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7.8: Detener procesos y detener ensayos

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    86414
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    La definición de detener los ensayos en la Sección 4.5 se aplica a los procesos arbitrarios de tiempo entero {\(Z_n; n ≥ 1\)} así como a las secuencias IID. Recordemos que\(J\) es un ensayo de detención para una secuencia {\(Z_n; n ≥ 1\)} de rv si\(\mathbb{I}_{J=n}\) es una función de\(Z_1, . . . , Z_n\) y si\(J\) es un rv.

    Si\(\mathbb{I}_{J=n}\) es una función de\(Z_1, . . . , Z_n\) y\(J\) es un rv defectuoso, entonces\(J\) se llama prueba de detención defectuosa. Para algunos de los resultados a seguir, no es importante si\(J\) es una variable aleatoria o una variable aleatoria defectuosa (\(i.e.\), si el proceso se detiene o no con probabilidad 1). Si no se especifica si\(J\) es una variable aleatoria o una variable aleatoria defectuosa, nos referimos a la prueba de detención como una prueba de detención posiblemente defectuosa; consideramos\(J\) tomar el valor\(\infty \) si el proceso no se detiene.

    Definición 7.8.1. Un proceso detenido {\(Z^∗_n;\, n ≥ 1\)} para un ensayo de detención posiblemente defectuoso\(J\) relativo a un proceso {\(Z_n; n ≥ 1\)} es el proceso para el cual\(Z^∗_n= Z_n\) para\(n ≤ J\) y\(Z^∗_n= Z_J\) para\(n > J\).

    A modo de ejemplo, supongamos que\(Z_n\) modela la fortuna de un jugador al finalizar el\(n\) th trial de algún juego, y supongamos que el jugador modifica entonces el juego al decidir dejar de apostar en algunas circunstancias dadas (\(i.e.\), en el juicio de detención). Así, después de detenerse, la fortuna permanece constante, por lo que el proceso detenido modela la fortuna del jugador a tiempo, incluido el efecto del juicio de detención.

    Como otro ejemplo, considere una caminata aleatoria con un umbral positivo y negativo, y considere que el proceso se detenga después de alcanzar o cruzar un umbral. El proceso detenido entonces permanece en ese punto más allá del umbral como artificio para simplificar el análisis. El uso de procesos detenidos es similar al artificio que empleamos en la Sección 3.5 para los tiempos de primer paso en las cadenas de Markov; recordemos que agregamos un estado de captura artificial después del paso deseado para simplificar el análisis.

    A continuación mostramos que el proceso detenido posiblemente defectuoso de una martingala es en sí mismo una martingala; la razón intuitiva es que, antes de detenerse, el proceso detenido es el mismo que el de la martingala, y, después de detenerse,\(Z_n^∗= Z_{n-1}^∗\). El siguiente teorema establece este y los resultados correspondientes para submartingales y supermartingales.

    Teorema 7.8.1. Dado un proceso estocástico {\(Z_n; n ≥ 1\)} y una prueba de detención posiblemente defectuosa\(J\) para el proceso, el proceso detenido {\(Z^∗_n; n ≥ 1\)} es una submartingala si {\(Z_n; n ≥ 1\)} es una submartingala, es una martingala si {\(Z_n; n ≥ 1\)} es una martingala, y es una supermartingala si {\(Z_n; n ≥ 1\)} es una supermartingala.

    Prueba: Primero demostramos que, para los tres casos, el proceso detenido satisface\(\mathsf{E} [| Z_n^∗|] < \infty\) para cualquier dado\(n ≥ 1\). Condicional\(J = i\) para algunos\(i < n\), tenemos\(Z^∗_n= Z_i\), entonces

    \[ \mathsf{E}[|Z_n^*| \, | J=i] =\mathsf{E}[|Z_i| \, | J=i] <\infty \text{ for each } i<n \text{ such that Pr}\{J=i\}>0 \nonumber \]

