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3.5: Líneas de Transmisión Microstrip

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    82290
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Las líneas de transmisión con conductores incrustados en un medio dieléctrico no homogéneo no pueden soportar un modo TEM puro. Este es el caso incluso si los conductores no tienen pérdidas. El miembro más importante de esta clase es la línea de transmisión de microcinta (Figura 3.3.1 (c)). Parte del campo está en el aire y parte en el dieléctrico entre el conductor de banda y la tierra. En la mayoría de los casos prácticos, el sustrato dieléctrico es eléctricamente delgado, es decir,\(h ≪\lambda\). Entonces el campo transversal es dominante y los campos se llaman cuasi-tem.

    Nota

    El análisis original de microcinta se basó en el despliegue de una línea coaxial [13].

    3.5.1 Línea de microcinta en la aproximación cuasi-tem

    En esta sección se desarrollan una serie de relaciones basadas en el principio de que la velocidad de fase de una onda EM en una transmisión homogénea solo de aire con una línea de campo TEM es justa\(c\). También se muestra que las soluciones estáticas para el campo eléctrico transversal por sí solas pueden ser utilizadas para calcular las características de una línea de transmisión. El procedimiento descrito se utiliza en muchos programas informáticos EM para calcular las características de las líneas de transmisión.

    Como primer paso, el potencial de la tira conductora se establece en\(V_{0}\) y la ecuación de Laplace se resuelve usando un simulador EM para el potencial electrostático en todas partes del dieléctrico. Entonces se determina la longitud por unidad (p.u.l.) de carga eléctrica\(Q\),, en el conductor. El uso de esto en la siguiente relación da la capacitancia de la línea:

    \[C=\frac{Q}{V_{0}}\nonumber \]

    En el siguiente paso, el proceso se repite con\(\varepsilon_{r} = 1\) para determinar\(C_{\text{air}}\) (la capacitancia de la línea sin un dieléctrico).

    Si la línea de microcinta es ahora una estructura TEM sin pérdidas llena de aire,

    \[\label{eq:1}v_{p,\text{ air}}=c=\frac{1}{LC_{\text{air}}} \]

    y así

    \[\label{eq:2}L=\frac{1}{c^{2}C_{\text{air}}} \]

    \(L\)no se ve afectado por las propiedades dieléctricas del medio. \(^{1}\)\(L\)calculado anteriormente es la inductancia p.u.l. deseada de la línea con el dieléctrico así como en el espacio libre. Una vez\(L\) y se\(C\) han encontrado, la impedancia característica se puede encontrar usando

    \[\label{eq:3}Z_{0}=\sqrt{\frac{L}{C}} \]

    reescrito como

    \[\label{eq:4}Z_{0}=\frac{1}{c}\frac{1}{\sqrt{CC_{\text{air}}}} \]

    y la velocidad de fase es

    \[\label{eq:5}v_{p}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=c\sqrt{\frac{C_{\text{air}}}{C}} \]

    Ahora el campo se distribuye en el medio no homogéneo y en el espacio libre, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a). Entonces la permitividad relativa efectiva,\(\varepsilon_{e}\), de la línea de microcinta homogénea equivalente (ver Figura\(\PageIndex{1}\) (b)) se define por

    \[\label{eq:6}\sqrt{\varepsilon_{e}}=\frac{c}{v_{p}} \]

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Microstrip /ink.sh micr (a) sección transversal; y (b) estructura equivalente aproximada donde la tira está incrustada en un dieléctrico de extensión semi-infinita con permitividad relativa efectiva\(\varepsilon_{e}\).

    Combinando Ecuaciones\(\eqref{eq:5}\) y\(\eqref{eq:6}\), se obtiene la permitividad relativa efectiva (generalmente solo se usa el término permitividad efectiva):

    \[\label{eq:7}\varepsilon_{e}=\frac{C}{C_{\text{air}}} \]

    La permitividad efectiva puede interpretarse como la permitividad de un medio homogéneo que reemplaza el aire y las regiones dieléctricas de la microcinta, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Dado que parte del campo está en el dieléctrico y algo está en el aire, la permitividad relativa efectiva debe satisfacer

    \[\label{eq:8}1<\varepsilon_{e}<\varepsilon_{r} \]

    No obstante, el mínimo\(\varepsilon_{e}\) será mayor que\(1\) ya que la energía eléctrica se distribuirá en aire y dieléctrica. La longitud de onda en una línea de transmisión, la longitud de onda guía\(\lambda_{g}\), está relacionada con la longitud de onda del espacio libre por\(\lambda_{g} =\lambda_{0}/\sqrt{\varepsilon_{e}}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Microstrip Calculations

    Una línea de microcinta tiene una impedancia característica\(50\:\Omega\) derivada\(Z_{0}\) de las mediciones del coeficiente de reflexión y una permitividad efectiva\(\varepsilon_{e}\), de\(7\) derivada de la medición de la velocidad de fase. ¿Cuál es la inductancia y capacitancia por unidad de longitud de la línea\(C\)?\(L\)

    Solución

    Las ecuaciones clave son\(Z_{0} =\sqrt{L/C},\: \varepsilon_{e} = C/C_{\text{air}}\), y para la línea de microcinta llena de aire (con un modo TEM)\(v_{p} = 1/\sqrt{LC_{\text{air}}} = c\). También supongamos que\(\mu_{r} = 1\) cuál es el valor por defecto si no se especifica lo contrario y también que\(L\) no cambia si solo se cambia el dieléctrico. Así

    \[C_{\text{air}}=\frac{C}{\varepsilon_{e}}\quad\text{and then}\quad L=\frac{\varepsilon_{e}}{c^{2}C}\quad\text{so that}\quad Z_{0}=\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{e}}}{cC},\quad\text{that is}\quad C=\frac{\sqrt{\varepsilon_{e}}}{cZ_{0}}\nonumber \]

    Entonces\(C =\sqrt{7}/(2.998\cdot 10^{8}\times 50) = 1.765\cdot 10^{−10} = 176.5\text{ pF/m}\) y\(L = Z_{0}^{2} C = 441.3\text{ nH/m}\).

