:29}\) tiene la forma de fasor (del\(e^{\jmath\omega t}\) componente)

\[\label{eq:30}\frac{2}{e^{\jmath\omega t}}\left\{\begin{array}{l}{e^{\jmath\omega t}} \\ {\text{component of }} \end{array} \frac{\partial\overline{\mathcal{E}}}{\partial t}\right\} =\jmath\omega (|E_{x}|e^{\jmath\phi_{x}}\hat{\mathbf{x}}+|E_{y}|e^{\jmath\phi_{y}}\hat{\mathbf{y}}+|E_{z}|e^{\jmath\phi_{z}}\hat{\mathbf{z}}) \]

Observando esto, las ecuaciones de Maxwell en forma de fasor, de Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) —\(\eqref{eq:4}\), son

\[\begin{align} \label{eq:31}\nabla\times\overline{E}&=-\jmath\omega\overline{B}-\overline{J}_{m}\\ \label{eq:32}\nabla\times\overline{H} &=\jmath\omega\overline{D}+\overline{J} \\ \label{eq:33}\nabla\cdot\overline{D}&=\rho_{V} \\ \label{eq:34} \nabla\cdot\overline{B}&=\rho_{mV}\end{align} \]

1.5.5 Forma integral de las ecuaciones de Maxwell

A veces es más conveniente usar las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell, y las ecuaciones\(\eqref{eq:1}\),\(\eqref{eq:4}\) convertirse en

\[\begin{align} \label{eq:35}\oint_{s}\nabla\times\overline{\mathcal{E}}\cdot d\mathbf{s}=\oint_{C}\overline{\mathcal{E}}\cdot d\ell &=-\oint_{s}\frac{\partial\overline{\mathcal{B}}}{\partial t}\cdot d\mathbf{s}-\oint_{s}\overline{\mathcal{J}}_{m}\cdot d\mathbf{s} \\ \label{eq:36} \oint_{s}\nabla\times\overline{\mathcal{H}}\cdot d\mathbf{s} =\oint_{C}\overline{\mathcal{H}}\cdot d\ell &=\int_{s}\frac{\partial\overline{\mathcal{D}}}{\partial t}\cdot d\mathbf{s}+\overline{\mathcal{I}} \\ \label{eq:37} \int_{v}\nabla\cdot\overline{\mathcal{D}}dv =\oint_{s}\overline{\mathcal{D}}\cdot d\mathbf{s}&=\int_{V}\rho_{v}dv=Q_{\text{enclosed}} \\ \label{eq:38} \int_{v}\nabla\cdot\overline{\mathcal{B}}dv =\oint_{s}\overline{\mathcal{B}}\cdot d\mathbf{s}&=0\end{align} \]

donde\(Q_{\text{enclosed}}\) está la carga total en el volumen encerrado por la superficie,\(S\). El subíndice\(S\) en la integral indica una integral de superficie y el círculo en el signo integral indica que la integral está sobre una superficie cerrada. Se utilizaron dos identidades matemáticas en el desarrollo de Ecuaciones\(\eqref{eq:35}\) —\(\eqref{eq:38}\). La primera identidad es el teorema de Stoke, que establece que para cualquier campo vectorial\(\mathbf{X}\),

\[\label{eq:39}\oint_{\ell}\mathbf{X}\cdot d\ell =\oint_{s}(\nabla\times\mathbf{X})\cdot d\mathbf{s} \]

Entonces la integral de contorno\(X\) alrededor de un contorno cerrado,\(C\) (con vector de longitud incremental\(d\ell\)), es la integral de\(\nabla\times X\) sobre la superficie encerrada por el contorno y\(ds\) es el área incremental multiplicada por un vector unitario normal a la superficie. Esta identidad se utiliza en Ecuaciones\(\eqref{eq:35}\) y\(\eqref{eq:36}\). El teorema de divergencia es la otra identidad y se utiliza en Ecuaciones\(\eqref{eq:37}\) y\(\eqref{eq:38}\). Para cualquier campo vectorial\(\mathbf{X}\), el teorema de divergencia establece que

\[\label{eq:40}\oint_{s}\mathbf{X}\cdot d\mathbf{s}=\int_{v}\nabla\cdot\mathbf{X}dv \]

Es decir, el volumen integral de\(\nabla\cdot\mathbf{X}\) es igual a la integral de superficie cerrada de\(\mathbf{X}\).

Usando fasores, las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell se convierten

\[\begin{align} \label{eq:41} \oint_{C}\overline{E}\cdot d\ell &=-\jmath\omega\oint_{s}\overline{B}\cdot d\text{s}-\oint_{s}\overline{J}_{m}\cdot d\mathbf{s} \\ \label{eq:42}\oint_{C}\overline{H}\cdot d\ell&=\jmath\omega\int_{s}\overline{D}\cdot d\mathbf{s}+\overline{I} \\ \label{eq:43}\oint_{s}\overline{D}\cdot d\mathbf{s}&=\int_{V}\rho_{v}dv=Q_{\text{enclosed}} \\ \label{eq:44}\oint_{s}\overline{B}\cdot d\mathbf{s}&=0\end{align} \]