    La razón de esto es que si\(\mathsf{E} [|Z_i|| J = i] = \infty\) y\(\text{Pr}\{J = i\} > 0\), entonces\(\mathsf{E} [|Z_i|] = \infty \), contrario a la suposición de que {\(Z_n; n ≥ 1\)} es una martingala, submartingala, o super-martingala. Del mismo modo\(J ≥ n\), para, tenemos\(Z^∗_n= Z_n\) tan

    \[ \mathsf{E}[|Z_n^*| \, |J\geq n] = \mathsf{E}[|Z_n| \, |J\geq n] < \infty \quad \text{if Pr}\{J\geq n\}>0 \nonumber \]

    Promedio,

    \[ \mathsf{E}[|Z^*_n|] = \sum^{n-1}_{i=1}\mathsf{E}[|Z^*_n| \, |J=i] \text{Pr}\{J=i \} + \mathsf{E}[|Z^*_n| \, |J\geq n] \text{Pr} \{J \geq n \} <\infty \nonumber \]

    A continuación supongamos que {\(Z_n; n ≥ 1\)} es una submartingala. Para cualquier dado\(n > 1\), considere una secuencia de muestra inicial arbitraria (\(Z_1 = z_1, Z_2 = z_2, . . . , Z_{n−1} = z_{n−1}\)). Tenga en cuenta que\(z_1\) especifica si o no\(J = 1\). De igual manera, (\(z_1, z_2\)) especifica si o no\(J = 2\), y así sucesivamente hasta (\(z_1, . . . , z_{n−1}\)), que especifica si o no\(J = n − 1\). Así (\(z_1, . . . , z_{n−1}\)) especifica el valor de muestra de\(J\) for\(J ≤ n − 1\) y especifica que de\(J ≥ n\) otra manera.

    Para\((z_1, . . . , z_{n−1})\) tal que\(\mathbb{I}_{J≥n} < n\), tenemos\(z_n^∗= z_{n-1}^∗\). Para todos esos valores de muestra,

    \[ \mathsf{E}[Z_n^* | Z^*_{n-1}=z^*_{n-1},...,Z^*_1=z^*_1] = z^*_{n-1} \nonumber \]

    Para el caso restante, donde\((z_1, . . . , z_{n−1})\) es tal que\(\mathbb{I}_{J≥n} ≥ n\), tenemos\(z^∗_n= z_n\). Así

    \[ \mathsf{E} [Z_n^*|Z^*_{n-1}=z^*_{n-1},...,Z^*_1=z^*_1] \geq z^*_{n-1} \nonumber \]

    El mismo argumento funciona para martingales y supermartingales al reemplazar la desigualdad en (7.8.2) por igualdad para el caso martingala y la desigualdad opuesta para el caso de la supermartingala.

    \( \square \)

    Teorema 7.8.2. Dado un proceso estocástico {\(Z_n; n ≥ 1\)} y un ensayo de detención posiblemente defectuoso\(J\) para el proceso, el proceso detenido {\(Z^∗_n; n ≥ 1\)} satisface las siguientes condiciones para todos\(n ≥ 1\) si {\(Z_n; n ≥ 1\)} es una submartingala, martingala o supermartingala respectivamente:

    \[ \begin{align} &\mathsf{E}[Z_1] \quad \leq \quad \mathsf{E}[Z^*_n] \quad \leq \quad \mathsf{E}[Z_n] \qquad (\text{submartingale}) \\ &\mathsf{E}[Z_1] \quad = \quad \mathsf{E}[Z^*_n] \quad = \quad \mathsf{E}[Z_n] \qquad (\text{martingale}) \\ &\mathsf{E}[Z_1] \quad \geq \quad \mathsf{E}[Z^*_n] \quad \geq \quad \mathsf{E}[Z_n] \qquad (\text{supermartingale}) \end{align} \nonumber \]