    3.5.2 Impedancia de entrada de una línea de microcinta en cortocircuito modelada usando un solver de campo

    En este ejemplo, se examina una línea de microcinta cortocircuitada con la ayuda de una herramienta de diseño asistida por computadora de microondas. La herramienta específica utilizada aquí es National Instruments AWR Design Environment (AWRDE), pero la mayoría de las herramientas de análisis de microondas proporcionarán la misma visión. El archivo de proyecto para el Entorno de Diseño AWR es RFDesign Shorted Microstrip line.EMP.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Disposición de líneas de microcinta: (a) esquema de microcinta; (b) apilamiento de materiales\(1\) siendo el material el sustrato,\(2\) siendo el material el metal de la tira y Material\(3\) siendo vacío; y (c) diseño de simulación. Las dimensiones son\(w = 500\:\mu\text{m},\:\ell = 1\text{ cm}\). El metal es oro\(t = 6\:\mu\text{m}\) grueso (conductividad\(\sigma = 42.6\times 10^{6}\text{ S/m}\)) y la altura del sustrato de alúmina es\(h = 600\:\mu\text{m}\) con permitividad relativa\(\varepsilon_{r} = 9.8\) y tangente de pérdida\(0.001\). El tamaño de la caja de simulación está definido por\(W = 6\text{ mm},\: L = 12\text{ mm}\), y la altura de la caja\(H = 2.61\text{ mm}\).

    El esquema de la línea de microcinta se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a). Así es como se ve la microcinta desde arriba, con la región negra indicando metal y la cruz blanca indicando una vía que conecta la tira con el plano de tierra. La distancia desde el inicio de la línea hasta la pared de la vía es\(\ell\). La vía tiene una longitud finita y es importante llevar la longitud de la línea hasta la pared que termina los campos eléctricos y magnéticos de propagación de la línea de microcinta y no hasta el punto central de la vía. Si bien las vías son típicamente cilindros, y por lo tanto no hay una pared eléctrica a través de la microcinta, la parte de la pared de la vía que primero se encuentra con los campos EM guiados por la línea de microcinta es una buena aproximación.

    Para realizar un análisis EM de esta línea es necesario definir un cerramiento con la sección transversal mostrada en la Figura\(\PageIndex{2}\) (b) y la vista superior mostrada en la Figura\(\PageIndex{2}\) (c). El recinto configura los muros que terminan las líneas de campo EM. Aquí el recinto es una caja metálica de largo\(L = 12\text{ mm}\) y ancho\(W = 6\text{ mm}\). La altura del recinto depende de los espesores asignados a los tres materiales que componen el entorno de microcinta (ver Figura\(\PageIndex{2}\) (b)). El recinto aquí es una caja metálica, pero generalmente se proporcionan opciones para definir paredes como paredes eléctricas o magnéticas, y además las paredes superiores de la caja se pueden definir como paredes absorbentes. Una pared absorbente o de espacio libre presenta una aproximación a las condiciones de espacio libre. En este ejemplo se utilizan seis paredes eléctricas, con las paredes laterales y la pared superior espaciadas a una buena distancia de la línea para que los campos no se vean perturbados por la presencia de las paredes laterales.

    Hay dos tipos principales de solucionadores EM de dominio de frecuencia utilizados en ingeniería de microondas. Un tipo utiliza el método de elementos finitos (FEM), que resuelve para los campos en cada punto de cuadrícula en un volumen tridimensional. Esto puede proporcionar una gran cantidad de información y manejar una amplia gama de estructuras de microondas. Sin embargo, es muy lento y se encuentra con problemas de memoria para todas menos las estructuras más simples. El otro tipo de solucionador se llama

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Magnitud y fase de la impedancia de entrada,\(Z_{1}\), de la línea de microcinta en la Figura\(\PageIndex{2}\).

    un solucionador de campo de dos dimensiones y media (o\(2\frac{1}{2}\) D). Este tipo de solucionador utiliza lo que se llama el método de los momentos para resolver las cargas en las superficies de los metales. Los campos no se encuentran en todos los puntos del espacio y, por lo tanto, un solucionador de campo\(2\frac{1}{2}\)\(3\) D es mucho más rápido que un solucionador D. El tipo de solucionador que se utilizará aquí es un solucionador de campo\(2\frac{1}{2}\) D disponible en el entorno AWRDE y también utilizado en las simulaciones de Sonnet utilizadas en otras partes de este libro. La restricción que viene con el uso de un solucionador de campo\(2\frac{1}{2}\) D es que los conductores y dieléctricos deben estar dispuestos en capas, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (b). Los metales son tratados como infinitamente delgados y, en algunas herramientas, los dieléctricos pueden disponerse como bloques, pero aún siguiendo el protocolo de estratificación.

