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6.2: La Ecuación de Onda Rectangular

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Las ecuaciones de Maxwell se pondrán en una forma que se puede utilizar para establecer las descripciones de campo en guías de onda de placa paralela y rectangulares. Los campos EM en estas estructuras varían sinusoidalmente con respecto a la posición y el tiempo, por lo que la primera simplificación de las ecuaciones de Maxwell es usar fasores. Las condiciones de contorno son establecidas por los muros metálicos, y estos muros coinciden con el sistema de coordenadas cartesianas. Entonces las ecuaciones de Maxwell se ponen en forma de coordenadas cartesianas. Se pueden hacer simplificaciones de los campos que se relacionan con las posiciones de las paredes metálicas. Otra simplificación se realiza asumiendo que sólo puede haber propagación en la\(±z\) dirección. Cuando la onda se propaga en la\(+z\) dirección se llama onda que viaja hacia adelante, y cuando se propaga en la\(−z\) dirección se llama la onda que viaja hacia atrás.

    El desarrollo comienza con las ecuaciones de Maxwell (Ecuaciones (1.5.1) — (1.5.4)) en una región libre de fuente (\(\rho = 0\)y\(J = 0\)). Una simplificación viene de asumir un medio lineal, isotrópico y homogéneo de manera que\(\varepsilon\) y\(\mu\) son independientes del nivel de señal y son independientes de la dirección del campo y de la posición, así

    \[\begin{align}\label{eq:1}\nabla\times\overline{\mathcal{E}}&=-\frac{\partial\overline{\mathcal{B}}}{\partial t}=-\mu\frac{\partial\overline{\mathcal{H}}}{\partial t} \\ \label{eq:2}\nabla\cdot\overline{\mathcal{D}}&=0=\nabla\cdot\overline{\mathcal{E}} \\ \label{eq:3}\nabla\times\overline{\mathcal{H}}&=\frac{\partial\overline{\mathcal{D}}}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial\overline{\mathcal{E}}}{\partial t} \\ \label{eq:4} \nabla\cdot\overline{\mathcal{B}}&=0=\nabla\cdot\overline{\mathcal{H}} \end{align} \]

    Tomando el rizo de Ecuación\(\eqref{eq:1}\) lleva a

    \[\label{eq:5}\nabla\times\nabla\times\overline{\mathcal{E}}=-\nabla\times\mu\frac{\partial\overline{\mathcal{H}}}{\partial t}=-\mu\frac{\partial(\nabla\times\overline{\mathcal{H}})}{\partial t} \]

    Aplicando la identidad\(\nabla\times\nabla\times\overline{\mathcal{A}}=\nabla(\nabla\cdot\overline{\mathcal{A}}) −\nabla^{2}\overline{\mathcal{A}}\) al lado izquierdo de la Ecuación\(\eqref{eq:5}\), y reemplazando\(\nabla\times\overline{\mathcal{H}}\) con el lado derecho de la Ecuación\(\eqref{eq:3}\), la ecuación anterior se convierte

    \[\label{eq:6}-\nabla^{2}\overline{\mathcal{E}}+\nabla(\nabla\cdot\overline{\mathcal{E}})=-\mu\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon\frac{\partial\overline{\mathcal{E}}}{\partial t}\right)=-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\overline{\mathcal{E}}}{\partial t^{2}} \]

    Usando la ecuación\(\eqref{eq:2}\) esto se reduce a

    \[\label{eq:7}\nabla^{2}\overline{\mathcal{E}}=\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}(\overline{\mathcal{E}})}{\partial t^{2}} \]

    donde

    \[\label{eq:8}\nabla^{2}\overline{\mathcal{E}}=\frac{\partial^{2}\overline{\mathcal{E}}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\overline{\mathcal{E}}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\overline{\mathcal{E}}}{\partial z^{2}}=\nabla_{t}^{2}\overline{\mathcal{E}}+\frac{\partial^{2}\overline{\mathcal{E}}}{\partial z^{2}} \]

    y

    \[\label{eq:9}\nabla_{t}^{2}\overline{\mathcal{E}}=\frac{\partial^{2}\overline{\mathcal{E}}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\overline{\mathcal{E}}}{\partial y^{2}} \]

    se utiliza para los campos que se propagan en la\(±z\) dirección y el subíndice\(t\) indica el plano transversal (el\(x–y\) plano aquí). La ecuación se\(\eqref{eq:9}\) puede poner en la forma de sus componentes. Desde

    \[\label{eq:10}\overline{\mathcal{E}}=\mathcal{E}_{x}\hat{\mathbf{x}}+\mathcal{E}_{y}\hat{\mathbf{y}}+\mathcal{E}_{z}\hat{\mathbf{z}} \]

