3.4: Propiedades de la Convolución de Tiempo Continuo
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Introducción
Ya hemos demostrado el importante papel que juega la convolución de tiempo continuo en el procesamiento de señales. Esta sección proporciona discusión y prueba de algunas de las propiedades importantes de la convolución de tiempo continuo. Se pueden mostrar propiedades análogas para convolución circular de tiempo continuo con modificación trivial de las pruebas proporcionadas, excepto cuando se indique explícitamente lo contrario.
Propiedades de Convolución de Tiempo Continuo
Asociatividad
La operación de convolución es asociativa. Es decir, para todas las señales de tiempo continuas se mantiene\(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) la siguiente relación.
\[x_{1} *\left(x_{2} * x_{3}\right)=\left(x_{1} * x_{2}\right) * x_{3} \nonumber \]
Para mostrar esto, tenga en cuenta que
\ [\ begin {align}
\ izquierda (x_ {1} *\ izquierda (x_ {2} * x_ {3}\ derecha)\ derecha) (t) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1}\ izquierda (\ tau_ {1}\ derecha) x_ {2}\ izquierda (\ tau_ {2}\ derecha) x_ {3}\ izquierda (\ izquierda (t-\ tau_ {1}\ derecha) -\ tau_ {2}\ derecha) d\ tau_ {2} d\ tau_ {1}\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\\ infty}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1}\ izquierda (\ tau_ {1}\ derecha) x_ {2}\ izquierda (\ izquierda (\ tau_ {1} +\ tau_ {2}\ derecha) -\ tau_ {1}\ derecha) x_ {3}\ izquierda (t-\ izquierda (\ tau_ {1} +\ _ {2}\ derecha)\ derecha) d\ tau_ {2} d\ tau_ {1}\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1}\ izquierda (\ tau_ {1}\ derecha) x_ {2}\ izquierda (\ tau_ {3} -\ tau_ {1}\ derecha) x_ {3}\ izquierda (t-\ tau_ {3}\ derecha) d\ tau_ {1} d\ tau_ {3}\ nonumber\\
&=\ izquierda (\ izquierda (x_ {1} * x_ {2}\ derecha) * x_ {3}\ derecha) (t)
\ end {align}\ nonumber\ er\]
demostrando la relación como se desea a través de la sustitución\(\tau_{3}=\tau_{1}+\tau_{2}\).
Conmutatividad
La operación de convolución es conmutativa. Es decir, para todas las señales de tiempo continuas\(x_1\),\(x_2\) se mantiene la siguiente relación.
\[x_{1} * x_{2}=x_{2} * x_{1} \nonumber \]
Para mostrar esto, tenga en cuenta que
\ [\ begin {alineado}
\ izquierda (x_ {1} * x_ {2}\ derecha) (t) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1}\ izquierda (\ tau_ {1}\ derecha) x_ {2}\ izquierda (t-\ tau_ {1}\ derecha) d\ tau_ {1}\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1}\ izquierda (t-\ tau_ {2}\ derecha) x_ {2}\ izquierda (\ tau_ {2}\ derecha) d\ tau_ {2}\
&=\ izquierda (x_ {2} * x _ {1}\ derecha) (t)
\ final {alineado}\ nonumber\]
demostrando la relación como se desea a través de la sustitución\(\tau_{2}=t-\tau_{1}\).
Distributividad
La operación de convolución es distributiva sobre la operación de adición. Es decir, para todas las señales de tiempo continuas\(x_1\),\(x_2\),\(x_3\) se mantiene la siguiente relación.
\[x_{1} *\left(x_{2}+x_{3}\right)=x_{1} * x_{2}+x_{1} * x_{3} \nonumber \]
Para mostrar esto, tenga en cuenta que
\ [\ begin {align}
\ izquierda (x_ {1} *\ izquierda (x_ {2} +x_ {3}\ derecha)\ derecha) (t) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (\ tau)\ izquierda (x_ {2} (t-\ tau) +x_ {3} (t-\ tau)\ derecha) d\ tau\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (\ tau) x_ {2} (t-\ tau) d\ tau+\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (\ tau) x_ {3} (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
&=\ izquierda (x_ {1} * x_ {2} +x_ {1} * x_ {3}\ derecha) (t)
\ end {align}\ nonumber\]
demostrando la relación como se desee.
Multilinealidad
La operación de convolución es lineal en cada una de las dos variables de función. La aditividad en cada variable es el resultado de la distributividad de la convolución sobre la adición. La homogeneidad del orden uno en cada variable resulta del hecho de que para todas las señales\(x_1\) de tiempo continuas\(x_2\) y escalares\(a\) se mantiene la siguiente relación.
\[a\left(x_{1} * x_{2}\right)=\left(a x_{1}\right) * x_{2}=x_{1} *\left(a x_{2}\right) \nonumber \]
Para mostrar esto, tenga en cuenta que
\ [\ begin {align}
\ left (a\ left (x_ {1} * x_ {2}\ right)\ right) (t) &=a\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (\ tau) x_ {2} (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ izquierda (a x_ {1} (\ tau)\ derecha) x_ {2} (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
&=\ izquierda (\ izquierda (a x_ {1}\ derecha) * x_ {2}\ derecha) (t)\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (\ tau)\ izquierda (a x_ {2} (t-\ tau)\ derecha) d\ tau\ nonumber\\
&=\ izquierda (x_ {1} *\ izquierda (a x_ {2}\ derecha)\ derecha) (t)
\ fin {align}\ nonumber\]
demostrando la relación como se desee.
