1.12: Ejercicios

1. El campo eléctrico de onda plana de un pulso de radar que se propaga en el espacio libre en la\(z\) dirección viene dado por (con\(\omega_{0} ≫ π/(2\tau))\)
   \[\overline{\mathcal{E}}(t) =\left\{\begin{array}{cc}{A\cos\left(\frac{\pi t}{2\tau}\right)\cos(\omega_{0}t)\hat{\mathbf{x}}}&{-\tau\leq t\leq\tau}\\{0}&{otherwise}\end{array}\right.\nonumber \]
   1. Croquis\(\overline{\mathcal{E}}(t)\) sobre el intervalo\(−1.5\tau ≤ t ≤ 1.5\tau\).
   2. Qué es,\(\overline{\mathcal{H}}(t)\).
   3. ¿Qué es el vector Poynting,\(\overline{\mathcal{S}}(t)\).
   4. Determinar la densidad total de energía en el pulso (en unidades de\(\text{J/m}^{2}\)).
2. Considere un material con una permitividad relativa de\(72\), una permeabilidad relativa de\(1\), y un campo eléctrico estático (\(E\)) de\(1\text{ kV/m}\). ¿Cuánta energía se almacena en el\(E\) campo en un\(10\text{ cm}^{3}\) volumen del material? [Ejemplo de Parallels 1.5.1]
3. Un campo eléctrico variable en el tiempo en la\(x\) dirección tiene una fuerza de\(1\text{ kV/m}\) y una frecuencia de\(1\text{ GHz}\). El medio tiene una permitividad relativa de\(70\). ¿Qué es el vector de polarización en el dominio del tiempo? [Ejemplo de Parallels 1.5.2]
4. Un medio tiene una constante dieléctrica de\(20\). ¿Cuál es el índice de refracción?
5. Considera una onda EM plana que se propaga en un medio con permitividad\(\varepsilon\) y permeabilidad\(\mu\). La permitividad compleja medida a dos frecuencias se caracteriza por la permitividad relativa\((\varepsilon /\varepsilon_{0})\) de las partes real\(\Re\{\varepsilon/\varepsilon_{0}\}\) e imaginaria de la\(ℑ \{\varepsilon/\varepsilon_{0}\}\) siguiente manera: Permittividad relativa
   medida:

   Frecuencia	Parte Real	Parte imaginaria
   \(1\text{ GHz}\)	\(3.8\)	\(-0.05\)
   \(10\text{ GHz}\)	\(4.0\)	\(-0.03\)

   Tabla\(\PageIndex{1}\)
   Permeabilidad relativa medida:

   Frecuencia	Parte Real	Parte imaginaria
   \(1\text{ GHz}\)	\(0.999\)	\(-0.001\)
   \(10\text{ GHz}\)	\(0.998\)	\(-0.001\)