    entonces

    \[\begin{align} \nabla^{2}\overline{\mathcal{E}}&=\left(\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{x}}{\partial x^{2}}\hat{\mathbf{x}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{y}}{\partial x^{2}}\hat{\mathbf{y}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{z}}{\partial x^{2}}\hat{\mathbf{z}}\right) + \left(\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}\hat{\mathbf{x}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{y}}{\partial y^{2}}\hat{\mathbf{y}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{z}}{\partial y^{2}}\hat{\mathbf{z}}\right) \nonumber \\ \label{eq:11} &\quad +\left(\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}\hat{\mathbf{x}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{y}}{\partial z^{2}}\hat{\mathbf{y}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{z}}{\partial z^{2}}\hat{\mathbf{z}} \right) \\&=\left(\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{x}}{\partial z^{2}}\right)\hat{\mathbf{x}}+\left(\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{y}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{y}}{\partial z^{2}}\right)\hat{\mathbf{y}} \\ \label{eq:12}&\quad +\left(\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{z}}{\partial z^{2}}\right)\hat{\mathbf{z}} \end{align} \]

    y

    \[\label{eq:13}\nabla_{t}^{2}\overline{\mathcal{E}}=\left(\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{x}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{x}}{\partial y^{2}}\right)\hat{\mathbf{x}}+\left(\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{y}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{y}}{\partial y^{2}}\right)\hat{\mathbf{y}}+\left(\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\mathcal{E}_{z}}{\partial y^{2}}\right)\hat{\mathbf{z}} \]

    Invocar la forma fasora,\(\partial /\partial t\) se sustituye por\(\jmath\omega\), y con propagación solo en la\(±z\) dirección hay una supuesta\(\text{e}^{(\jmath\omega t−\gamma z)}\) dependencia de los campos. Ahora se simplifica el desarrollo introduciendo el fasor\(\overline{\mathcal{E}}\) definido de manera que

    \[\label{eq:14}\overline{\mathcal{E}}=\overline{E}\text{e}^{-\gamma z} \]

    Ahora Ecuación reduce\(\eqref{eq:7}\) aún más a

    \[\label{eq:15}\nabla^{2}\overline{E}=\left(\nabla_{t}^{2}\overline{E}+\frac{\partial^{2}\overline{E}}{\partial z^{2}}\right)=\nabla_{t}^{2}\overline{E}+\gamma^{2}\overline{E}=(\jmath\omega)^{2}\mu\varepsilon\overline{E}=-k^{2}\overline{E} \]

    donde\(k =\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\) está el número de onda (con unidades SI de\(\text{m}^{−1}\)). Reordenación de los\(\eqref{eq:15}\) rendimientos de ecuaciones

    \[\label{eq:16}\nabla_{t}^{2}\overline{E}=-(\gamma^{2}+k^{2})\overline{E} \]

    Una expresión similar se puede derivar para el campo magnético:

    \[\label{eq:17}\nabla_{t}^{2}\overline{H}=-(\gamma^{2}+k^{2})\overline{H} \]

    Las ecuaciones\(\eqref{eq:16}\) y\(\eqref{eq:17}\) se denominan ecuaciones de onda, o ecuaciones de Helmholtz, para campos fasores que se propagan en la\(z\) dirección. Ecuaciones\(\eqref{eq:16}\) y\(\eqref{eq:17}\) suelen escribirse como

    \[\begin{align}\label{eq:18}\nabla_{t}^{2}\overline{E}=-k_{c}^{2}\overline{E} \\ \label{eq:19}\nabla_{t}^{2}\overline{H}=-k_{c}^{2}\overline{H}\end{align} \]

    donde está el número de onda de corte

    \[\label{eq:20}k_{c}^{2}=\gamma^{2}+k^{2} \]

    Ecuaciones\(\eqref{eq:18}\) y\(\eqref{eq:19}\) describir los campos transversales (los campos en el\(x–y\) plano) entre las placas conductoras de la placa paralela así como dentro de las paredes de la guía de ondas rectangular teniendo una\(\text{e}^{(\jmath\omega t−\gamma z)}\) dependencia. La forma general de la solución de estas ecuaciones es una onda sinusoidal que se mueve en la\(z\) dirección. Para propagar ondas en un medio sin pérdidas,\(\gamma = \jmath\beta\), donde\(\beta\) está la constante de fase:

    \[\label{eq:21}\beta=\pm\sqrt{k^{2}-k_{c}^{2}} \]

    Si no\(\beta\) es real, lo que ocurre cuando\(|k_{c}| < |k|\), entonces una onda EM no puede propagarse y tales modos se denominan modos evanescentes. Estos son como campos de flecos. Si se generan, digamos a una discontinuidad, almacenarán energía reactiva localmente.

