2.14: Filtros pasabanda acoplados entre resonadores

Figura\(\PageIndex{1}\): Resonadores de paso de banda.

Figura\(\PageIndex{2}\): El diseño eléctrico de un filtro de acoplamiento cruzado. Hay cuatro resonadores etiquetados\(\mathsf{1, 2, 3,}\) y\(\mathsf{4}\). Los resonadores pasabanda están acoplados por inversores de admitancia.

El método de síntesis que se ha descrito hasta ahora conduce a filtros pasabanda que son una cascada de resonadores pasabanda acoplados. Un filtro pasabanda comprende entonces pares de resonadores del tipo mostrado en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) que se acoplan usando lo que se denomina acoplamiento inter-resonador (ver Figura\(\PageIndex{1}\) (b)). Una generalización de esta arquitectura es que un filtro de paso de banda comprende resonadores acoplados que no necesitan estar en una cascada lineal. El acoplamiento de la salida de un resonador último en una cascada a la entrada de un resonador anterior se denomina acoplamiento cruzado, y un filtro que usa esta disposición se dice que es un filtro resonador de enlace cruzado o un filtro de acoplamiento cruzado. Al reutilizar los resonadores de esta manera, se requieren menos resonadores para lograr una respuesta de paso de banda especificada y el filtro puede tener un mayor rendimiento o ser más pequeño. Un ejemplo del diseño eléctrico de un filtro de acoplamiento cruzado se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

El diseño de un filtro de paso de banda de acoplamiento cruzado no es tan sistemático como el diseño de un filtro de escalera. El concepto de diseño se basa en el uso de una serie de resonadores donde cada resonador por sí mismo tiene el mismo resonante

Figura\(\PageIndex{3}\): Aproximación de filtro de paso bajo con capacitores separados por un inversor de admitancia.

Figura\(\PageIndex{4}\): Segmento de un filtro con dos resonadores. \(C_{1} = C_{2} = 2.7171\text{ pF},\: Z_{01} = Z_{02} = 67.7535\:\Omega\), y\(Z_{012} = 442.3836\:\Omega\). Los stubs son resonantes en\(f_{r} = 2f_{0}\) donde la frecuencia central del filtro\(f_{0} = 1\text{ GHz}\). Así los talones son\(\lambda /8\) largos en\(f_{0}\).

frecuencia\(f_{0}\), donde\(f_{0}\) está la frecuencia central del filtro. Las características de filtro deseadas se obtienen ajustando el acoplamiento inter-resonador, es decir, el acoplamiento entre pares de resonadores. El diseño no es un proceso de síntesis basado en una serie de transformaciones matemáticas, sino que se basa en la comprensión del impacto de cambiar el acoplamiento. El proceso de diseño se describirá ahora para un par de resonadores.

Acoplamiento de un Par de Resonadores

Un segmento de un filtro de paso de banda comprende fundamentalmente un par de resonadores de paso de banda acoplados. Esto se basa en el prototipo de paso bajo con un par de condensadores separados por un inversor de admitancia (ver Figura\(\PageIndex{3}\)). Al transformar esto en un filtro pasabanda con una frecuencia central de\(f_{0}\), cada condensador es reemplazado por un resonador como el que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a). Esto conduce a un par de resonadores, cada uno resonante en\(f_{0}\), que están acoplados por un inversor (ver Figura\(\PageIndex{1}\) (b)). El valor del inversor determina el nivel de acoplamiento de los resonadores.

