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3.3: Convolución de Tiempo Continuo

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    Introducción

    La convolución, uno de los conceptos más importantes en ingeniería eléctrica, se puede utilizar para determinar la salida que produce un sistema para una señal de entrada dada. Se puede demostrar que un sistema lineal invariante en el tiempo se caracteriza completamente por su respuesta impulsiva. La propiedad de tamizado de la función de impulso de tiempo continuo nos dice que la señal de entrada a un sistema puede representarse como una integral de impulsos escalados y desplazados y, por lo tanto, como el límite de una suma de impulsos unitarios aproximados escalados y desplazados. Así, por linealidad, parecería razonable calcular la señal de salida como el límite de una suma de respuestas de impulso unitarias escaladas y desplazadas y, por tanto, como la integral de una respuesta de impulso escalada y desplazada. Eso es exactamente lo que logra la operación de convolución. Por lo tanto, la convolución se puede utilizar para determinar la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo a partir del conocimiento de la entrada y la respuesta al impulso.

    Convolución y Convolución Circular

    Convolución

    Definición de Operación

    Convolución de tiempo continuo es una operación en dos señales de tiempo continuas definidas por la integral

    \[(f * g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    para todas las señales\(f\),\(g\) definidas en\(\mathbb{R}\). Es importante señalar que la operación de convolución es conmutativa, es decir, que

    \[f^{*} g=g^{*} f \nonumber \]

    para todas las señales\(f\),\(g\) definidas en\(\mathbb{R}\). Así, la operación de convolución podría haberse expresado con la misma facilidad usando la definición equivalente

    \[\left(f^{*} g\right)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) g(\tau) d \tau \nonumber \]

    para todas las señales\(f\),\(g\) definidas en\(\mathbb{R}\). Convolución tiene varias otras propiedades importantes no enumeradas aquí pero explicadas y derivadas en un módulo posterior.

    Definición Motivación

    La definición de operación anterior ha sido elegida para ser particularmente útil en el estudio de sistemas lineales invariantes en el tiempo. Para ver esto, considere un sistema lineal invariante en el tiempo\(H\) con respuesta de impulso unitario\(h\). Dada una señal de entrada del sistema,\(x\) nos gustaría calcular la señal de salida del sistema\(H(x)\). Primero, observamos que la entrada se puede expresar como la convolución

    \[x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    por la propiedad de tamizado de la función de impulso unitario. Escribiendo esta integral como límite de una suma,

    \[x(t)=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \sum_{n} x(n \Delta) \delta_{\Delta}(t-n \Delta) \Delta \nonumber \]

    donde

    \ [\ delta_ {\ Delta} (t) =\ left\ {\ begin {array} {cc}
    1/\ Delta & 0\ leq t<\ Delta\\
    0 &\ text {de lo contrario}
    \ end {array}\ derecha. \ nonumber\]

    aproxima las propiedades de\(\delta(t)\). Por linealidad

    \[H x(t)=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \sum_{n} x(n \Delta) H \delta_{\Delta}(t-n \Delta) \Delta \nonumber \]

    que evaluado como integral da

    \[H x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) H \delta(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    Dado que\(H \delta(t-\tau)\) es la respuesta de impulso de la unidad desplazada\(h(t−\tau)\), esto da el resultado

    \[H x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau=\left(x^{*} h\right)(t) \nonumber \]

    De ahí que la convolución se haya definido de tal manera que la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo viene dada por la convolución de la entrada del sistema con la respuesta de impulso de la unidad del sistema.