    La disposición en el\(x-y\) plano horizontal de la Figura\(\PageIndex{2}\) (c) es muy cercana a la vista esquemática mostrada en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a). El puerto\(\mathsf{1}\) (el único puerto) de la línea de microcinta se muestra a la izquierda en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a) y en la Figura\(\PageIndex{2}\) (c) está incrustado en la pared eléctrica izquierda. Como se mencionó, un solucionador de campo\(2\frac{1}{2}\) D encuentra las cargas sobre el metal. Se establece una cuadrícula de celdas y la mayoría de las veces la cuadrícula es una malla rectangular regular y las curvas y los ángulos oblicuos solo se pueden aproximar. Incluso cuando se utilizan mallas más sofisticadas, una forma curva se aproxima por líneas rectas. En la Figura\(\PageIndex{2}\) (c) la vía se inserta como un cuboide rectangular. Otra restricción de los solucionadores de campo\(2\frac{1}{2}\) D es que las corrientes deben fluir ya sea en el\(x-y\) plano o en la dirección vertical (\(z\)). Entonces, siempre y cuando la vía tenga una dimensión pequeña (relativa a una longitud de onda) en la\(z\) dirección y las\(x-y\) dimensiones de la vía sean pequeñas, esta es una pequeña restricción a cambio de una simulación que puede ser miles de veces más rápida que los métodos\(3\) D completos.

    Las dimensiones de la microcinta se eligieron para una impedancia característica de\(50\:\Omega\) rendimiento\(w = 500\:\mu\text{m}\) para el dieléctrico de alúmina con permitividad\(\varepsilon_{r} = 9.8\) y altura relativas\(h = 600\:\mu\text{m}\). También\(\ell = 1\text{ cm}\). A menudo es necesario incluir pérdidas realistas para que los materiales obtengan resultados físicamente significativos. Aquí el metal de la línea y de la pared inferior es oro con conductividad\(\sigma = 42.6\times 10^{6}\text{ S/m}\) y la tangente de pérdida de la alúmina es\(0.001\). La tira tiene un grosor\(t = 6\:\mu\text{m}\). La tira metálica se simula como si fuera infinitamente delgada, pero el grosor se utiliza para calcular la resistencia de la tira. El dieléctrico por encima de la tira es espacio libre con permitividad\(\varepsilon_{0}\) y con un espesor de\(2\text{ mm}\). Entonces la altura de la caja\(H = h + t + 2\text{ mm} = 2.610\text{ mm}\).

    La impedancia de entrada,\(Z_{\text{in}}\), de la línea de microcinta cortocircuitada se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). Las gráficas muestran la magnitud y fase de la impedancia de entrada. La fase es mayoritariamente\(+90^{\circ}\) o\(−90^{\circ}\), indicando que\(Z_{\text{in}}\) es mayoritariamente reactiva. A bajas frecuencias cercanas\(0\text{ GHz}\), la impedancia de entrada es inductiva ya que

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Magnitud y fase del coeficiente de reflexión de entrada,\(\Gamma\), de la línea de microcinta en la Figura\(\PageIndex{2}\) pero ahora con un sustrato de alta pérdida con\(\tan\delta = 0.1\).

    la fase es aproximadamente\(+90^{\circ}\). \(Z_{\text{in}}\)aumenta como se esperaría a partir del modelo aproximado de una línea cortocircuitada. At\(3\text{ GHz}\),\(Z_{\text{in}}\) cambia de inductivo a capacitivo pasando por un circuito casi abierto. La transición no es instantánea, ya que la línea tiene pérdidas. \(Z_{\text{in}}\)continúa ciclando a medida que aumenta la frecuencia de excitación.

    Es interesante ver lo que sucede cuando la pérdida se incrementa mucho. Aquí esto se hace aumentando la tangente de pérdida del dieléctrico,\(\tan\delta\), a\(0.1\). Esto es mucho más alto que el de cualquier sustrato útil. El coeficiente de reflexión de la línea de alta pérdida se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). A frecuencias muy bajas\(|\Gamma|\approx 0\text{ dB}\), es decir,\(|\Gamma|\approx 1\). La fase de\(\Gamma\approx 180^{\circ}\) así que\(\Gamma\approx −1\) (es decir, un cortocircuito). A medida que aumenta la frecuencia\(|\Gamma|\) disminuye debido al aumento de la pérdida dieléctrica y la fase de\(\Gamma\) monótonamente disminuye a medida que la línea se alarga eléctricamente.

    3.5.3 Permittividad Efectiva e Impedancia Característica

    En esta sección se presentan fórmulas para la permitividad efectiva y la impedancia característica de una línea de microcinta. Estas fórmulas se ajustan a los resultados de simulaciones EM detalladas. Además, la forma de las ecuaciones se basa en una buena comprensión física. Primero, supongamos que el grosor,\(t\), es cero. Esta no es una mala aproximación, como\(t ≪ w, h\) para la mayoría de los circuitos de microondas.

