5.3: Teoría de líneas de transmisión acopladas

En esta sección se desarrolla la teoría de líneas de transmisión acopladas en términos de las cantidades mostradas en la Figura 5.2.4. Los voltajes y corrientes que se muestran aquí son fasores que varían a lo largo de la línea y son funciones de\(x\).

También se asume el modo de propagación cuasi-tem, y el sistema de línea de transmisión es completamente sin pérdidas con conductores y aisladores perfectos. En forma de fasor, las ecuaciones generalizadas del telégrafo para un par de líneas acopladas son\(^{1}\)

\[\begin{align}\label{eq:1}\frac{dV_{1}(x)}{dx}&=-\jmath\omega L_{11}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{12}I_{2}(x) \\ \label{eq:2}\frac{dV_{2}(x)}{dx}&=-\jmath\omega L_{21}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{22}I_{2}(x) \\ \label{eq:3}\frac{dI_{1}(x)}{dx}&=-\jmath\omega C_{11}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{12}V_{2}(x) \\ \label{eq:4}\frac{dI_{2}(x)}{dx}&=-\jmath\omega C_{21}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{22}V_{2}(x)\end{align} \]

Estas son generalizaciones de las ecuaciones del telégrafo de una sola línea de transmisión, y para la reciprocidad,\(C_{12} = C_{21}\) y\(L_{12} = L_{21}\). La compactación de las ecuaciones se obtiene introduciendo la matriz de inductancia por unidad de longitud\(\mathbf{L}\), y la matriz de capacitancia por unidad de longitud\(\mathbf{C}\), definida como

\[\label{eq:5}\mathbf{L}=\left[\begin{array}{cc}{L_{11}}&{L_{12}}\\{L_{12}}&{L_{22}}\end{array}\right] \]

y

\[\label{eq:6}\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc}{C_{11}}&{C_{12}}\\{C_{12}}&{C_{22}}\end{array}\right] \]

El siguiente paso es expresar el voltaje en el par de líneas de transmisión acopladas en forma vectorial como

\[\label{eq:7}\mathbf{V}(x)=\left[\begin{array}{c}{V_{1}(x)}\\{V_{2}(x)}\end{array}\right]=[V_{1}(x)V_{2}(x)]^{\text{T}} \]

donde\(\text{T}\) indica transponer y convierte el vector de fila en un vector de columna. De manera similar, el vector de corrientes en las líneas de transmisión acopladas es

\[\label{eq:8}\mathbf{I}(x)=[I_{1}(x)I_{2}(x)]^{\text{T}} \]

Usando las relaciones anteriores, la ecuación del telégrafo, de Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) —\(\eqref{eq:4}\), se representa en forma de matriz como

\[\label{eq:9}\frac{d}{dx}\mathbf{V}(x)=-\jmath\omega\mathbf{LI}(x) \]

y

\[\label{eq:10}\frac{d}{dx}\mathbf{I}(x)=-\jmath\omega\mathbf{CV}(x) \]

Reordenando las ecuaciones\(\eqref{eq:9}\) y\(\eqref{eq:10}\) tomando derivadas, y después de la sustitución, se obtiene la forma final de la ecuación de onda:

\[\label{eq:11}\frac{d^{2}}{dx}^{2}\mathbf{V}(x)+\omega^{2}\mathbf{LCV}(x)=0 \]

y

\[\label{eq:12}\frac{d^{2}}{dx}^{2}\mathbf{I}(x)+\omega^{2}\mathbf{LCI}(x)=0 \]

Resolver estas ecuaciones diferenciales de segundo orden arroja descripciones de las características de propagación. Con confianza, se puede asumir una solución en forma de ondas propagadoras:

\[\label{eq:13}\mathbf{V}(x)=\mathbf{V}_{0}\mathbf{β}=\mathbf{V}_{0}\text{diag}(e^{-\jmath\beta_{1}x},e^{-\jmath\beta_{2}x})=\mathbf{V}_{0}\left[\begin{array}{cc}{e^{-\jmath\beta_{1}x}}&{0}\\{0}&{e^{-\jmath\beta_{2}x}}\end{array}\right] \]

Sustituyendo esto en\(\eqref{eq:11}\) rendimientos de ecuaciones

\[\label{eq:14}-\mathbf{β}^{2}\mathbf{V}_{0}+\omega^{2}\mathbf{LCV}_{0}=0 \]

Para una solución no trivial de Ecuación\(\eqref{eq:14}\), el determinante de la ecuación matricial debe ser cero:

\[\label{eq:15}\det\left(\mathbf{LC}-\frac{\mathbf{β}^{2}}{\omega^{2}}\mathbf{U}\right)=0,\quad\text{where the unit matrix}\quad\mathbf{U}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}\right] \]

La ecuación\(\eqref{eq:15}\) es la ecuación característica que se puede resolver para determinar la constante de fase,\(\beta\). Hay muchas soluciones posibles, y las combinaciones lineales ponderadas de las soluciones también son soluciones.

