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2.5: La aproximación de paso bajo de Chebyshev

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    85176
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La aproximación máxima plana a la respuesta ideal del filtro de paso bajo es mejor cerca del origen pero no tan buena cerca del borde de la banda. Los filtros Chebyshev tienen mejores respuestas cerca del borde de la banda, con menor pérdida de inserción cerca de los bordes, pero a costa de ondas en la banda de paso. Las respuestas de reflexión y transmisión de ejemplo se muestran en la Figura 2.4.2 para un filtro de paso bajo Chebyshev de séptimo orden y sexto orden.

    2.5.1 Diseño de filtros Chebyshev

    La forma general del coeficiente de transmisión de Chebyshev es

    \[\label{eq:1}|T(s)|^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}|K(s)|^{2}} \]

    donde\(\varepsilon\) es el factor de ondulación y define la ondulación de banda de paso (PBR):

    \[\label{eq:2}\text{PBR}=1+\varepsilon^{2},\quad\text{or in decibels}\quad R_{\text{dB}}=\text{PBR}|_{\text{dB}}=10\log (1+\varepsilon^{2}) \]

    El PBR se puede observar en la respuesta de transmisión,\(|T(s)|^{2}\), en la Figura 2.4.2. En la banda de paso los picos de la respuesta del filtro sin pérdidas tienen\(|T(s)|^{2} = 1\) y los mínimos de la respuesta de ondulación tienen todos\(|T(s)|^{2} = 1/(1 +\varepsilon^{2}) = 1/\text{PBR}\). En consecuencia, los filtros Chebyshev también se conocen como filtros de paso bajo de todos los polos equiripple. También tenga en cuenta que la frecuencia de radián de esquina,\(\omega = 1\) para el prototipo de filtro de paso bajo, tiene una respuesta de transmisión (es decir, pérdida de inserción\(\text{IL}\)) de\(|T(s)|^{2} = 1/(1 + \varepsilon^{2})\), mientras que la respuesta de transmisión Butterworth estaba a media potencia en la frecuencia de esquina. Para el filtro Chebyshev, la pérdida de inserción en la frecuencia de la esquina es la ondulación:

    \[\label{eq:3}\text{IL}=1R_{\text{dB}}=10\log(1+\varepsilon^{2}) \]

    Para la aproximación de Chebyshev (filtro de paso bajo) de\(n\) orden th, el cuadrado de la función característica es

    \[\label{eq:4}|K_{n}(\omega)|^{2}=\left\{\begin{array}{ll}{\cos^{2}[n\:\cos^{-1}(\omega)]}&{-1\leq\omega\leq 1} \\ {\cosh^{2}[n\cosh^{-1}(|\omega|)]}&{\omega\leq -1,\:\omega\geq 1}\end{array}\right. \]

    que se puede expresar como un polinomio. Por ejemplo, con\(n = 3\),

    \[\label{eq:5}K_{3}(\omega)=4\omega^{3}-3\omega,\quad\text{for all }\omega \]

    (Esta equivalencia fue derivada por Pafnuty Chebyshev.) Es sorprendente que la expresión trigonométrica tenga una equivalencia polinómica tan simple. De la Ecuación (2.2.11) el coeficiente de transmisión es (para\(−1 ≤ \omega ≤ 1\))

    \[\label{eq:6}|T(\omega)|^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}\cos^{2}[n\cos^{-1}(\omega)]} \]

    y el coeficiente de reflexión es

    \[\label{eq:7}|\Gamma_{1}(\omega)|^{2}=\frac{\varepsilon^{2}\cos^{2}[n\cos^{-1}(\omega)]}{1+\varepsilon^{2}\cos^{2}[n\cos^{-1}(\omega)]} \]

    La factorización del denominador de la Ecuación\(\eqref{eq:6}\) o de la Ecuación\(\eqref{eq:7}\) arroja las siguientes raíces (de los denominadores de\(\Gamma_{1}(s)\) y\(T(s)\)):

    \[\begin{align} s_{i}&=\sin\left[\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right]\sinh\left[\frac{1}{n}\sinh^{-1}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right] \nonumber \\ \label{eq:8}&\quad +\jmath\cos\left[\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right]\cosh\left[\frac{1}{n}\sinh^{-1}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right]\quad i=1,2,\ldots ,n\end{align} \]