    Hammerstad y otros proporcionan fórmulas bien aceptadas para calcular la permitividad efectiva y la impedancia característica de las líneas de microcinta [14, 15, 16]. Dado\(\varepsilon_{r},\: w,\) y\(h\), la permitividad relativa efectiva es

    Nota

    En su mayoría, el término “permitividad efectiva” se usa para significar permitividad relativa efectiva (verificar la magnitud).

    \[\label{eq:9}\varepsilon_{e}=\frac{\varepsilon_{r}+1}{2}+\frac{\varepsilon_{r}-1}{2}\left(1+\frac{10h}{w}\right)^{-a\cdot b} \]

    donde

    \[\label{eq:10} a(u)|_{u=w/h}=1+\frac{1}{49}\ln\left[\frac{u^{4}+\{u/52\}^{2}}{u^{4}+0.432}\right]+\frac{1}{18.7}\ln\left[1+\left(\frac{u}{18.1}\right)^{3}\right] \]

    y

    \[\label{eq:11}b(\varepsilon_{r})=0.564\left[\frac{\varepsilon_{r}-0.9}{\varepsilon_{r}+3}\right]^{0.053} \]

    Tómate un tiempo para interpretar la ecuación\(\eqref{eq:9}\), la fórmula para la permitividad relativa efectiva. Si\(\varepsilon_{r} = 1\), entonces\(\varepsilon_{e} = (1 + 1)/2+0 = 1\), como se esperaba. Si no\(\varepsilon_{r}\) es el del aire, entonces\(\varepsilon_{e}\) estará entre\(1\) y\(\varepsilon_{r}\), dependiendo de la geometría de la línea, o más específicamente, la relación\(w/h\). Para una línea muy amplia,,\(w/h ≫ 1\)\(\varepsilon_{e} = (\varepsilon_{r} + 1)/2+(\varepsilon_{r} − 1)/2 = \varepsilon_{r}\), correspondiente a que la energía EM esté confinada al dieléctrico. Para una línea delgada\(w/h ≪ 1\),\(\varepsilon_{e} = (\varepsilon_{r} + 1)/2\), el promedio de las permitividades dieléctricas y de aire.

    La impedancia característica viene dada por

    \[\label{eq:12}Z_{0}=\frac{Z_{01}}{\sqrt{\varepsilon_{e}}} \]

    donde la impedancia característica de la línea de microcinta en el espacio libre es

    \[\label{eq:13}Z_{01}=Z_{0}|_{(\varepsilon_{r}=1)}=60\ln\left[\frac{F_{1}h}{w}+\sqrt{1+\left(\frac{2h}{w}\right)^{2}}\right] \]

    y

    \[\label{eq:14}F_{1}=6+(2\pi -6)\exp\left\{-(30.666h/w)^{0.7528}\right\} \]

    La precisión de la ecuación\(\eqref{eq:9}\) es mejor que\(0.2\%\) para\(0.01 ≤ w/h ≤ 100\) y\(1 ≤\varepsilon_{r} ≤ 128\). Además, la precisión de la Ecuación\(\eqref{eq:13}\) es mejor que\(0.1\%\) para\(w/h < 1000\). Tenga en cuenta que\(Z_{0}\) tiene un valor máximo cuando\(w\) es pequeño.

    Ahora consideremos el caso especial donde\(w\) está desaparecidamente pequeño. Entonces εe tiene su valor mínimo:

    \[\label{eq:15}\varepsilon_{e}=\frac{1}{2}(\varepsilon_{r}+1) \]

    Esto lleva a una forma aproximada (y conveniente) de Ecuación\(\eqref{eq:9}\):

    \[\label{eq:16} \varepsilon_{e}=\frac{(\varepsilon_{r}+1)}{2}+\frac{(\varepsilon_{r}-1)}{2}\frac{1}{\sqrt{1+12h/w}} \]

    Esta aproximación tiene su mayor error de\(1\%\) para líneas bajas y altas\(\varepsilon_{r}\) y estrechas,\(w/h ≪ 1\). Nuevamente,\(\eqref{eq:12}\) se utiliza Ecuación para calcular la impedancia característica. Una comparación de las características de la línea usando la fórmula más precisa para εe (Ecuación\(\eqref{eq:9}\)) y el ajuste ligeramente menos preciso (Ecuación\(\eqref{eq:16}\)) se da en la Tabla\(\PageIndex{1}\).

    El análisis más exacto, representado por Ecuación\(\eqref{eq:9}\), se utilizó para desarrollar la Tabla\(\PageIndex{2}\), la cual puede ser utilizada en el diseño de microcinta sobre un sustrato de dióxido de silicio (SiO\(_{2}\)) y sobre una placa de circuito impreso FR4 que ambos tienen una permitividad relativa de\(4\), sobre alúmina con un permitividad de\(10\), sobre un sustrato de silicio (Si) con una permitividad relativa de\(11.9\), y sobre un sustrato de arseniuro de galio (GaAs) con una permitividad relativa de\(12.85\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Microstrip Calculations

    La tira de una línea de microcinta tiene un ancho de\(600\:\mu\text{m}\) y se fabrica sobre un sustrato sin pérdidas que es\(635\:\mu\text{m}\) grueso y tiene una permitividad relativa de\(4.1\).

    1. ¿Cuál es la permitividad relativa efectiva?
    2. ¿Cuál es la impedancia característica?
    3. ¿Cuál es la constante de propagación al\(5\text{ GHz}\) ignorar cualquier pérdida?

    Solución

    Utilice las fórmulas para la permitividad efectiva, la impedancia característica y la constante de atenuación de la Sección 3.5.3 con\(w = 600\:\mu\text{m};\: h = 635\:\mu\text{m};\:\varepsilon_{r} = 4.1;\: w/h = 600/635 = 0.945\).

