2.3: El Prototipo de Filtro de Paso Bajo

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La mayoría del diseño de filtros se basa en la síntesis de un equivalente de filtro de paso bajo llamado prototipo de paso bajo. Luego se utilizan transformaciones para corregir las impedancias reales de fuente y carga, el rango de frecuencia y el tipo de filtro deseado, como paso alto o paso de banda. Una respuesta de paso bajo ideal se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a), que muestra un coeficiente de transmisión de\(1\) hasta una frecuencia normalizada de\(1\text{ rad/sec}\). Este tipo de respuesta define lo que se llama un filtro de pared de ladrillo, que desafortunadamente no se puede realizar físicamente. En cambio, la respuesta se aproxima y especifica en términos de una plantilla de respuesta (ver Figura\(\PageIndex{1}\) (b)).

Figura\(\PageIndex{1}\): Respuesta del filtro de paso bajo.

La plantilla especifica una respuesta de banda de paso que está entre\(\beta_{1}\) y\(\beta_{2}\) en frecuencias por debajo de la frecuencia de radián de esquina (at\(\omega = 1\)), y\(\beta_{3}\) por debajo de una frecuencia de radián\(\omega′ > 1\). El filtro de paso bajo es más difícil de realizar cuanto más cerca esté la respuesta especificada de la respuesta ideal que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a), es decir, cuando

\[\label{eq:1}(\beta_{2}-\beta_{1})\to 0,\quad\beta_{3}\to 0,\quad\text{and}\quad (\omega '-1)\to 0 \]

Varios polinomios tienen características particularmente interesantes que coinciden con los requisitos de la plantilla de respuesta. Al principio puede parecer sorprendente que las funciones polinómicas puedan producir respuestas de filtro cercanas a las ideales. No obstante, como se verá, hay algo especial en estos polinomios: son soluciones naturales a condiciones extremas. Por ejemplo, el polinomio Butterworth de\(n\) orden th tiene la propiedad especial de que las primeras\(n\) derivadas\(s = 0\) son cero. Los otros polinomios también tienen propiedades extremas, y los filtros que se sintetizan usándolos también tienen propiedades extremas. Además de la propiedad máxima plana resultante de los polinomios de Butterworth, las respuestas de filtro obtenidas usando polinomios de Chebyshev tienen las faldas más empinadas (es decir, transiciones más rápidas desde la región de frecuencia donde se pasan las señales a la región donde están bloqueadas). Por lo general, es uno de estos casos extremos el más deseable.

Se obtiene una racionalización del procedimiento de síntesis de filtros enfocándose primero en el desarrollo de filtros de paso bajo normalizados que tienen una frecuencia de\(1\text{ rad/s}\) esquina e impedancia de\(1\:\Omega\) referencia. Las transformaciones transforman un prototipo de filtro de paso bajo en otro filtro que tiene la respuesta deseada. Estas transformaciones dan lugar a respuestas simétricas.