4.3: Propiedades de Alta Frecuencia de Líneas de Microstrip

Aquí se discuten las propiedades de alta frecuencia de las líneas de microcinta y se presentan fórmulas que incorporan dependencia de frecuencia para permitividad efectiva, impedancia característica y pérdida de atenuación. Se denota la permitividad efectiva a CC (calculada en el capítulo anterior)\(\varepsilon_{e}(0)\) y la impedancia característica a CC es\(Z_{0}(0)\). Estos también se denominan permitividad efectiva cuasiestática e impedancia característica cuasiestática. El análisis detallado [12] produce la siguiente fórmula para la permitividad efectiva dependiente de la frecuencia de una línea de microcinta:

\[\label{eq:1}\varepsilon_{e}(f)=\varepsilon_{r}-\frac{\varepsilon_{r}-\varepsilon_{e}(0)}{1+(f/f_{a})^{m}} \]

donde

\[\begin{align} \label{eq:2}f_{a}&=\frac{f_{b}}{0.75 + (0.75 − 0.332 \varepsilon_{r}^{−1.73}) (w/h)} \\ \label{eq:3} f_{b}&=\frac{47.746 \times 10^{6}}{h\sqrt{\varepsilon_{r}-\varepsilon_{e}(0)}}\tan^{-1}\left\{\varepsilon_{r}\sqrt{\frac{\varepsilon_{e}(0)-1}{\varepsilon_{r}-\varepsilon_{e}(0)}}\right\} \\ \label{eq:4}m&=\left\{\begin{array}{ll}{m_{0}m_{c}}&{m_{0}m_{c}\leq 2.32}\\{2.32}&{m_{0}m_{c}>2.32}\end{array}\right. \\ \label{eq:5}m_{0}&=1+\frac{1}{1+\sqrt{w/h}}+0.32\left(1+\sqrt{w/h}\right)^{-3} \\ \label{eq:6}m_{c}&=\left\{\begin{array}{ll}{1+\frac{1.4}{1+w/h}\{0.15-0.235e^{-0.45f/f_{a}}\}}&{\text{for }w/h\leq 0.7}\\{1}&{\text{for }w/h>0.7}\end{array}\right. \end{align} \]

En estas ecuaciones se utilizan unidades SI. La precisión de las ecuaciones es mejor que\(0.6\%\) para\(0.1\leq w/h\leq 10\),\(1\leq\varepsilon_{r}\leq 128\), y para cualquier valor de\(h/\lambda\) siempre que sea\(h < \lambda /10\).

Nota

La longitud de onda del espacio libre es\(\lambda_{0}\), la longitud de onda en el medio es\(\lambda\), y la longitud de onda guía (la longitud de onda en la línea) es\(\lambda_{g}\).

La impedancia característica dependiente de la frecuencia es, con referencia a las ecuaciones (3.5.13) y (3.5.12),

\[\label{eq:7} Z_{0}(f)=\frac{Z_{01}}{\sqrt{\varepsilon_{e}(f)}}=Z_{0}(0)\frac{\sqrt{\varepsilon_{e}(0)}}{\sqrt{\varepsilon_{e}(f)}} \]

4.3.1 Pérdida dependiente de la frecuencia

El efecto de la pérdida en la transmisión de la señal es capturado por la constante de atenuación,\(\alpha\). Hay dos fuentes primarias de pérdida: la resultante del dieléctrico, capturada por la constante de atenuación dieléctrica,\(\alpha_{d}\), y la de la pérdida del conductor, capturada por la constante de atenuación del conductor,\(\alpha_{c}\). Así

\[\label{eq:8}\alpha|_{\text{dB}}=\alpha_{d}|_{\text{dB}}+\alpha_{c}|_{\text{dB}} \]

Cuando la pérdida dieléctrica es significativa (por ejemplo, el sustrato es silicio que tiene una conductividad apreciable), la fórmula anterior para\(\alpha_{d}\) (Ecuación (3.5.26)) proporciona una buena estimación para la atenuación cuando\(\varepsilon_{e}\) se reemplaza por la permitividad relativa efectiva dependiente de la frecuencia,\(\varepsilon_{e}(f)\).

La pérdida de conductor dependiente de la frecuencia, descrita por la atenuación del conductor\(\alpha_{c}\), resulta de la concentración de corriente a medida que aumenta la frecuencia:

\[\label{eq:9}\alpha_{c}(f)=\frac{R(f)}{2Z_{0}} \]

donde\(R(f)\) está la resistencia de línea dependiente de la frecuencia descrita en la Sección 4.2.5.

