1.9: Campos en médiums con pérdida
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Los medios con pérdida resultan en la pérdida de potencia de los campos EM. En los sistemas de RF y microondas, los materiales son idealmente conductores perfectos o dieléctricos perfectos. En la práctica, los conductores y dieléctricos tienen conductividad finita y los dieléctricos tienen otro tipo de pérdida llamada pérdida de relajación dieléctrica. La pérdida de relajación dieléctrica se debe al calentamiento que puede resultar del movimiento de los centros de carga en un material.
1.9.1 Dieléctricos con Lossy
En un dieléctrico con pérdidas puede haber tanto flujo de corriente como pérdida de relajación. El flujo de corriente resulta del campo eléctrico aplicado y se describe por la conductividad\(\sigma\),, del material. La pérdida de relajación es el resultado de la polarización del material y la transferencia de energía a la red del material a medida que el campo eléctrico cambia de dirección. Esto también se conoce como amortiguación dieléctrica. El vector de polarización describe la capacidad adicional de almacenamiento de energía de un material (por encima de la del vacío) en respuesta a un campo eléctrico aplicado. La capacidad se describe por la susceptibilidad eléctrica,\(χ_{e}\), en la Ecuación (1.5.20). En forma de fasor, la pérdida es capturada por una permitividad compleja\(χ_{e}\) o compleja:
\[\label{eq:1}\varepsilon =\varepsilon'-\jmath\varepsilon''=\varepsilon (1+χ_{e}) \]
Tanto la corriente como la relajación responden a un campo eléctrico aplicado. En forma de fasor, la ecuación de curva de Maxwell para un campo magnético, Ecuación (1.5.32), se convierte en
\[\begin{align}\nabla\times\overline{H}&=\jmath\omega\overline{D}+\overline{J}=\jmath\omega\varepsilon\overline{E}+\sigma\overline{E}=\jmath\omega(\varepsilon'-\jmath\varepsilon'')\overline{E}+\sigma\overline{E}\nonumber \\&=\jmath\omega\varepsilon'\overline{E}+(\sigma +\omega\varepsilon'')\overline{E}\nonumber \\ \label{eq:2}&=\jmath\omega\left(\varepsilon'-\jmath\varepsilon''-\jmath\frac{\sigma}{\omega}\right)\overline{E}\end{align} \]
En lo anterior, se\(\omega\varepsilon'\) describe la capacidad de almacenar energía eléctrica, se\(\omega\varepsilon''\) describe la pérdida de amortiguación dieléctrica y se\(\sigma\) describe la pérdida de conductividad. A una sola frecuencia, las pérdidas de amortiguación y conductividad son indistinguibles y así\((\omega\varepsilon''+\sigma)\) se toma el término como la conductividad efectiva. La permitividad relativa efectiva (compleja) es
\[\label{eq:3}\varepsilon_{e}=\left(\varepsilon'-\jmath\varepsilon''-\jmath\frac{\sigma}{\omega}\right)\frac{1}{\varepsilon_{0}} \]
Otra cantidad que describe la pérdida es la tangente de pérdida\(\tan\delta\), que es la relación entre la potencia perdida y la energía almacenada:
\[\label{eq:4}\tan\delta =\frac{\omega\varepsilon''+\sigma}{\omega\varepsilon'} \]
Para muchos materiales dieléctricos utilizados con estructuras EM,\(\tan\delta\) es aproximadamente independiente de la frecuencia hasta\(100\) s de gigahercios, por lo que se usa comúnmente para caracterizar la pérdida dieléctrica de un material. La mayoría de las excepciones son semiconductores como el silicio que pueden tener una pérdida conductora apreciable. La independencia de frecuencia\(\tan\delta\) indica que la pérdida de conductividad es insignificante.
Considera una onda EM plana que se propaga en un medio con permitividad\(\varepsilon\) y permeabilidad\(\mu\). La permitividad compleja medida a dos frecuencias se caracteriza experimentalmente por la permitividad relativa\((\varepsilon /\varepsilon_{0})\) de las partes real e imaginaria de la siguiente manera:\(\Re\{\varepsilon /\varepsilon_{0}\}\)\(ℑ \{\varepsilon /\varepsilon_{0}\}\)
Permitividad relativa medida:
| Frecuencia | Parte Real | Parte imaginaria |
|---|---|---|
| \(1\text{ GHz}\) | \(1.9\) | \(-0.0490\) |
| \(2\text{ GHz}\) | \(1.9\) | \(-0.0314\) |
Mesa\(\PageIndex{2}\)
Permeabilidad relativa medida:
| Frecuencia | Parte Real | Parte imaginaria |
|---|---|---|
| \(1\text{ GHz}\) | \(1.9\) | \(-0.001\) |
| \(2\text{ GHz}\) | \(1.9\) | \(-0.001\) |
Mesa\(\PageIndex{3}\)
Dado que existe una parte imaginaria de la constante dieléctrica, podría haber pérdidas debido a la amortiguación dieléctrica o a la conductividad del material finito, o a ambas. Al caracterizar los materiales, solo es posible distinguir la contribución a la parte imaginaria medida de la permitividad considerando la permitividad imaginaria derivada experimentalmente a dos frecuencias diferentes.