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    1. \[\varepsilon_{e}=\frac{\varepsilon_{r}+1}{2}+\frac{\varepsilon_{r}-1}{2}\left(1+\frac{10h}{w}\right)^{-a\cdot b}\nonumber \]
      De Ecuaciones\(\eqref{eq:10}\) y\(\eqref{eq:11}\),
      \[\begin{aligned}a&=1+\frac{1}{49}\ln\left[\frac{(w/h)^{4}+\{w/(52h)\}^{2}}{(w/h)^{4}+0.432}\right]+\frac{1}{18.7}\ln\left[1+\left(\frac{w}{18.1h}\right)^{3}\right]=0.991 \\ b&=0.564\left[\frac{\varepsilon_{r}-0.9}{\varepsilon_{r}+3}\right]^{0.053}=0.541\nonumber\end{aligned} \nonumber \]
      De Ecuación\(\eqref{eq:9}\),\(\varepsilon_{e} = 2.967\).
    2. En el espacio libre,
      \[Z_{0}|_{\text{air}}=60\ln\left[\frac{F_{1}\cdot h}{w}+\sqrt{1+\left(\frac{2h}{w}\right)^{2}}\right]\nonumber \]
      donde\(F_{1} = 6 + (2π − 6) \exp\left\{ − (30.666h/\omega ) ^{0.7528}\right\} ,\quad Z_{0} = Z_{0}|_{\text{air}}/\sqrt{\varepsilon_{e}}\)
      \[Z_{0}|_{\text{air}}=129.7\:\Omega\quad\text{and}\quad Z_{0}=Z_{0}|_{\text{air}}/\sqrt{\varepsilon_{e}}=75.3\:\Omega\nonumber \]
    3. \(f=5\text{ GHz}\),\(\omega =2\pi f\),\(\gamma=\jmath\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}\varepsilon_{e}}=\jmath 180.5/\text{ m}\)
    \(\varepsilon_{r}\) \(w/h\) \(\varepsilon_{e}\) \(Z_{0}\) \(\varepsilon_{e}\) \(Z_{0}\)
    Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(1\) \ (w/h\) ">\(0.01\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(401.1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(401.1\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(1\) \ (w/h\) ">\(0.1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(262.9\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(262.9\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(1\) \ (w/h\) ">\(1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(126.5\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(126.5\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(1\) \ (w/h\) ">\(10\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(29.04\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(29.04\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(1\) \ (w/h\) ">\(100\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(3.61\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(3.61\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(2\) \ (w/h\) ">\(0.01\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1.525\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(322.5\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1.514\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(325.9\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(2\) \ (w/h\) ">\(0.1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1.565\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(210.0\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1.545\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(211.5\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(2\) \ (w/h\) ">\(1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1.645\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(98.64\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1.639\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(98.83\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(2\) \ (w/h\) ">\(10\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1.848\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(21.36\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1.837\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(21.43\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(2\) \ (w/h\) ">\(100\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1.969\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(2.58\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1.972\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(2.58\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(10\) \ (w/h\) ">\(0.01\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(5.683\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(165.8\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(5.630\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(169.0\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(10\) \ (w/h\) ">\(0.1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(6.016\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(107.0\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(5.909\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(108.2\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(10\) \ (w/h\) ">\(1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(6.705\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(48.86\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(6.748\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(48.70\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(10\) \ (w/h\) ">\(10\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(8.556\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(9.93\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(8.534\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(9.94\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(10\) \ (w/h\) ">\(100\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(9.707\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(1.16\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(9.752\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(1.16\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(20\) \ (w/h\) ">\(0.01\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(10.88\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(119.6\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(10.77\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(122.2\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(20\) \ (w/h\) ">\(0.1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(11.57\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(77.14\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(11.36\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(78.00\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(20\) \ (w/h\) ">\(1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(13.01\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(35.07\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(13.13\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(34.91\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(20\) \ (w/h\) ">\(10\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(16.93\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(7.06\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(16.91\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(7.06\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(20\) \ (w/h\) ">\(100\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(19.38\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(0.821\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(19.48\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(0.819\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(128\) \ (w/h\) ">\(0.01\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(66.90\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(48.15\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(66.30\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(49.25\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(128\) \ (w/h\) ">\(0.1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(71.51\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(31.02\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(70.27\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(31.37\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(128\) \ (w/h\) ">\(1\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(81.12\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(14.05\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(82.11\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(13.96\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(128\) \ (w/h\) ">\(10\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(71.51\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(2.80\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(70.27\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(2.80\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(128\) \ (w/h\) ">\(100\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(123.8\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:9}\),\(0.2\%\) “>\(0.325\) \ (\ varepsilon_ {e}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(124.5\) \ (Z_ {0}\) Eq. \(\eqref{eq:16}\),\(1\%\) “>\(0.324\)

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Comparación de dos ecuaciones ajustadas para la permitividad relativa efectiva y la impedancia característica de una línea de microcinta. La ecuación\(\eqref{eq:9}\) tiene una precisión de mejor que\(0.2\%\) y la ecuación\(\eqref{eq:16}\) tiene una precisión de mejor que\(1\%\).