Una tercera fuente de pérdida es la pérdida de radiación, lo que lleva a un factor de atenuación,\(\alpha_{r}\). A las frecuencias a las que generalmente se usa una línea de transmisión, generalmente es más pequeña que las pérdidas dieléctricas y de conductores. Entonces, en su totalidad,

\[\label{eq:10}\alpha(f)=\alpha_{d}(f)\cdot\alpha_{c}(f)\cdot\alpha_{r}(f) \]

y en decibelios

\[\label{eq:11}\alpha(f)|_{\text{dB}}=\alpha_{d}(f)|_{\text{dB}}+\alpha_{c}(f)|_{\text{dB}}+\alpha_{r}(f)|_{\text{dB}} \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Dependencia\(Z_{0}\) de una línea de microcinta\(1\text{ GHz}\) para diversas permitividades y\((w/h)\) relaciones de aspecto.

Figura\(\PageIndex{2}\): Dependencia de la permitividad relativa efectiva,\(\varepsilon_{e}\), de una línea de microcinta\(1\text{ GHz}\) para diversas permitividades y relaciones de aspecto\((w/h)\).

4.3.2 Simulaciones de Campo

En esta sección se presentan resultados para simulaciones EM de líneas de microcinta con una variedad de parámetros. Estas simulaciones se realizaron utilizando el simulador Sonnet EM. La figura\(\PageIndex{1}\) presenta cálculos de\(Z_{0}\) para diversas relaciones de aspecto\((w/h)\) y permitividades de sustrato\((\varepsilon_{r})\) cuando no hay pérdida. La información clave aquí es que las tiras estrechas y los sustratos de baja permitividad tienen alta\(Z_{0}\). Por el contrario, las tiras anchas y los sustratos de alta permitividad tienen baja\(Z_{0}\). La dependencia de la permitividad de la relación de aspecto se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\), donde se puede observar que la permitividad efectiva,\(\varepsilon_{e}\), aumenta para tiras anchas. Esto se debe a que más del campo EM está en el sustrato.

Cuando se incorpora la pérdida,\(\varepsilon_{e}\) se vuelve compleja y los componentes imaginarios indican pérdida principalmente debido a la pérdida del conductor. La figura\(\PageIndex{3}\) presenta la dependencia de frecuencia de tres líneas de microcinta con diferentes sustratos y relaciones de aspecto. Estas simulaciones tomaron en cuenta la pérdida finita en los conductores y en el dieléctrico. En la Figura\(\PageIndex{3}\) (a) se puede observar que la permitividad efectiva,\(\varepsilon_{e}\), aumenta con la frecuencia a medida que los campos se confinan más al sustrato. Además, la parte real de la impedancia característica se traza con respecto a la frecuencia. Hasta\(20\text{ GHz}\) una caída en\(Z_{0}\) se observa a medida que aumenta la frecuencia. Esto se debe tanto a la reducción de la banda interna como a las inductancias de tierra a medida que las cargas se mueven hacia la piel del conductor y también a un mayor confinamiento de los campos EM en el dieléctrico a medida que aumenta la frecuencia. No pasa mucho tiempo antes de que la impedancia característica aumente. Este efecto no se debe al efecto piel y al agrupamiento actual que se describieron previamente. Más bien se debe a otros efectos EM que solo se capturan en la simulación EM. Es resultado de las variaciones espaciales que se están desarrollando en los campos (relacionadas con el hecho de que no todas las partes de los campos están en contacto instantáneo).

Figura\(\PageIndex{3}\): Dependencia de frecuencia de las partes reales e imaginarias de\(\varepsilon_{e}\) y\(Z_{0}\) de una línea de microcinta de oro sobre alúmina con\(\varepsilon_{r}\) (DC).

4.3.3 Resumen

El diseñador de microondas de hoy es realmente afortunado de que en la década de 1980 se pusiera un esfuerzo considerable en desarrollar fórmulas dependientes de la frecuencia para la permitividad efectiva y la impedancia característica, Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) y\(\eqref{eq:7}\), y estas todavía se pueden usar. Un efecto que no es captado por estas fórmulas es el aumento del rizo transversal de los campos EM con frecuencia creciente y esto tiende a aumentar la impedancia característica, por ejemplo ver Sección 4.3.2. Pero se captura la dependencia de la frecuencia-dependencia de la permitividad relativa efectiva. Para incorporar el impacto geométrico en la impedancia característica dependiente de la frecuencia es necesario optimizar un diseño mediante simulación de campo EM siguiendo un diseño inicial usando las fórmulas dependientes de la frecuencia.