    Las condiciones límite, resultantes de las cargas y la corriente en las placas, limitan aún más las soluciones. La ecuación\(\eqref{eq:1}\) con la ecuación (1.A.39) se convierte

    \[\label{eq:22}\nabla\times\overline{E}=\jmath\omega\mu\overline{H} \]

    En coordenadas rectangulares,\(\overline{E}= E_{x}\hat{\mathbf{x}}+E_{y}\hat{\mathbf{y}}+E_{z}\hat{\mathbf{z}}\) y\(\overline{H}= H_{x}\hat{\mathbf{x}}+H_{y}\hat{\mathbf{y}}+H_{z}\hat{\mathbf{z}}\), y La ecuación\(\eqref{eq:22}\) se convierte en

    \[\label{eq:23}\left.\begin{array}{ll}{\frac{\partial E_{z}}{\partial y}+\gamma E_{y}=-\jmath\omega\mu H_{x}}&{-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}-\gamma E_{x}=-\jmath\omega\mu H_{y}}\\{\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=-\jmath\omega\mu H_{z}}&{}\end{array}\right\} \]

    Similarmente para\(\nabla\times\overline{H}\jmath\omega\varepsilon\overline{E}\):

    \[\label{eq:24}\left.\begin{array}{ll}{\frac{\partial H_{z}}{\partial y}+\gamma H_{y}=\jmath\omega\varepsilon E_{x}}&{-\frac{\partial H_{z}}{\partial x}-\gamma H_{x}=\jmath\omega\varepsilon E_{y}}\\{\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}=\jmath\omega\varepsilon E_{z}}&{}\end{array}\right\} \]

    Resolviendo ecuaciones\(\eqref{eq:23}\) y\(\eqref{eq:24}\) rinde las ecuaciones de onda rectangular para\(k_{c}\neq 0 (k_{c}^{2} = k^{2} +\gamma^{2}\) y si no hay pérdida\(k_{c}^{2} = \omega^{2}\mu\varepsilon −\beta^{2}\)):

    \[\label{eq:25}\left.\begin{array}{ll}{E_{x}=\frac{-1}{k_{c}^{2}}\left(\gamma\frac{\partial E_{z}}{\partial x}+\jmath\omega\mu\frac{\partial H_{z}}{\partial y}\right)}&{E_{y}=\frac{1}{k_{c}^{2}}\left(-\gamma\frac{\partial E_{z}}{\partial y}+\jmath\omega\mu\frac{\partial H_{z}}{\partial x}\right)}\\{H_{x}=\frac{1}{k_{c}^{2}}\left(-\gamma\frac{\partial H_{z}}{\partial x}+\jmath\omega\varepsilon\frac{\partial E_{z}}{\partial y}\right)}&{H_{y}=\frac{-1}{k_{c}^{2}}\left(\gamma\frac{\partial H_{z}}{\partial y}+\jmath\omega\varepsilon\frac{\partial E_{z}}{\partial z}\right)}\\{E_{z}=\frac{-\jmath}{\omega\varepsilon}\left(\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}\right)}&{H_{z}=\frac{\jmath}{\omega\mu}\left(\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\right)}\end{array}\right\} \]

    La solución para\(k_{c} = 0\) se llega por separado. Ya que no\(k_{c} = 0\) hay pérdida. También la propagación en DC es una solución y los campos de fasores en también\(\omega = 0\) serán las descripciones de campo a cualquier frecuencia. En\(\omega = 0,\:\gamma = \jmath\beta = 0\) y\(k = 0\). Ecuaciones\(\eqref{eq:23}\) — ahora\(\eqref{eq:24}\) están escritas como

    \[\label{eq:26}\left.\begin{array}{ll}{\frac{\partial E_{z}}{\partial y}+0\cdot E_{y}=0\cdot H_{x}=0}&{-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}-0\cdot E_{x}=0\cdot H_{y}=0}\\{\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=-0\cdot H_{z}=0}&{\frac{\partial H_{z}}{\partial y}+0\cdot H_{y}=0\cdot E_{x}=0}\\{-\frac{\partial H_{z}}{\partial x}-0\cdot H_{x}=0\cdot E_{y}=0}&{\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}=0\cdot E_{z}=0}\end{array}\right\} \]

    Las únicas soluciones a estos con\(\partial /\partial x = 0\) que también satisface las condiciones de contorno son eso\(E_{z} =0= H_{z} = E_{x} = H_{y}\),\(H_{y}\) y\(E_{x}\) son constantes.

    Ahora que los campos están en las formas apropiadas, se puede desarrollar la clasificación de posibles soluciones (es decir, modos) para las guías de onda de placa paralela y rectangular. En esta etapa se han hecho las siguientes simplificaciones a las ecuaciones de Maxwell para ponerlas en forma de Ecuación\(\eqref{eq:25}\)):

    • Uso de fasores
    • Restricción de propagación a las\(−z\) direcciones\(+z\) y
    • Suponiendo que\(\varepsilon\) y\(\mu\) son constantes
    • Poner las ecuaciones de onda en forma rectangular para que las condiciones de contorno establecidas por los muros metálicos se puedan aplicar fácilmente.

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