    Intuición Gráfica

    A menudo es útil poder visualizar el cálculo de una convolución en términos de procesos gráficos. Consideremos la convolución de dos funciones\(f\),\(g\) dadas por

    \[(f * g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau=\int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) g(\tau) d \tau \nonumber \]

    El primer paso para comprender gráficamente la operación de convolución es trazar cada una de las funciones. A continuación, se debe seleccionar una de las funciones, y su trazado se refleja a través del\(\tau=0\) eje. Para cada real\(t\), esa misma función debe ser desplazada a la izquierda por\(t\). Luego se construye el producto de las dos parcelas resultantes. Finalmente, se calcula el área bajo la curva resultante.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Recordemos que la respuesta de impulso para el voltaje del condensador en un circuito RC en serie viene dada por

    \[h(t)=\frac{1}{R C} e^{-t / R C} u(t), \nonumber \]

    y considerar la respuesta a la tensión de entrada

    \[x(t) = u(t) . \nonumber \]

    Sabemos que la salida para este voltaje de entrada viene dada por la convolución de la respuesta de impulso con la señal de entrada

    \[y(t)=x(t) * h(t) \nonumber \]

    Nos gustaría calcular esta operación comenzando de una manera que minimice la complejidad algebraica de la expresión. Por lo tanto, dado que\(x(t)=u(t)\) es la más simple de las dos señales, es deseable seleccionarla para inversión de tiempo y desplazamiento. Así, nos gustaría calcular

    \[y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{R C} e^{-\tau / R C} u(\tau) u(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    Las funciones de paso se pueden utilizar para simplificar aún más esta integral al reducir la región de integración a la región distinta de cero del integrando. Por lo tanto,

    \[y(t)=\int_{0}^{\max \{0, t\}} \frac{1}{R C} e^{-\tau / R C} d \tau \nonumber \]

    Por lo tanto, la salida es

    \ [y (t) =\ left\ {\ begin {array} {cc}
    0 & t\ leq 0\\
    1-e^ {-t/R C} & t>0
    \ end {array}\ right. \ nonumber\]

    que también se puede escribir como

    \[y(t)=\left(1-e^{-t / R C}\right) u(t). \nonumber \]

    Convolución Circular

    La convolución circular de tiempo continuo es una operación en dos señales de tiempo continuas periódicas o de longitud finita definidas por la integral

    \[(f * g)(t)=\int_{0}^{T} \hat{f}(\tau) \widehat{g}(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    para todas las señales\(f\),\(g\) definidas en\(\mathbb{R}[0, T]\) donde\(\hat{f}\),\(\hat{g}\) son extensiones periódicas de\(f\) y\(g\). Es importante señalar que la operación de convolución circular es conmutativa, es decir, que

    \[f^{*} g=g^{*} f \nonumber \]

    para todas las señales\(f\),\(g\) definidas en\(\mathbb{R}[0, T]\). Así, la operación de convolución circular podría haberse expresado con la misma facilidad usando la definición equivalente

    \[(f * g)(t)=\int_{0}^{T} \hat{f}(t-\tau) \hat{g}(\tau) d \tau \nonumber \]

    para todas las señales\(f\),\(g\) definidas en\(\mathbb{R}[0, T]\) donde\(\hat{f}\),\(\hat{g}\) son extensiones periódicas de\(f\) y\(g\). La convolución circular tiene varias otras propiedades importantes no enumeradas aquí pero explicadas y derivadas en un módulo posterior.

    Alternativamente, la convolución circular de tiempo continuo se puede expresar como la suma de dos integrales dada por

    \[(f * g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d \tau+\int_{t}^{T} f(\tau) g(t-\tau+T) d \tau \nonumber \]

    para todas las señales\(f\),\(g\) definidas en\(\mathbb{R}[0, T]\).

    Ejemplos significativos de computación de circunvoluciones circulares de tiempo continuas en el dominio del tiempo implicarían complicadas manipulaciones algebraicas que se ocupan del comportamiento envolvente, lo que en última instancia sería más confuso que útil. Por lo tanto, ninguno se proporcionará en esta sección. Sin embargo, las circunvoluciones circulares de tiempo continuo se calculan más fácilmente usando herramientas de dominio de frecuencia como se mostrará en la sección de series de tiempo continuo de Fourier.