    \(Z_{0}\) \(\varepsilon_{r} =4\text{ (SiO}_{2}\text{, FR4)}\) \(\varepsilon_{r}=10\:\text{(Alumina)}\) \(\varepsilon_{r}=11.9\:\text{(Si)}\)
    (\(\Omega \)) \(u\) \(\varepsilon_{e}\) \(u\) \(\varepsilon_{e}\) \(u\) \(\varepsilon_{e}\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(140\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.171\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.718\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.028\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.914\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.017\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.907\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(139\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.176\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.720\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.029\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.917\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.018\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.910\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(138\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.181\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.722\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.030\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.919\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.019\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.914\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(137\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.185\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.723\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.031\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.922\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.020\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.919\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(136\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.190\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.725\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.032\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.924\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.021\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.923\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(135\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.195\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.727\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.033\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.927\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.022\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.925\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(134\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.201\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.729\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.035\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.931\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.022\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.927\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(133\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.206\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.731\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.036\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.933\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.023\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.930\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(132\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.212\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.733\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.037\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.936\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.024\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.934\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(131\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.217\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.734\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.038\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.939\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.025\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.937\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(130\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.223\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.736\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.040\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.942\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.026\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.941\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(129\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.229\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.738\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.043\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.949\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.028\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.948\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(128\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.235\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.740\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.044\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.951\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.029\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.951\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(127\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.241\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.742\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.046\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.955\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.030\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.954\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(126\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.248\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.744\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.048\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.958\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.031\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.957\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(125\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.254\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.746\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.050\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.962\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.033\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.963\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(124\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.261\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.748\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.052\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.966\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.034\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.966\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(123\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.268\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.750\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.054\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.970\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.035\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.969\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(122\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.275\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.752\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.056\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.973\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.038\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.977\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(121\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.283\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.755\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.058\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.977\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.039\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.980\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(120\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.290\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.757\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.061\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.982\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.041\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.985\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(119\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.298\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.759\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.063\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.985\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.043\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.990\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(118\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.306\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.761\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.066\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.990\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.045\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.995\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(117\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.314\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.763\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.068\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.993\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.047\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.999\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(116\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.323\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.766\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.071\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(5.998\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.049\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.004\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(115\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.331\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.768\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.074\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.003\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.051\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.008\)
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    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(87\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.701\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.855\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.219\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.173\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.164\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.193\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(86\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.721\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.859\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.228\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.182\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.171\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.203\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(85\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.740\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.863\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.237\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.190\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.179\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.213\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(84\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.761\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.867\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.246\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.198\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.187\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.223\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(83\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.782\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.872\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.256\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.208\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.195\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.233\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(82\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.804\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.876\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.266\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.216\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.203\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.242\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(81\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.826\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.881\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.277\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.226\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.212\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.253\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(80\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.849\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.885\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.288\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.235\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.221\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.263\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(79\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.873\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.890\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.299\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.245\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.230\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.274\)
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    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(76\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.949\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.905\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.337\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.276\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.262\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.309\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(75\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(0.976\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.910\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.350\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.286\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.273\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.321\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(74\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(1.003\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.915\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.364\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.297\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.285\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.333\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(73\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(1.032\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(2.921\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.379\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.309\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.297\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.345\)
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    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(57\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(1.648\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.022\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.717\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.538\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.589\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.603\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(56\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(1.700\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.030\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.746\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.556\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.616\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.624\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(55\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(1.753\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.037\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.777\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.575\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.643\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.645\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(54\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(1.809\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.045\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.809\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.594\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.672\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.667\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(53\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(1.867\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.053\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.843\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.614\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.702\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.690\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(52\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(1.927\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.061\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.878\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.635\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.733\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.713\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(51\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(1.991\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.069\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.915\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.657\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.766\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.738\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(50\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.056\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.077\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.954\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.679\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.800\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.763\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(49\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.125\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.086\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(0.995\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.702\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.837\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.790\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(48\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.197\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.094\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.037\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.726\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.875\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.817\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(47\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.272\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.103\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.081\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.750\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.914\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.845\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(46\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.350\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.112\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.128\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.775\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(0.956\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.874\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(45\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.432\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.121\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.177\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.801\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(1.000\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.904\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(44\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.518\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.131\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.229\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.828\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(1.047\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.936\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(43\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.609\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.140\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.283\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.856\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(1.096\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.968\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(42\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.703\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.150\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.340\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.884\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(1.147\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.002\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(41\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.803\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.160\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.400\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.913\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(1.201\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.036\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(40\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(2.908\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.171\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.464\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(6.944\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(1.259\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.072\)
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    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(36\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(3.390\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.214\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.757\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.073\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(1.524\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.226\)
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    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(34\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(3.675\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.237\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(1.931\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.143\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(1.682\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.311\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(33\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(3.831\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.250\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(2.027\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.180\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(1.769\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.355\)
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    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(28\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(4.875\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.315\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(2.615\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.384\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(2.304\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.601\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(27\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(5.020\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.329\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(2.760\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.428\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(2.436\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.655\)
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    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(25\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(5.547\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.359\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(3.087\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.523\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(2.734\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.770\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(24\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(5.845\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.374\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(3.272\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.573\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(2.902\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.831\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(23\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(6.169\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.390\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(3.474\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.625\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(3.086\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.894\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(22\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(6.523\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.407\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(3.694\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.679\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(3.287\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.960\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(21\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(6.912\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.424\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(3.936\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.734\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(3.508\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.028\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(20\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(7.341\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.441\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(4.203\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.793\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(3.752\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.100\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(19\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(7.815\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.459\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(4.499\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.854\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(4.022\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.174\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(18\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(8.344\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.478\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(4.829\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.917\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(4.323\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.252\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(17\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(8.936\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.497\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(5.199\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(7.983\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(4.661\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.334\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(16\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(9.603\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.517\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(5.616\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.053\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(5.043\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.419\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(15\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(10.361\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.538\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(6.090\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.126\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(5.476\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.509\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(14\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(11.229\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.559\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(6.633\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.202\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(5.972\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.604\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(13\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(12.233\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.581\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(7.262\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.282\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(6.547\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.704\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(12\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(13.407\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.604\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(7.997\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.367\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(7.219\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.809\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(11\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(14.798\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.628\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(8.868\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.456\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(8.016\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(9.920\)
    \ (Z_ {0}\) (\(\Omega \)) ">\(10\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(u\) “>\(16.471\) \ (\ varepsilon_ {r} =4\ texto {(SiO} _ {2}\ texto {, FR4)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(3.652\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(u\) “>\(9.916\) \ (\ varepsilon_ {r} =10\:\ text {(Alúmina)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(8.550\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(u\) “>\(8.975\) \ (\ varepsilon_ {r} =11.9\:\ text {(Si)}\)\(\varepsilon_{e}\) “>\(10.038\)