    Prueba: Dado que un proceso no puede detenerse antes de la época 1,\(Z_1 = Z_1^∗\) en todos los casos. Primero considere el caso en el que {\(Z_n; n ≥ 1\)} es una submartingala. El teorema 7.8.1 muestra que {\(Z_n^∗; n ≥ 1\)} es una submartingala, y de (7.7.5),\(\mathsf{E} [Z_1] ≤ \mathsf{E} [Z^∗_n]\) para todos\(n ≥ 1\). Esto establece la primera mitad de (7.8.3) y a continuación probamos la segunda mitad. Primera condición en el conjunto de secuencias para las que el segmento inicial\((z_1, . . . , z_i)\) especifica eso\(\mathbb{I}_{J≥n} = i\) para cualquier dado\(i < n\). Entonces\(\mathsf{E} [Z^∗_n] = z_i\). De (7.7.3),\(\mathsf{E} [Z_n] ≥ z_i\), acreditando (7.8.3) para este caso. Para aquellas secuencias que no tengan tal segmento inicial,\( Z_n^∗ = Z_n\), estableciendo (7.8.3) en ese caso. El promedio sobre estos dos casos da (7.8.3) en general.

    Por último, si {\(Z_n; n ≥ 1\)} es una supermartingala, entonces {\(−Z_n; n ≥ 1\)} es una submartingala, verificando (7.8.5). Dado que una martingala es tanto una submartingala como una supermartingala, (7.8.4) sigue y la prueba está completa.

    Considere una prueba de detención (no defectuosa)\(J\) para una martingala {\(Z_n; n ≥ 1\)}. Como el proceso detenido también es una martingala, tenemos

    \[ \mathsf{E}[Z^*_n] = \mathsf{E}[Z^*_1] = \mathsf{E}[Z_1]; n\geq 1 \nonumber \]

    Ya que\(Z^∗_n= Z_J\) para todos\(n ≥ J\) y ya\(J\) es finito con probabilidad 1, vemos que\(\lim_{n→\infty } Z^∗_n= Z_J\) con probabilidad 1. Desafortunadamente, en general,\(\mathsf{E} [Z_J ]\) es desigual a\(\lim_{n→\infty} \mathsf{E} [Z^∗_n] = \mathsf{E} [Z_1]\). Un ejemplo en el que esto ocurre es el producto binario martingala in (7.6.6). Tomando el juicio de detención\(J\) para ser el más pequeño\(n\) para el cual\(Z_n = 0\), tenemos\(Z_J = 0\) con probabilidad 1, y así\(\mathsf{E} [Z_J ] = 0\). Pero\(Z_n^∗= Z_n\) para todos\( n\), y\(\mathsf{E} [Z_n^∗] = 1\) para todos\(n\). El problema aquí es que, dado que el proceso no se ha detenido por el tiempo\(n\),\(Z_n\) y\(Z_n^∗\) cada uno tiene el valor\(2^n\). Afortunadamente, en la mayoría de las situaciones, este tipo de comportamiento extraño no ocurre y\(\mathsf{E} [Z_J ] = \mathsf{E} [Z_1]\). Para obtener una mejor comprensión de cuándo\(\mathsf{E} [Z_J ] = \mathsf{E} [Z_1]\), tenga en cuenta que para cualquier\(n\), tenemos

    \[ \begin{align} \mathsf{E}[Z^*_n] \quad &= \quad \sum^n_{i=1} \mathsf{E}[Z^*_n| J=i ] \text{Pr} \{ J=i\} +\mathsf{E}[Z^*_n|J>n] \text{Pr}\{ J>n \} \\ &= \quad \sum^n_{i=1} \mathsf{E}[Z_J|J=i] \text{Pr} \{J=i \}+\mathsf{E} [Z_n |J>n] \text{Pr} \{J>n \} \end{align} \nonumber \]

    El lado izquierdo de esta ecuación es\(\mathsf{E} [Z_1]\) para todos\(n\). Si el término final de la derecha converge a 0 as\(n →\infty \), entonces la suma debe converger a\(\mathsf{E} [Z_1]\). Si\(\mathsf{E} [|Z_J |] < \infty\), entonces la suma también converge a\(\mathsf{E} [Z_J ]\). Sin la condición\(\mathsf{E} [|Z_J |] < \infty \), la suma podría consistir en términos alternos que convergen, pero cuyos valores absolutos no convergen, en cuyo caso\(\mathsf{E} [Z_J ]\) no existe (ver Ejercicio 7.21 para un ejemplo). Así hemos establecido el siguiente lema.