   Tabla\(\PageIndex{2}\)
   Dado que existe una parte imaginaria de la constante dieléctrica podría haber amortiguación dieléctrica o conductividad del material, o ambas. [Ejemplo de Parallels 1.9.1]
   1. Determinar la tangente de pérdida dieléctrica en\(10\text{ GHz}\).
   2. Determinar el factor de amortiguación dieléctrica relativo en\(10\text{ GHz}\) (la parte de la permitividad debida a la amortiguación dieléctrica).
   3. ¿Cuál es la conductividad del dieléctrico\(10\text{ GHz}\)?
6. Un medio tiene una permitividad relativa de\(13\) y soporta una señal\(5.6\text{ GHz}\) EM. Por defecto, si no se especifica lo contrario, un medio no tiene pérdidas y tendrá una permeabilidad relativa de\(1\).
   1. Calcular la impedancia característica de una onda plana EM.
   2. Calcular la constante de propagación del medio.
7. Una onda plana en el espacio libre es normalmente incidente en un medio sin pérdidas que ocupa medio espacio con una constante dieléctrica de\(12\). [Ejemplo de Parallels 1.9.2]
   1. Calcular el coeficiente de reflexión del campo eléctrico referido al medio de interfaz.
   2. ¿Cuál es el coeficiente de reflexión del campo magnético?
8. El agua, o más específicamente agua del grifo o agua de mar, tiene una constante dieléctrica compleja resultante de dos efectos: conductividad resultante de iones disueltos en el agua que conducen a portadores de carga que pueden conducir corriente bajo la influencia de un campo eléctrico, y pérdida dieléctrica resultante de la rotación o flexión de las propias moléculas de agua bajo la influencia de un campo eléctrico. La rotación o flexión de las moléculas de agua resulta en el movimiento de las moléculas de agua y, por lo tanto, el calor. La permitividad relativa es
   \[\label{eq:1}\varepsilon_{wr}=\varepsilon_{wr}'-\jmath\varepsilon_{wr}'' \]
   y los componentes real e imaginario son
   \[\begin{align}\label{eq:2}\varepsilon_{wr}'&=\varepsilon_{w00}+\frac{\varepsilon_{w0}-\varepsilon_{w00}}{1+(2\pi f\tau_{w})^{2}} \\ \label{eq:3}\varepsilon_{wr}''&=\frac{2\pi f\tau_{w}(\varepsilon_{w0}-\varepsilon_{w00})}{1+(2\pi f\tau_{w})^{2}}+\frac{\sigma_{i}}{2\pi\varepsilon_{0}f}\end{align} \]
   donde\(f\) está la frecuencia,\(\varepsilon_{0} = 8.854\times 10^{−12}\text{ F/m}\) es la magnitud de la permitividad, y\(\varepsilon_{w00} = 4.9\) es el límite de alta frecuencia de\(\varepsilon_{r}\) y es conocido por ser independiente de la salinidad y también es el del agua desionizada pura. Las otras cantidades son τw, el tiempo de relajación del agua;\(\varepsilon_{w0}\), la constante dieléctrica relativa estática del agua (que para el agua pura\(0^{\circ}\text{C}\) es igual a\(87.13\)); y\(\sigma_{i}\), la conductividad iónica del agua. En\(5^{\circ}\text{C}\) y para agua del grifo con una salinidad de\(0.03\) (en partes por mil en peso) [17, 18]\(\varepsilon_{w0} = 85.9,\: \tau_{w} = 14.6\text{ ps}\), y\(\sigma_{i} = 0.00548\text{ S/m}\).
   1. Calcule y luego grafique la constante dieléctrica real e imaginaria del agua en el rango de frecuencia de CC a\(40\text{ GHz}\) para agua del grifo en\(5^{\circ}\text{C}\). Deberías ver dos regiones distintas. Identificar la parte del gráfico de constante dieléctrica imaginaria que resulta de la conductividad iónica y la parte del gráfico que se relaciona con la relajación dieléctrica.
   2. Considera una onda plana propagándose en el agua. Determinar la constante de atenuación y la constante de propagación de la onda en\(500\text{ MHz}\).
   3. Considera una onda plana propagándose en el agua. Determinar la constante de atenuación y la constante de propagación de la onda en\(2.45\text{ GHz}\).
   4. Considera una onda plana propagándose en el agua. Determinar la constante de atenuación y la constante de propagación de la onda en\(22\text{ GHz}\).
   5. De nuevo considerando la onda plana en el agua, calcular el factor de pérdida a lo largo de una distancia de\(1\text{ cm}\) at\(2.45\text{ GHz}\). Exprese su respuesta en términos de decibelios.
   6. Considera una onda plana haciendo incidencia normal desde arriba hacia un cubo de agua del grifo que es\(1\text{ m}\) profundo para que no necesites considerar el reflejo en el fondo de la cubeta. Calcular el coeficiente de reflexión de la onda plana incidente en\(2.45\text{ GHz}\) referida al aire inmediatamente por encima de la superficie del agua.
   7. Consideremos nuevamente la situación en (f), pero esta vez con la onda del avión incidente en la interfaz aire/agua desde el lado del agua, calcular el coeficiente de reflexión de la ola incidente en\(2.45\text{ GHz}\) referida al agua inmediatamente debajo de la superficie del agua.
   8. Si el cubo en (f) y (g) es\(0.5\text{ cm}\) profundo, deberá considerar el reflejo en la parte inferior del cubo. Considera que el fondo del cucharón es un conductor perfecto. Dibuja el diagrama de rebote para calcular el reflejo de la onda plana en el aire. Determinar el coeficiente de reflexión total de la onda plana (referida al aire inmediatamente por encima de la superficie del agua) utilizando el diagrama de rebote.
   9. Repita (h) usando la fórmula para múltiples reflexiones.
9. Un campo EM\(4\text{ GHz}\) variable en el tiempo viaja en\(+z\) dirección en la Región 1 y es incidente en otro material en la Región 2. La permitividad de la Región 1 es\(\varepsilon_{1} =\varepsilon_{0}\) y la de la Región 2 es\(\varepsilon_{2} = (4−\jmath 0.04)\varepsilon_{0}\). Para ambas regiones\(\mu_{1} =\mu_{2} =\mu_{0}\). [Ejemplo de Parallels 1.9.4]
   1. ¿Cuál es la impedancia característica (o impedancia de onda) en la Región 2?
   2. ¿Cuál es la constante de propagación en la Región 1?
10. Un campo EM\(4\text{ GHz}\) variable en el tiempo está viajando en la\(+z\) dirección en la Región 1 y normalmente es incidente sobre otro material en la Región 2. El límite entre las dos regiones está en el\(z = 0\) plano. La permitividad de la Región 1 es\(\varepsilon_{1} =\varepsilon_{0}\), y la de la Región 2 es\(\varepsilon_{2} = 4\varepsilon_{0}\). Para ambas regiones,\(\mu_{1} =\mu_{2} =\mu_{0}\). El fasor del campo eléctrico que viaja hacia adelante (es decir, el campo incidente) es\(\overline{\text{ffl}}\)\(E+ = 100\hat{\mathbf{y}}\text{ V/m}\) y la fase se normaliza con respecto a\(z = 0\). \(Q_{0} = 0\). [Ejemplo de Parallels 1.9.4]
    1. ¿Cuál es la impedancia de onda de la Región 1?
    2. ¿Cuál es la impedancia de onda de la Región 2?
    3. ¿Cuál es el coeficiente de reflexión del campo eléctrico en el límite?
    4. ¿Cuál es el coeficiente de reflexión del campo magnético en el límite?
    5. ¿Cuál es el coeficiente de transmisión del campo eléctrico en el límite?
    6. ¿Cuál es la potencia transmitida a la Región 2?
    7. ¿Cuál es el poder reflejado desde el límite de regreso a la Región 1?

1.12.1 Ejercicios Por Sección

\(†\)desafiante,\(‡\) muy desafiante

\(§1.5\: 1†, 2†, 3†\)

\(§1.7\: 4, 5†\)

\(§1.9\: 6, 7†, 8‡, 9†, 10†\)

1.12.2 Respuestas a ejercicios seleccionados

4. \(4.47\)

8. c)\(\gamma=49+\jmath 468\text{ m}^{-1}\)
9. \(0.84+\jmath 168\text{ m}^{-1}\)