    Tabla\(\PageIndex{2}\): Ancho normalizado de línea de microcinta\(u (= w/h)\) y permitividad efectiva\(\varepsilon_{e}\),, para impedancia característica especificada\(Z_{0}\). Datos derivados del análisis en la Sección 3.5.3.

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    Figura\(\PageIndex{6}\): Dependencia del\(q\) factor de una línea de microcinta\(1\text{ GHz}\) para diversas permitividades y\((w/h)\) relaciones de aspecto. (Datos obtenidos de simulaciones de campo EM usando Sonnet.)

    3.5.4 Factor de llenado

    Definir un factor de llenado\(q\),, proporciona información útil sobre la distribución de energía en una línea de transmisión no homogénea. La permitividad efectiva de microstrip es\(^{2}\)

    \[\label{eq:17}\varepsilon_{e}=1+q(\varepsilon_{r}-1) \]

    donde para una línea de microcinta\(q\) tiene los límites

    \[\label{eq:18}\frac{1}{2}\leq q\leq 1 \]

    El aspecto útil de\(q\) es que es casi independiente de\(\varepsilon_{r}\). Un\(q\) factor de\(1\) indicaría que todos los campos están en la región dieléctrica. La dependencia de una línea\(q\) de microcinta\(1\text{ GHz}\) para diversas permitividades y\((w/h)\) relaciones de aspecto se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\). Las propiedades de una línea de microcinta, y líneas de transmisión uniformes en general, se pueden describir muy bien considerando el factor de llenado geométrico\(q\), y la permitividad dieléctrica por separado. El ajuste de los datos de microcinta produce una fórmula para\(q\) en términos de los parámetros de geometría [19]:

    \[\label{eq:19}q=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{1+12h/w}}\right) \]

    3.5.5 Resistencia Microstrip

    \(R\)para una línea de microcinta es la suma de la resistencia de la banda y la resistencia del plano de tierra:

    \[\label{eq:20}R=R_{\text{strip}}+R_{\text{ground}} \]

    (con unidades SI de\(\Omega\text{/m}\)). A bajas frecuencias la corriente se distribuye uniformemente en la tira y así

    \[\label{eq:21}R_{\text{strip}}=\frac{\rho}{wt}=\frac{R_{s}}{w} \]

    donde\(\rho\) (con unidades de\(\Omega\text{m}\)) es la resistividad de la tira metálica,\(R_{s} =\rho /t\) (con unidades de\(\Omega\) pero referidas como\(\Omega\text{/sq}\), ohmios por cuadrado) es la resistencia de la lámina (también llamada resistencia superficial) de la tira,\(t\) es el espesor de la tira, y\(w\) es el ancho de la tira. La resistencia de la lámina se utiliza para indicar la resistencia de una lámina de conductor sin necesidad de tener en cuenta el espesor\(t\) en los cálculos.

    A CC la corriente se distribuye en el plano de tierra sobre todo el ancho del suelo. A frecuencias bastante bajas esta transición de manera que la corriente no se distribuye uniformemente en el plano de tierra y la resistencia del plano de tierra se aproxima como [19]

    \[\label{eq:22}R_{\text{ground}}=\frac{R_{sg}}{w}\frac{w/h}{w/h+5.8+0.03h/w},\quad\text{for }0.1\leq w/h\leq 10 \]

    donde está la resistencia de la lámina del plano de tierra\(R_{sg}\). Se ha encontrado que la frecuencia de transición de CC a la aproximación de baja frecuencia anterior es\(1.3\text{ MHz}\) para una microcinta con\(w = 200\:\mu\text{m}\),\(h = 100\:\mu\text{m}\)\(\varepsilon_{r} = 4\), y un ancho de plano de tierra de\(2\text{ mm}\) (es decir, un suelo muy ancho) [20]. Entonces a frecuencias RF y microondas La ecuación\(\eqref{eq:22}\) debe usarse como el valor de baja frecuencia de\(R_{\text{ground}}\). Ambos\(R_{\text{strip}}\) y\(R_{\text{ground}}\) aumentarán a frecuencias más altas ya que entonces las cargas se reordenan a frecuencias mucho más altas. Esto será considerado en el próximo capítulo.

    Finalmente, la atenuación debida a la pérdida del conductor\(\alpha_{c}\), a partir de la Ecuación (2.5.15), es\(R/2Z_{0}\) y así

    \[\label{eq:23}\alpha_{c}=\frac{R_{\text{strip}}+R_{\text{ground}}}{2Z_{0}} \]

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Microstrip Attenuation

    Si la tira en Ejemplo\(\PageIndex{2}\) tiene una resistencia de\(1\:\Omega\text{/cm}\) y se puede ignorar la resistencia del plano de tierra, ¿en qué consiste la constante de atenuación\(5\text{ GHz}\)?