    Lema 7.8.1. Que\(J\) sea un juicio de detención para una martingala {\(Z_n; n ≥ 1\)}. Entonces\(\mathsf{E} [Z_J ] = \mathsf{E} [Z_1]\) si y solo si

    \[ \lim_{n\rightarrow \infty} \mathsf{E}[Z_n| J>n] \text{Pr} \{J>n \} = 0 \quad \text{and} \quad \mathsf{E}[|Z_J|]>\infty \nonumber \]

    Ejemplo 7.8.1 (Caminatas aleatorias con umbrales) Recordemos la función generadora producto martingala de (7.6.7) en la que {\(Z_n = \exp [rS_n − n\gamma (r)]; n ≥ 1\)} es una martingala definida en términos de la caminata aleatoria {\(S_n = X_1+... +X_n; n ≥ 1\)}. Desde (7.8.4), tenemos\(\mathsf{E} [Z_n] = \mathsf{E} [Z_1]\), y desde entonces\(\mathsf{E} [Z_1] = \mathsf{E} [\exp \{ rX_1 − \gamma (r)\} ] = 1\), tenemos\(\mathsf{E} [Z_n] = 1\) para todos\(n\). Además, para cualquier prueba de detención posible defectuosa\(J\), tenemos\(\mathsf{E} [Z_n^∗] = \mathsf{E} [Z_1] = 1\). Si\( J\) es un ensayo de detención no defectuoso, y si (7.8.9) se mantiene, entonces

    \[ \mathsf{E}[Z_J] = \mathsf{E} [\exp \{ rS_J-J \gamma \ref{r} \} ] = 1 \nonumber \]

    Si hay dos umbrales, uno at\( α> 0\), y el otro at\(β< 0\), y la regla de detención es detenerse cuando se cruza cualquiera de los umbrales, entonces (7.8.10) es solo la identidad de Wald, (7.5.1).

    Lo bueno del enfoque aquí es que también se aplica naturalmente a otras reglas de detención. Por ejemplo, para algún entero dado\( n\), deja\(J_{n+}\) ser el entero más pequeño\(i ≥ n\) para el cual\(S_i ≥ α\) o\(S_i ≤ β\). Entonces, en el límite\(β → −\infty, \text{ Pr}\{S_{J_n+} ≥ α\} = \text{Pr}\{\bigcup^{\infty}_{i=n}(S_i ≥ α)\}\). Asumiendo\(\overline{X} < 0\), podemos encontrar un límite superior a\(\text{Pr}\{S_{J_n+} ≥ α\}\) para cualquiera\(r > 0\) y\(\gamma \ref{r} ≤ 0\) (\(i.e.\), for\(0 < r ≤ r^∗\)) por los siguientes pasos

    \[ \begin{align} &1=\mathsf{E}[\exp \{rS_{J_n+} - J_{n+}\gamma(r)\}] \geq \text{Pr}\{ S_{J_n+} \geq \alpha \} \exp [r\alpha - n\gamma(r) ] \nonumber \\ &\text{Pr} \{ S_{J_n+} \geq \alpha \} \leq \exp [-r\alpha +n\gamma (r)]; \qquad 0 \leq r \leq r^* \end{align} \nonumber \]

    Este es casi el mismo resultado que (7.5.21), excepto que es ligeramente más fuerte; (7.5.21) limitó la probabilidad de que el primer cruce de umbral cruzara\(α\) en alguna época\(i ≥ n\), mientras que esto incluye la posibilidad de que\(S_m ≥ α\) y\(S_i ≥ α\) para algunos\(m < n ≤ i\).


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