Considere el circuito de la Figura\(\PageIndex{4}\), que consiste en un par de resonadores acoplados, con cada resonador resonante en\(f_{0} = 1\text{ GHz}\), y los resonadores están acoplados por el stub en serie con impedancia característica\(Z_{012}\) (es decir, el\(Z_{012}\) stub). El circuito de la Figura\(\PageIndex{4}\) es un segmento de un filtro\(1\text{ GHz}\) paso banda Chebyshev con un ancho de banda fraccionario de\(10\%\). Esta es una etapa intermedia de un diseño de filtro de paso de banda\(^{1}\) y la impedancia del sistema de este segmento de circuito es\(139.4\:\Omega\). La magnitud y fase de los\(S_{11}\) parámetros\(139.4-\Omega\: S_{21}\) y de este circuito se muestran en la Figura\(\PageIndex{5}\) (a), y la fase de\(S_{21}\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\) (b). Las características específicas para identificar aquí son los dos picos en la respuesta de fase en\(f_{1}\) y\(f_{2}\). Estas son también las frecuencias de pico de respuesta de transmisión donde\(|S_{21}| = 1\). El ancho de banda definido por\(f_{1}\) y\(f_{2}\) se llama el ancho de banda de acoplamiento\((= f_{2} − f_{1})\) o el ancho de banda del filtro (tenga en cuenta que este no es el\(3\text{-dB}\) ancho de banda del filtro). El nivel de acoplamiento determina el ancho de banda de acoplamiento. Es decir, cambiar el nivel de acoplamiento proporcionado por el\(Z_{012}\) talón cambia la posición de\(f_{1}\) y\(f_{2}\). Una interpretación de lo que está sucediendo es que al acoplar los dos resonadores, la frecuencia de resonancia de los resonadores por sí mismos,\(f_{0}\), ha sido dividida por el acoplamiento, resultando en dos picos en\(f_{1}\) y\(f_{2}\). Cuanto mayor sea el acoplamiento, mayor será el ancho de banda del acoplamiento y cuanto menor sea el acoplamiento, menor será el ancho de banda del acoplamiento. Por ejemplo, un filtro de paso de banda estrecha comprende

Figura\(\PageIndex{5}\): Respuesta de la red resonadora acoplada en la Figura\(\PageIndex{4}\).

resonadores que tienen acoplamiento de bajo nivel.

Entonces, siguiendo la elección de una arquitectura apropiada, es decir, el número de resonadores y la disposición del acoplamiento, el diseño y la optimización manual se convierte en uno de cambiar el nivel de acoplamiento entre pares de resonadores. El diseño no es tan limpio como para los filtros de escalera, pero las ventajas de un diseño con menos resonadores es una justificación convincente. Invariablemente, se requiere un ajuste manual extenso (quizás un día) del acoplamiento del filtro fabricado final. En general, este es un enfoque que vale la pena adoptar para filtros de alto valor como los utilizados en una estación base, donde se pueden justificar los altos costos unitarios resultantes del ajuste manual de filtros individuales. Este tipo de diseño de filtro se considera más adelante en [3, 18, 19, 20, 21].

Relación de Síntesis de Escalera y Acoplamiento Interresonador

La relación del diseño centrado en el acoplamiento interresonador y el diseño basado en el enfoque de síntesis de escalera se puede demostrar para un par de resonadores de la siguiente manera. Considere el circuito prototipo de paso bajo de la Figura\(\PageIndex{3}\). La impedancia de entrada de este circuito es

\[\label{eq:1}Z_{\text{in}}(s)=[sC_{1}+J_{12}^{2}/(sC_{2})]^{-1} \]

Con\(s =\jmath\omega\), los polos de\(Z_{\text{in}}\) ocurren cuando

\[\label{eq:2}J_{12}^{2}-\omega^{2}C_{1}C_{2}=0 \]

así las frecuencias radianes de los polos son

\[\label{eq:3}\omega =\pm\frac{J_{12}}{\sqrt{C_{1}C_{2}}} \]

La aplicación de la transformación de paso de banda (para que los condensadores sean reemplazados por los resonadores de la Figura\(\PageIndex{1}\) (a)) da como resultado el circuito de paso de banda de la Figura\(\PageIndex{1}\) (b). Con esta transformación la frecuencia se transforma como

\[\label{eq:4}\omega\to\alpha\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right) \]