    Las raíces del numerador de\(\Gamma_{1}(s)\) en el\(s\) plano son

    \[\label{eq:9}s_{k}=\jmath\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}\quad k=1,2,\ldots ,n \]

    Ecuaciones\(\eqref{eq:8}\) y\(\eqref{eq:9}\) pueden ser utilizadas para obtener los coeficientes de reflexión y transmisión directamente en el\(s\) dominio.

    2.5.2 Aproximación y Recursión de Chebyshev

    La función característica de la aproximación de Chebyshev se puede obtener a partir de la fórmula de recursión,

    \[\label{eq:10}K_{n}(\omega)=2\omega K_{n-1}(\omega)-K_{n-2}(\omega) \]

    Respuesta\(1\text{ dB}\) abajo
    Ondulación \(n=3\) \(n=5\) \(n=7\) \(n=9\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(0.01\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(1.564\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(1.192\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(1.097\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(1.058\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(0.1\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(1.202\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(1.071\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(1.036\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(1.022\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(0.2\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(1.127\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(1.045\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(1.023\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(1.014\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(1\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(1.000\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(3\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(-\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(-\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(-\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(-\)
    Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo
    Ondulación \(n=3\) \(n=5\) \(n=7\) \(n=9\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(0.01\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(1.877\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(1.291\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(1.145\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(1.087\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(0.1\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(1.389\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(1.134\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(1.068\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(1.041\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(0.2\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(1.284\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(1.099\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(1.050\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(1.030\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(1\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(1.095\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(1.0338\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(1.017\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(1.010\)
    \ (1\ text {dB}\) DownRippleResponse\(3\text{ dB}\) DownRipple">\(3\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=3\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=3\) “>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=5\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=5\) “>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=7\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=7\) “>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) abajo\(n=9\) Respuesta\(3\text{ dB}\) abajo\(n=9\) “>\(1.000\)

    Cuadro\(\PageIndex{1}\): Frecuencias radianas en las que la respuesta de transmisión de\(n\) un filtro de Chebyshev es descendente\(1\text{ dB}\) y\(3\text{ dB}\) para una frecuencia de esquina\(\omega_{0} = 1\text{ rad/s}\). (Obsérvese que\(\omega_{0}\) es la frecuencia de radián a la que la respuesta de transmisión de un filtro de Chebyshev es descendente por la ondulación, ver Figura 2.4.2.)

    con

    \[\label{eq:11}K_{1}(\omega)=\omega;\qquad K_{2}(\omega)=2\omega^{2}-1 \]

    Por ejemplo, con\(n = 3\),

    \[\begin{align}\label{eq:12}K_{3}(\omega)&=2\omega K_{3-1}(\omega)-K_{3-2}(\omega) \\ &=2\omega(2\omega^{2}-1)-\omega=4\omega^{3}-2\omega-\omega=4\omega^{3}-3\omega\end{align} \nonumber \]

    2.5.3 Consideración del Ancho de

    En la frecuencia de la esquina del filtro Chebyshev la respuesta de transmisión está abajo por la cantidad de la ondulación. Esto se puede ver en la Figura 2.4.2. Sin embargo, el ancho de banda de un filtro generalmente se especifica en términos de su\(1\text{ dB}\) o\(3\text{ dB}\) ancho de banda en el que la respuesta de transmisión es inferior\(1\text{ dB}\) o\(3\text{ dB}\), respectivamente, de su respuesta máxima. Las frecuencias radianas a las que las respuestas de diversos órdenes de filtros de Chebishev están\(1\text{ dB}\) abajo y\(3\text{ dB}\) abajo se dan en la Tabla\(\PageIndex{1}\). Al escalar la frecuencia de la respuesta de Chebyshev, el filtro se puede diseñar para un ancho de\(3\text{ dB}\) banda específico\(1\text{ dB}\) o.


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