- Determinar la tangente de pérdida dieléctrica en\(1\text{ GHz}\).
- Determinar el factor de amortiguación dieléctrica relativo en\(1\text{ GHz}\) (la parte de la permitividad debida a la amortiguación dieléctrica).
- ¿Cuál es la conductividad del dieléctrico?
- ¿Cuál es la conductividad magnética del medio?
Solución
- At\(1\text{ GHz}\),\(\varepsilon =\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\), y la permitividad relativa medida es
\[\label{eq:5}\varepsilon_{r}=1.9-\jmath 0.049=\varepsilon_{r, e}'-\jmath\varepsilon_{r, r}'' \]
donde\(\varepsilon_{r, e}'\) y\(\varepsilon_{r, e}''\) son los valores efectivos (medidos) de\(\varepsilon_{r}'\) y\(\varepsilon_{r}''\) obtenidos de la medición. Ahora\(\varepsilon_{e}'=\varepsilon'\), pero la permitividad imaginaria incluye el efecto de la conductividad dieléctrica,\(\sigma\), así como de la amortiguación dieléctrica, que se describe por\(\varepsilon''\) sí sola. Es decir,
\[\label{eq:6}\varepsilon_{e}'' =\varepsilon'' +\frac{\sigma}{\omega}\cdot\varepsilon_{r} =\varepsilon_{r, e}'' = 0.0490\quad\text{ and}\quad \tan\delta = 0.0490/1.9=0.0258 \] - La permitividad relativa imaginaria se encuentra al señalar que\(\varepsilon_{r, e}'' =\varepsilon_{r}'' +\sigma/\omega\) y\(\omega\varepsilon_{r}'' +\sigma =\omega\varepsilon_{r,e}''\). Dejar\(\omega_{1} = 2π\) (\(1\text{ GHz}\)). Entonces
\[\begin{aligned}\omega_{2}&=2\omega_{1}\nonumber \\ \omega_{1}\varepsilon_{r, e}''(1\text{ GHz})&=\omega_{1}\varepsilon_{r}''+\sigma =\omega_{1}\cdot 0.0490& (\text{A})\nonumber \\ \omega_{2}\varepsilon_{r, e}''(2\text{ GHz})&=\omega_{2}\varepsilon_{r}''+\sigma =\omega_{2}\cdot 0.0314\nonumber \\ 2\omega_{1}\varepsilon_{e}''+\sigma&=2\omega_{1}(0.0314)& (\text{B})\nonumber \\ (\text{B})-(\text{A})\to\omega_{1}\varepsilon_{r}''&=\omega_{1}[0.0628-0.0490]\nonumber \\ \varepsilon_{r}''&=0.0138\text{ (at all frequencies)}\nonumber \end{aligned} \nonumber \] - Recordemos que\(\varepsilon_{r,e}'' =\varepsilon_{r}''+\sigma/\omega\)
At\(1\text{ GHz}\)\(\omega = 2\pi\times 10^{9}\),\(\varepsilon_{r,e}'' = 0.0490\),\(\varepsilon_{r}'' = 0.0138\),,
\[\sigma =\omega\left(\varepsilon_{r, e}''-\varepsilon_{r}''\right) = 2\cdot\pi\cdot 10^{9} (0.0490 − 0.0138) = 0.221\cdot 10^{9}\text{ S/m} = 221\text{ MS/m}\nonumber \] - La conductividad magnética es inexistente, por lo que la conductividad magnética es cero.