    Solución

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    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Para una línea de baja pérdida,\(\alpha = R/(2Z_{0})\) (ya que no hay pérdida dieléctrica)\(R =1\:\Omega\text{/cm},\: Z_{0} = 75.3\:\Omega\), y así, usando la Ecuación (2.5.15),

    \[\alpha =0.664\text{ Np/m}\nonumber \]

    3.5.6 Conductancia de microcinta

    Para una línea de microcinta, una estimación de\(G\) es [19]

    \[\label{eq:24}G=\frac{\varepsilon_{e}-1}{\varepsilon_{r}-1}\omega(\tan\delta)\varepsilon_{r}C_{\text{air}} \]

    donde\(\tan\delta\) es la tangente de pérdida del sustrato de microcinta y\(\omega\) es la frecuencia del radián. Entonces, a partir de las ecuaciones (2.5.14)\(\eqref{eq:4}\), y\(\eqref{eq:24}\),

    \[\label{eq:25}\alpha_{d}=\frac{GZ_{0}}{2}=\frac{1}{2}\frac{\varepsilon_{e}-1}{\varepsilon_{r}-1}\omega(\tan\delta)\:\varepsilon_{r}C_{\text{air}}\frac{1}{c\sqrt{CC_{\text{air}}}} \]

    O, usando Ecuación\(\eqref{eq:7}\), esto se puede escribir como

    \[\label{eq:26}\alpha_{d}=\frac{\omega}{c}(\tan\delta)\frac{\varepsilon_{r}(\varepsilon_{e}-1)}{2\sqrt{\varepsilon_{e}}(\varepsilon_{r}-1)}\text{ Np/m} \]

    Esta fórmula se puede utilizar con cualquier línea de transmisión TEM, es decir, cualquier línea de transmisión en la que los campos sean perpendiculares a la dirección de propagación.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Microstrip "Rule-Of-Thumb"

    Una regla general es una guía que no pretende ser precisa sino que se puede aplicar fácilmente. Las fórmulas precisas para la impedancia característica y la permitividad efectiva de una línea de microcinta, Ecuaciones\(\eqref{eq:12}\)\(\eqref{eq:16}\), indican una tendencia subyacente. La “regla general” muy aproximada para la impedancia característica de una línea de microcinta es

    \[\label{eq:27}Z_{0,\text{ ROT}}=\frac{k}{\sqrt{\varepsilon_{r}}}\sqrt{\frac{h}{w}} \]

    donde\(k\) es una constante que se establece para una línea de referencia. Tomando la referencia como\(\varepsilon_{r} = 10\) y\(w/h = 0.954\) luego de Tablas\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\),\(Z_{0,\text{ REF}} = 50\:\Omega\). Para esta referencia\(k = 154.4\:\Omega\). En la siguiente tabla se indica la exactitud de esta regla general.

    \(\varepsilon_{r}\) \(w/h\) real\(Z_{0}\) (\(\Omega\)) approzimate\(Z_{0,\text{ ROT}}\) (\(\Omega\)) error
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(10\) \ (w/h\) ">\(1\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(48.86\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(48.8\) \(1\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(2\) \ (w/h\) ">\(1\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(98.64\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(109\) \(11\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(20\) \ (w/h\) ">\(1\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(35.07\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(34.5\) \(2\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(4\) \ (w/h\) ">\(0.849\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(80\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(83.8\) \(5\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(10\) \ (w/h\) ">\(0.288\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(80\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(91.0\) \(14\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(11.9\) \ (w/h\) ">\(0.221\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(80\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(95.2\) \(19\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(4\) \ (w/h\) ">\(2.056\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(50\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(53.8\) \(8\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(10\) \ (w/h\) ">\(0.954\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(50\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(50.0\) \(0\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(11.9\) \ (w/h\) ">\(0.800\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(50\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(50.0\) \(0\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(4\) \ (w/h\) ">\(4.364\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(30\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(37.0\) \(23\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(10\) \ (w/h\) ">\(2.355\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(30\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(31.8\) \(6\%\)
    \ (\ varepsilon_ {r}\) ">\(11.9\) \ (w/h\) ">\(2.067\) \ (Z_ {0}\) (\(\Omega\)) ">\(30\) \ (Z_ {0,\ text {ROT}}\) (\(\Omega\)) ">\(31.1\) \(4\%\)

    Mesa\(\PageIndex{3}\)

    Así se describen correctamente las tendencias. Incluso el peor de los casos (\(\varepsilon = 4,\: w/h = 4.364\)) tiene un error de\(23\%\) para un factor de cambio de\(11\) parámetro a partir de la referencia (\(\varepsilon = 10,\: w/h = 0.954\)).

    Notas al pie

    [1] La suposición de que no\(L\) se ve afectada por el dieléctrico es una buena aproximación. Sin embargo, existe una pequeña discrepancia ya que un cambio en la orientación del campo eléctrico afecta al campo magnético, pero hay poco almacenamiento adicional de energía magnética.

    [2] La permitividad efectiva en la Ecuación\(\eqref{eq:17}\) es el límite superior sobre la permitividad de mezclas [17] y se conoce como la regla de mezcla de Maxwell Garnett [18].


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