6.5: Procesos de Nacimiento-Muerte

Los procesos de nacimiento y muerte son muy similares a las cadenas de Markov de nacimiento y muerte que estudiamos anteriormente. Aquí las transiciones ocurren solo entre estados vecinos, por lo que es conveniente definir\(\lambda_i\) como\(q_{i,i+1}\) y\(μ_i\) como\(q_{i,i-1}\) (ver Figura 6.9). Dado que el número de transiciones de\(i\) a\(i + 1\) está dentro de 1 del número de transiciones de\(i + 1\) a\(i\) para cada ruta de muestra, concluimos que

\[p_i\lambda_i = p_{i+1}\mu_{i+1} \nonumber \]

Esto también se puede obtener inductivamente de (6.2.17) usando el mismo argumento que usamos anteriormente para las cadenas de Markov de nacimiento y muerte.

Figura 6.9: Proceso de nacimiento y muerte.

Definir\(\rho_i\) como\(\lambda_i/\mu_{i+1}\). Luego aplicando (6.5.1) iterativamente, obtenemos las ecuaciones de estado estacionario

\[ p_i = p_0 \prod^{i-1}_{j=0} \rho_j ; \quad i\geq 1 \nonumber \]

Podemos resolver\(p_0\) sustituyendo (6.5.2) en\(\sum_i p_i\), cediendo

\[ p_0 = \dfrac{1}{1+\sum^{\infty}_{i=1} \prod^{i-1}_{j=0} \rho_j } \nonumber \]

Para la cola M/M/1, el estado del proceso de Markov es el número de clientes en el sistema (\(i.e.\), clientes ya sea en cola o en servicio). Las transiciones de\(i\) a\(i + 1\) corresponder a llegadas, y como el proceso de arribo es Poisson de tasa\(\lambda\), tenemos\(\lambda_i=\lambda\) para todos\(i\geq 0\). Las transiciones de\(i\) a\(i-1\) corresponden a salidas, y dado que la distribución del tiempo de servicio es exponencial con parámetro\(\mu\), digamos, tenemos\(\mu_i=\mu\) para todos\(i\geq 1\). Así, (6.5.3) simplifica a\(p_0=1-\rho\), dónde\(\rho=\lambda/\mu\) y así

\[ p_i = (1-\rho) \rho^i; \qquad i\geq 0 \nonumber \]

Suponemos eso\(\rho< 1\), lo que se requiere para la recurrencia positiva. La probabilidad de que haya\(i\) o más clientes en el sistema en estado estacionario es dada entonces por\(P \{X(t)\geq i\}=\rho^i\) y el número esperado de clientes en el sistema viene dado por

\[ \mathsf{E}[X(t)] = \sum^{\infty}_{i=1} P\{X(t)\geq i\} = \dfrac{\rho}{1-\rho} \nonumber \]

El tiempo esperado que un cliente pasa en el sistema en estado estacionario ahora puede ser determinado por la fórmula de Little (Teorema 4.5.3).

\[ \mathsf{E}[\text{System time}]=\dfrac{\mathsf{E}[X(t)]}{\lambda} = \dfrac{\rho}{\lambda(1-\rho)}=\dfrac{1}{\mu-\lambda} \nonumber \]

El tiempo esperado que un cliente pasa en la cola (\(i.e.\), antes de ingresar al servicio) es solo el tiempo esperado del sistema menos el tiempo de servicio esperado, por lo que

\[ \mathsf{E}[\text{Queuing time}]=\dfrac{1}{\mu-\lambda}-\dfrac{1}{\mu} = \dfrac{\rho}{\mu-\lambda} \nonumber \]

Por último, el número esperado de clientes en la cola se puede encontrar aplicando la fórmula de Little a (6.5.7),

\[ \mathsf{E} [\text{Number in queue}] = \dfrac{\lambda\rho}{\mu-\lambda} \nonumber \]

Tenga en cuenta que el número esperado de clientes en el sistema y en la cola depende únicamente de\(\rho\), de manera que si la tasa de llegada y la tasa de servicio fueran aceleradas por el mismo factor, estos valores esperados seguirían siendo los mismos. El tiempo esperado del sistema y el tiempo de cola, sin embargo, disminuirían por el factor de los aumentos de tasa. Tenga en cuenta también que a medida que\(\rho\) se acerca 1, todas estas cantidades se acercan al\(1/(1-\rho)\) infinito Al valor\(\rho = 1\), la cadena incrustada de Markov se vuelve nula recurrente y las probabilidades de estado estacionario (tanto {\(\pi_i; i\geq 0\)} como {\(p_i; i\geq 0\)}) pueden verse como todas 0 o como que no existen.

Existen muchos tipos de sistemas de colas que pueden modelarse como procesos de nacimiento y muerte. Por ejemplo, la tarifa de llegada podría variar con el número en el sistema y la tarifa del servicio podría variar con el número en el sistema. Todos estos sistemas pueden analizarse en estado estacionario de la misma manera, pero (6.5.2) y (6.5.3) pueden volverse bastante desordenados en estos sistemas más complejos. Como ejemplo, analizamos el sistema M/m/m. Aquí hay\(m\) servidores, cada uno con tiempos de servicio distribuidos exponencialmente con parámetro\(μ\). Cuando\(i\) los clientes están en el sistema, hay\(i\) servidores que funcionan para\(i < m\) y todos los\(m\) servidores están funcionando para\(i\geq m\). Con\(i\) los servidores funcionando, la probabilidad de una salida en un tiempo incremental\(\delta\) es\(i\mu\delta\), así que\(μ_i\) es\(iμ\) para\(i < m\) y\(mμ\) para\(i\geq m\) (ver Figura 6.10).

Definir\(\rho = \lambda/(mμ)\). Entonces, en términos de nuestra notación general del proceso de nacimiento y muerte,\(\rho_i = m\rho /(i + 1)\) para\(i < m\) y\(\rho_i = \rho\) para\(i\geq m\). Desde (6.5.2), tenemos

\[ \begin{align} p_i \quad &= \quad p_0 \dfrac{m\rho}{1}\dfrac{m\rho}{2} ... \dfrac{m\rho}{i} \quad = \quad \dfrac{p_0(m\rho)^i}{i!}; \qquad i\leq m \\ p_i \quad &= \quad \dfrac{p_0\rho^im^m}{m!} ; \qquad i\geq m \end{align} \nonumber \]

Figura 6.10: M/m/M cola para\( m = 3\).

Podemos encontrar\(p_0\) sumando\(p_i\) y estableciendo el resultado igual a 1; existe una solución si\(\rho< 1\). Nada simplifica mucho en esta suma, salvo eso\(\sum_{i\geq m}p_i=p_0(\rho m)^m/[m!(1-\rho)]\), y la solución es

\[ p_0 = \left[ \dfrac{(m\rho)^m}{m!(1-\rho)} + \sum^{m-1}_{i=0} \dfrac{(m\rho)^i}{i!} \right]^{-1} \nonumber \]