1.9.2 Conductores con Lossy
Los conductores perfectos tendrían una conductividad infinita, pero como la conductividad de los conductores reales es finita, los campos EM penetran en el interior de un conductor. Aún así, la energía almacenada en la corriente es mucho mayor que la capacidad de almacenamiento de energía eléctrica (dieléctrica)\(\sigma ≫ \omega\varepsilon'\), y las pérdidas por conductividad son mucho mayores que la pérdida dieléctrica,\(\sigma ≫ \omega\varepsilon''\), de modo que la permitividad relativa efectiva de la ecuación\(\eqref{eq:3}\) es
\[\label{eq:7}\varepsilon_{e}=\left(\varepsilon'-\jmath\varepsilon''-\jmath\frac{\sigma}{\omega}\right)\frac{1}{\varepsilon_{0}}\approx\left(-\jmath\frac{\sigma}{\omega}\right)\frac{1}{\varepsilon_{0}}\approx\left(\frac{\sigma}{\jmath\omega}\right)\frac{1}{\varepsilon{0}} \]
Para la mayoría de los conductores la permeabilidad es\(\mu_{0}\) y la permitividad de trabajo es
\[\label{eq:8}\varepsilon =\varepsilon_{e}\varepsilon_{0}=\frac{\sigma}{\jmath\omega} \]
La constante de propagación del campo en un conductor es
\[\label{eq:9}\gamma =\alpha+\jmath\beta\approx\jmath\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\approx\jmath\omega\sqrt{\mu}\sqrt{\frac{\sigma}{\jmath\omega}}\approx (1+\jmath)\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} \]
Entonces\(\alpha =\sqrt{\omega\mu\sigma /2}\). El campo EM en el conductor se reduce en amplitud como\(e^{−\alpha x}\) después de una distancia\(x\). Así el campo se reduce a\(1/e\) de su valor después de una distancia llamada profundidad de piel,\(\delta_{s}\):
\[\label{eq:10}\delta_{s}=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}} \]
Si la amplitud del campo eléctrico en la superficie de un conductor es\(A(0)\), después de una distancia\(\delta_{s}\) la amplitud del campo eléctrico tendrá la amplitud
\[\begin{align}A(\delta_{s})&=e^{-\alpha x}=e^{-\left(\sqrt{\omega\mu\sigma/2}\sqrt{2/\omega\mu\sigma}\right)}\nonumber \\ \label{eq:11}&=e^{-1}\end{align} \]
La tabla\(\PageIndex{4}\) enumera la profundidad de la piel y las velocidades de fase de los conductores comúnmente utilizados en los circuitos de microondas. Los valores de resistividad aquí son los de un solo cristal. La velocidad de fase,\(v_{p}\), se calcula a partir de la constante de propagación\(\beta\). De la ecuación\(\eqref{eq:9}\),\(\beta=\sqrt{\omega\mu\sigma /2}\).
\[\label{eq:12}\text{Now }v_{p}=\omega /\beta\text{, so that}\quad v_{p}=\frac{\omega}{\beta}=\frac{\omega\sqrt{2}}{\sqrt{\omega\mu\sigma}}=\sqrt{\frac{2\omega}{\mu\sigma}} \]
Esto puede simplificarse aún más si la permeabilidad relativa del material es\(1\), como entonces\(\mu = \mu_{0} = 4\pi 10^{−7}\text{ H/m}\). Si se utilizan unidades SI para\(f\) y\(\sigma\):
\[\label{eq:13}v_{p}=\sqrt{\frac{2\omega}{\mu_{0}\sigma}}=\sqrt{\frac{4\pi f}{4\pi 10^{-7}\sigma}}=\sqrt{\frac{10^{7}f}{\sigma}} \]
De la Tabla\(\PageIndex{4}\) note que la profundidad de la piel a frecuencias de gigahercios es cercana al grosor de las líneas de microcinta que a menudo son de solo unos pocos micrones de espesor. También la velocidad de una onda EM en un conductor es muy lenta. La velocidad de EM en cobre (ideal), por ejemplo, es\(0.004\%\) de la velocidad de la luz en un vacío.
| Material | Conductividad eléctrica,\(\sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) | Profundidad de la piel,\(\delta\) a\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) | Velocidad de fase,\(v_{p}\) a\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) |
|---|---|---|---|
| \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) "class="lt-eng-41010">\(1\text{ GHz}\) | |||
| Aluminio (cristal) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(37.7\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(2.59\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(16.3\) |
| Aluminio (\(2\times\)resistividad) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(18.9\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(3.66\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(23.0\) |
| Cobre (monocristal) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(59.6\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(2.06\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(13.0\) |
| Cobre (\(2\times\)resistividad) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(29.8\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(2.92\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(18.3\) |
| Oro (monocristal) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(45.2\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(2.37\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(14.9\) |
| Oro (\(2\times\)resistividad) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(22.6\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(3.35\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(21.0\) |
| Plata (monocristal) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(63.0\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(2.01\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(12.6\) |
| Plata (\(2\times\)resistividad) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(31.5\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(2.84\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(17.8\) |
| Titanio (monocristal) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(0.238\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(32.6\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(200\) |
| Titanio (\(2\times\)resistividad) | \ (\ sigma\)\((\text{MS.m}^{-1})\) “>\(0.119\) | \ (\ delta\) en\(1\text{ GHz}\)\((\mu\text{m})\) “>\(46.1\) | \ (v_ {p}\) en\(1\text{ GHz}\)\((\text{km/s})\) “>\(290\) |
Tabla\(\PageIndex{4}\): Profundidad de la piel y velocidad\(1\text{ GHz}\) de fase efectiva en varios conductores comúnmente utilizados en circuitos de microondas.