Si solo se consideran los modos cuasi-TEM, entonces hay dos conjuntos posibles de soluciones para la constante de fase, siendo un conjunto de soluciones

\[\label{eq:16}\beta_{1}=\pm\omega S_{1} \]

y el otro

\[\label{eq:17}\beta_{2}=\pm\omega S_{2} \]

Los diferentes signos aquí se interpretan físicamente como referentes a las olas que viajan hacia adelante y hacia atrás. Por lo tanto, el par acoplado de conductores soporta dos familias únicas de modos (cada familia comprende ondas de avance y retroceso) con cada familia relacionada con una configuración de campo particular en el sistema de línea acoplada. \(^{2}\)Es decir,\(S_{1}\) y\(S_{2}\) son cada uno números únicos y, solo considerando las ondas que viajan hacia adelante,\(\omega S_{1}\) es la constante de propagación de un modo y\(\omega S_{2}\) es la constante de propagación del segundo modo.

El modelo a nivel de circuito de un par de líneas acopladas se desarrolla considerando el cálculo de las\(\mathbf{C}\) matrices\(\mathbf{L}\) y. Los elementos de la matriz de capacitancia se obtienen en dos simulaciones en las que se calcula la carga de línea. Existe una variedad de paquetes de software disponibles comercialmente para la extracción de la longitud por unidad\(\mathbf{L}\) y\(\mathbf{C}\) matrices. La matriz\(\mathbf{C}\) se calcula, en la mayoría de los paquetes, a partir de las soluciones de un problema electrostático bidimensional. Los pasos implican resolver las cargas en las líneas con voltajes establecidos en los conductores. Con voltajes totales\(V_{1}\) y\(V_{2}\) en líneas\(\mathsf{1}\) y\(\mathsf{2}\), las cargas en las líneas\(Q_{1}\) y\(Q_{2}\) son

\[\label{eq:18}Q_{1}=C_{11}V_{1}+C_{12}V_{2} \]

y

\[\label{eq:19}Q_{2}=C_{12}V_{1}+C_{22}V_{2} \]

Simulación 1: Con\(V_{1} = 1\) y\(V_{2} = 0\), los cargos se calculan con el resultado de que

\[\label{eq:20}C_{11}=Q_{1}>0 \]

y

\[\label{eq:21}C_{12}=Q_{2}<0 \]

(Tenga en cuenta que\(C_{ij}\)\(i\neq j\),, es negativo.)

Simulación 2: Con\(V_{1} = 0\) y\(V_{2} = 1\), los cargos se recalculan, y ahora

\[\label{eq:22}C_{22}=Q_{2}\quad\text{and}\quad C_{12}=Q_{1} \]

La caracterización de las líneas se completa determinando los elementos de la matriz de inductancia. Esto se hace calculando las capacitancias con y sin el dieléctrico. El efecto principal del dieléctrico es alterar la configuración y magnitud del campo eléctrico. El dieléctrico tiene poco efecto sobre la magnitud y orientación del campo magnético. Con la misma corriente en las líneas acopladas, se almacena la misma energía magnética, y las inductancias de la línea acoplada no se modifican por el dieléctrico. El otro supuesto es que con un modo TEM en las líneas, y en ausencia de un dieléctrico, la velocidad de propagación es\(c = 1/\sqrt{LC}\). Específicamente, la suposición es que para un modo TEM y sin un dieléctrico, la velocidad de fase es justa\(c\). Esta es una muy buena aproximación y es exacta si los conductores tienen conductividad infinita. (Si los conductores tienen conductividad finita habría campo dentro de los conductores, y la onda se ralentiza ligeramente). Determinar la matriz de capacitancia sin el dieléctrico permite calcular la matriz de inductancia:

\[\label{eq:23}\mathbf{L}=\mathbf{L}_{0}=\frac{1}{c^{2}}\mathbf{C}_{0}^{-1} \]

donde el subíndice\(0\) indica espacio libre (pero un subíndice\(0\) en\(Z\), por ejemplo\(Z_{0}\), indica impedancia característica).

5.3.1 Resumen

Esta sección introdujo las ecuaciones del telégrafo para un par de líneas acopladas en una forma que es una extensión de las ecuaciones del telégrafo de una sola línea pero con el\(L\) y\(C\) de una sola línea reemplazada por\(2\times 2\text{ L}\)\(\text{C}\) matrices. Ya no es necesario tratar con campos y se puede utilizar un modelo de circuito.

Notas al pie

[1] En la Figura 5.2.4 (a)\(V_{1}\) y\(V_{2}\) se encuentran los voltajes en los terminales 1 y 2 de las líneas 1 y 2. También son voltajes de puerto referenciados a tierra inmediatamente debajo del terminal apropiado. \(V_{1}(x)\)y\(V_{2}(x)\) son el voltaje total en cualquier lugar de las líneas 1 y 2, respectivamente, como se muestra en la Figura 5.2.4 (b). Notación similar se utilizará para voltajes y componentes de onda viajera.

[2] También le corresponde al usuario decidir la forma de las familias a utilizar. La familia más conveniente en el análisis de microondas es usar modos pares e impares. En general, un sistema con conductores\(N\) activos (y un conductor de referencia) soportará modos\(2\times N\) (cuasi-) TEM.