Conjugación
La operación de convolución tiene la siguiente propiedad para todas las señales de tiempo continuas\(x_1\),\(x_2\).
\[\overline{x_{1}^{*} x_{2}}=\overline{x_{1}} * \overline{x_{2}} \nonumber \]
Para mostrar esto, tenga en cuenta que
\ [\ begin {align}
(\ overline {x_ {1} * x_ {2}}) (t) &=\ overline {\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (\ tau) x_ {2} (t-\ tau) d\ tau}\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {infty}}\ overline {x_ {1} (\ tau) x_ {2} (t-\ tau)} d\ tau\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ overline {x_ {1}} (\ tau)\ overline {x_ {2}} (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
& =(\ overline {x_ {1}} *\ overline {x_ {2}}) (t)
\ end {align}\ nonumber\]
demostrando la relación como se desee.
Cambio de tiempo
La operación de convolución tiene la siguiente propiedad para todas las señales de tiempo continuas\(x_1\),\(x_2\) donde\(S_T\) está el operador de cambio de tiempo.
\[S_{T}\left(x_{1} * x_{2}\right)=\left(S_{T} x_{1}\right) * x_{2}=x_{1} *\left(S_{T} x_{2}\right) \nonumber \]
Para mostrar esto, tenga en cuenta que
\ [\ begin {align}
S_ {T}\ izquierda (x_ {1} * x_ {2}\ derecha) (t) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {2} (\ tau) x_ {1} ((t-T) -\ tau) d\ tau\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {^\ infty} x_ {2} (\ tau) S_ {T} x_ {1} (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
&=\ izquierda (\ izquierda (S_ {T} x_ {1}\ derecha) * x_ {2}\ derecha) (t)\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (\ tau) x_ {2} ((t-T) -\ tau) d\ tau\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (\ tau) S_ {T} x_ {2} (t-\ infty} tau) d\ tau\ nonumber\\
&=x_ {1} *\ izquierda (S_ {T} x_ {2}\ derecha) (t)
\ end {align}\ nonumber\]
demostrando la relación como se desee.
Diferenciación
La operación de convolución tiene la siguiente propiedad para todas las señales de tiempo continuas\(x_1\),\(x_2\).
\[\frac{d}{d t}\left(x_{1} * x_{2}\right)(t)=\left(\frac{d x_{1}}{d t} * x_{2}\right)(t)=\left(x_{1} * \frac{d x_{2}}{d t}\right)(t) \nonumber \]
Para mostrar esto, tenga en cuenta que
\ [\ begin {align}
\ frac {d} {d t}\ izquierda (x_ {1} * x_ {2}\ derecha) (t) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {2} (\ tau)\ frac {d} {d t} x_ {1} (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
=\ izquierda (\ frac {d x_ {1}} {d t} * x_ {2}\ derecha) (t)\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (\ tau)\ frac {d} {d t} x _ {2} (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
&=\ izquierda (x_ {1} *\ frac {d x_ {2}} {d t}\ derecha) (t)
\ end {align}\ nonumber\]
demostrando la relación como se desee.
Convolución de Impulso
La operación de convolución tiene la siguiente propiedad para todas las señales de tiempo continuas\(x\) donde\(delta\) está el funciton Delta Dirac.
\[x * \delta=x \nonumber \]
Para mostrar esto, tenga en cuenta que
\ [\ begin {align}
(x *\ delta) (t) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x (\ tau)\ delta (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
&=x (t)\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ delta (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
=x (t)
\ end {align}\ nonumber\]
demostrando la relación como se desee.
Ancho
La operación de convolución tiene la siguiente propiedad para todas las señales de tiempo continuas\(x_1\),\(x_2\) donde Duration (\(x\)) da la duración de una señal\(x\).
\[ \text{Duration} \left(x_{1} * x_{2}\right)= \text{ Duration} \left(x_{1}\right)+ \text{ Duration} \left(x_{2}\right) \nonumber \]
Para mostrar esto de manera informal, tenga en cuenta que\((x_1*x_2)(t)\) es distinto de cero para todos los tt para los cuales hay un\(\tau\) tal que\(x_1(\tau)x_2(t-\tau)\) es distinto de cero. Al ver una función como invertida y deslizándose más allá de la otra, es fácil ver que tal\(\tau\) existe para todos\(t\) en un intervalo de longitud Duración (\(x_1\)) + Duración (\(x_2\)). Tenga en cuenta que esto no siempre es cierto para convolución circular de longitud finita y señales periódicas ya que entonces hay una duración máxima posible dentro de un periodo.
Resumen de propiedades de convolución
Como se puede ver la operación de convolución de tiempo continuo tiene varias propiedades importantes que han sido listadas y probadas en este módulo. Con ligeras modificaciones a las pruebas, la mayoría de estas también se extienden a la convolución circular de tiempo continuo y los casos en que ocurren excepciones se han señalado anteriormente. Estas identidades serán útiles a tener en cuenta a medida que el lector continúe estudiando señales y sistemas.