    Definición Motivación

    La definición de operación anterior ha sido elegida para ser particularmente útil en el estudio de sistemas lineales invariantes en el tiempo. Para ver esto, considere un sistema lineal invariante en el tiempo\(H\) con respuesta de impulso unitario\(h\). Dada una señal de entrada finita o periódica del sistema,\(x\) nos gustaría calcular la señal de salida del sistema\(H(x)\). Primero, observamos que la entrada se puede expresar como la convolución circular

    \[x(t)=\int_{0}^{T} \widehat{x}(\tau) \hat{\delta}(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    por la propiedad de tamizado de la función de impulso unitario. Escribiendo esta integral como límite de una suma,

    \[x(t)=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \sum_{n} \widehat{x}(n \Delta) \hat{\delta}_{\Delta}(t-n \Delta) \Delta \nonumber \]

    donde

    \ [\ delta_ {\ Delta} (t) =\ left\ {\ begin {array} {cc}
    1/\ Delta & 0\ leq t<\ Delta\\
    0 &\ text {de lo contrario}
    \ end {array}\ derecha. \ nonumber\]

    aproxima las propiedades de\(\delta(t)\). Por linealidad

    \[H x(t)=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \sum_{n} \widehat{x}(n \Delta) H \hat{\delta}_{\Delta}(t-n \Delta) \Delta \nonumber \]

    que evaluado como integral da

    \[H x(t)=\int_{0}^{T} \widehat{x}(\tau) H \widehat{\delta}(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    Dado que\(H \delta(t-\tau)\) es la respuesta de impulso de la unidad desplazada\(h(t−\tau)\), esto da el resultado

    \[H x(t)=\int_{0}^{T} \hat{x}(\tau) \hat{h}(t-\tau) d \tau=(x * h)(t). \nonumber \]

    De ahí que la convolución circular se haya definido de tal manera que la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo viene dada por la convolución de la entrada del sistema con la respuesta de impulso de la unidad del sistema.

    Intuición Gráfica

    A menudo es útil poder visualizar el cálculo de una convolución circular en términos de procesos gráficos. Considere la convolución circular de dos funciones de longitud finita\(f\),\(g\) dadas por

    \[\left(f^{*} g\right)(t)=\int_{0}^{T} \hat{f}(\tau) \hat{g}(t-\tau) d \tau=\int_{0}^{T} \hat{f}(t-\tau) \hat{g}(\tau) d \tau \nonumber \]

    El primer paso para comprender gráficamente la operación de convolución es trazar cada una de las extensiones periódicas de las funciones. A continuación, se debe seleccionar una de las funciones, y su trazado se refleja a través del\(\tau=0\) eje. Para cada uno\(t \in \mathbb{R}[0, T]\), esa misma función debe ser desplazada a la izquierda por\(t\). Luego se construye el producto de las dos parcelas resultantes. Finalmente, se calcula el área bajo la curva resultante\(\mathbb{R}[0, T]\) encendida.

    Demostración de convolución

    ConvolutionDemo
    Figura\(\PageIndex{1}\): Interactuar (cuando esté en línea) con un CDF de Mathematica demostrando Convolución. Para Descargar, haga clic con el botón derecho y guarde el destino como .cdf.

    Resumen de convolución

    La convolución, uno de los conceptos más importantes en ingeniería eléctrica, se puede utilizar para determinar la señal de salida de un sistema lineal invariable en el tiempo para una señal de entrada dada con conocimiento de la respuesta de impulso unitario del sistema. La operación de convolución de tiempo continuo se define de tal manera que realiza esta función para señales y sistemas de tiempo continuo de longitud infinita. La operación de convolución circular de tiempo continuo se define de tal manera que realiza esta función para señales de longitud finita y tiempo continuo periódico. En cada caso, la salida del sistema es la convolución o convolución circular de la señal de entrada con la respuesta de impulso unitario.


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