Figura\(\PageIndex{1}\): Dos regiones utilizadas en el Ejemplo\(\PageIndex{2}\).
Este ejemplo proporciona una revisión de la teoría básica EM. En la Figura\(\PageIndex{1}\), una onda plana en el espacio libre es normalmente incidente sobre un medio sin pérdidas que ocupa medio espacio con una constante dieléctrica de\(16\). Calcular el coeficiente de reflexión del campo eléctrico en la interfaz referida al medio.
Solución
Ya que no se expresa explícitamente, asuma\(\mu_{1} =\mu_{0}\). (Esto debe hacerse en general ya que\(\mu_{0}\) es el valor predeterminado para\(\mu\), ya que la mayoría de los materiales tienen permeabilidad relativa de unidad.) La impedancia característica de un medio es\(\eta = \sqrt{mu/\varepsilon}\). Ahora\(\eta\) se utiliza para la impedancia característica (también llamada impedancia de onda) de una onda de propagación TEM en un medio. Se utiliza en lugar de\(Z_{0}\), que generalmente se reserva para la impedancia característica de las líneas de transmisión. El coeficiente de reflexión del campo eléctrico es
\[\Gamma^{E}=\frac{\eta_{1}-\eta_{0}}{\eta_{1}+\eta_{0}}=\frac{\eta_{1}/\eta_{0}-1}{\eta_{1}/\eta_{0}+1}\nonumber \]
\[\frac{\eta_{1}}{\eta_{0}}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{1}}}\cdot\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon_{1}}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}\nonumber \]
por lo
\[\Gamma^{E}=\frac{1/4-1}{1/4+1}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}=-0.6\nonumber \]
Este ejemplo proporciona una manera intuitiva de resolver un problema EM. Una onda plana en el espacio libre es normalmente incidente en un medio sin pérdidas que ocupa medio espacio con una constante dieléctrica de\(16\). ¿Cuál es el coeficiente de reflexión del campo magnético?
Solución
Hay dos formas de responder a esta pregunta. Primero se utilizará un enfoque intuitivo.
Intuitivamente\(|\Gamma^{H}|=|\Gamma^{E}|\),
Con\(\overline{\mathcal{E}}\) y\(\overline{\mathcal{H}}\) siendo vectores, el vector Poynting\(\overline{\mathcal{E}}\times\overline{\mathcal{H}}\) apunta en la dirección de propagación para una onda plana, ya que la onda reflejada está en la dirección opuesta a la onda incidente, por lo tanto
\[\text{sign}\left(\Gamma^{H}\right)=-\text{sign}\left(\Gamma^{E}\right)\nonumber \]
Por lo tanto\(\Gamma^{H} = −\Gamma^{E} = +0.6\). (\(\Gamma^{E}\)se calculó en Ejemplo\(\PageIndex{2}\).)
Ahora el segundo enfoque. La fórmula para el coeficiente de reflexión del campo magnético es
\[\Gamma_{H}=\frac{\eta_{1}-\eta_{2}}{\eta_{1}+\eta_{2}}=\frac{1-\eta_{2}/\eta_{1}}{1+\eta_{2}/\eta_{1}}=\frac{1-1/4}{1+1/4}=\frac{3}{5}=0.6\nonumber \]
Un campo EM\(4\text{ GHz}\) variable en el tiempo está viajando en la\(+z\) dirección en la Región 1 y normalmente es incidente sobre otro material en la Región 2. El límite entre las dos regiones está en el\(z = 0\) plano. La permitividad de la Región 1 es\(\varepsilon_{1} =\varepsilon_{0}\) y la de la Región 2 es\(\varepsilon_{2} = (4 −\jmath 0.4)\varepsilon_{0}\). Para ambas regiones,\(\mu_{1} =\mu_{2} =\mu_{0}\). El fasor del campo eléctrico de avance (es decir, el campo incidente) es\(\mathbf{E}^{+} = 100\hat{y}\), y la fase se normaliza con respecto a\(z = 0\).
Figura\(\PageIndex{2}\)
¿Cuáles son la impedancia de onda y la constante de propagación de la Región 2?
Solución
La impedancia de onda es
\[\begin{align}\eta&=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}=\eta_{0}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}=377\sqrt{\frac{1}{(4-\jmath 0.4)}\Omega}\nonumber \\ \label{eq:14}&=187.8+\jmath 9.4\:\Omega\end{align} \]
La constante de propagación es
\[\begin{align}\gamma&=\jmath\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\jmath\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}\nonumber \\ \label{eq:15}&=\jmath 4\cdot 2\pi\cdot 10^{9}\cdot\sqrt{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 8.854\cdot 10^{-12}}\sqrt{4-\jmath 0.4}=(8.4+\jmath 167.9)\text{m}^{-1}\end{align} \]