Es decir, el coeficiente de transmisión del filtro de paso de banda es

\[\label{eq:5}T_{\text{BPF}}(\omega)=T_{\text{LPF}}\left(\alpha\left[\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right]\right) \]

donde\(T_{\text{LPF}}(\omega )\) es el coeficiente de transmisión del filtro de paso bajo a la frecuencia de radianes\(\omega\). Los polos del filtro de paso de banda están en\(\omega_{1}\), donde

\[\label{eq:6}\alpha\left(\frac{\omega_{1}}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega_{1}}\right)=+\frac{J_{12}}{\sqrt{C_{1}C_{2}}} \]

y\(\omega_{2}\), donde

\[\label{eq:7}\alpha\left(\frac{\omega_{2}}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega_{2}}\right)=-\frac{J_{12}}{\sqrt{C_{1}C_{2}}} \]

Entonces el ancho de banda de acoplamiento del filtro es

\[\label{eq:8}f_{1}-f_{2}=\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2\pi}=\frac{J_{12}\omega_{0}}{2\pi\alpha\sqrt{C_{1}C_{2}}} \]

Por lo tanto, el ancho de banda de acoplamiento puede estar directamente relacionado con los pasos en la síntesis basada en escaleras de un filtro de escalera de paso de banda.

Retraso de grupo

El retardo de grupo de una red, y en particular de un filtro, es el retraso para enviar información a través de una red. Es el tiempo requerido para que una señal portadora modulada aparezca en la salida de un filtro después de ser aplicada a la entrada del filtro. El retardo de fase es una medida similar de retardo pero no describe el tiempo que se tarda en enviar información. Describe el retraso para enviar una fase particular de una sola onda sinusoidal. El retardo de grupo es un concepto de estado estacionario y, por lo tanto, solo captura aproximadamente la respuesta transitoria de un filtro.

Si un puerto de dos puertos tiene el coeficiente de transmisión

\[\label{eq:9}T(s)=S_{21}=a+\jmath b=t\angle\varphi \]

donde\(a\) y\(b\) son sus partes reales e imaginarias,\(t\) es su magnitud, y\(\varphi\) es su fase. Con\(s =\jmath\omega\), la fase de\(T\) es

\[\label{eq:10}\varphi(\omega)=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

El retraso grupal,\(\tau_{D}\), es el negativo de la derivada de esta fase de la siguiente manera:

\[\label{eq:11}\text{Group delay }=\tau_{g}(\omega)=-\frac{d\varphi}{d\omega}=-\frac{d}{d\omega}\left[\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\right] \]

Esto se compara con el retardo de fase:

\[\label{eq:12}\text{Phase delay }=\tau_{\varphi}(\omega)=-\frac{\varphi}{\omega}=-\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

Figura\(\PageIndex{6}\): Retardo de grupo de un resonador.

Figura\(\PageIndex{7}\): Retardo de grupo de resonadores en un filtro. El inversor de acoplamiento introduce un retardo adicional.

La Figura\(\PageIndex{6}\) (c) muestra la respuesta de retardo grupal de uno de los resonadores de la Figura\(\PageIndex{4}\), donde el retardo de grupo alcanza su punto máximo a la frecuencia resonante del resonador\(f_{0}\). El pico del retardo de grupo se produce a la frecuencia resonante del resonador sin carga. A partir del examen de la fase de\(S_{21}\) (ver Figura\(\PageIndex{5}\) (b)), es claro que el retraso grupal alcanza su punto máximo muy cercano a\(f_{1}\) y\(f_{2}\). Entonces, el par de resonadores acoplados tiene dos picos en el retardo de grupo. Esto se puede ver en la Figura\(\PageIndex{7}\), que traza el retardo de grupo de un solo resonador y un par acoplado de resonadores.

Notas al pie

[1] Específicamente, estos resonadores son los resonadores más a la izquierda en un diseño desarrollado en el Capítulo 3 (ver Figura 3.4.16).