4.8: Resolver ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales

Introducción

El enfoque para resolver ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales es encontrar la forma general de todas las soluciones posibles a la ecuación y luego aplicar una serie de condiciones para encontrar la solución adecuada. Los dos tipos principales de problemas son los problemas de valor inicial, que involucran restricciones en la solución en varios puntos consecutivos, y los problemas de valor límite, que involucran restricciones en la solución en puntos no consecutivos.

El número de condiciones iniciales necesarias para una ecuación de diferencia de orden\(N\) th, que es el orden de la diferencia de orden más alto o el parámetro de retardo más grande de la salida en la ecuación\(N\), es, y siempre se garantiza una solución única si se suministran. Los problemas de valor límite pueden ser un poco más complicados y no necesariamente tendrán una solución única o incluso una solución para un conjunto dado de condiciones. Así, esta sección se centrará exclusivamente en los problemas de valor inicial.

Resolución de ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales

Considere alguna ecuación de diferencia de coeficiente constante lineal dada por\(Ay(n)=f(n)\), en la que\(A\) es un operador de diferencia de la forma

\[A=a_{N} D^{N}+a_{N-1} D^{N-1}+\ldots+a_{1} D+a_{0} \nonumber \]

donde\(D\) esta el primer operador de diferencia

\[ D(y(n))=y(n)-y(n-1). \nonumber \]

Dejar\(y_h(n)\) y\(y_p(n)\) ser dos funciones tal que\(Ay_h(n)=0\) y\(Ay_p(n)=f(n)\). Por la linealidad de\(A\), tenga en cuenta que\(L(y_h(n)+y_p(n))=0+f(n)=f(n)\). Así, la forma de la solución general\(y_g(n)\) a cualquier ecuación diferencial ordinaria de coeficiente constante lineal es la suma de una solución homogénea\(y_h(n)\) a la ecuación\(Ay(n)=0\) y una solución particular\(y_p(n)\) que es específica de la función de forzamiento\(f(n)\).

Deseamos determinar las formas de las soluciones homogéneas y no homogéneas en toda generalidad para evitar restringir incorrectamente la forma de la solución antes de aplicar cualquier condición. De lo contrario, un conjunto válido de condiciones iniciales o de límite podría parecer que no tiene una trayectoria de solución correspondiente. Las siguientes secciones discuten cómo lograr esto para ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales.

Encontrar la solución homogénea

Para encontrar la solución homogénea a una ecuación de diferencia descrita por la relación de recurrencia

\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y(n-k)=f(n), \nonumber \]

considerar la ecuación de diferencia

\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y(n-k)=0. \nonumber \]

Sabemos que las soluciones tienen la forma\(c \lambda^n\) de algunas constantes complejas\(c, \lambda\). Ya que\(\sum_{k=0}^{N} a_{k} c \lambda^{n-k}=0\) para una solución se deduce que

\[ c \lambda^{n-N} \sum_{k=0}^{N} a_{k} \lambda^{N-k}=0 \nonumber \]

por lo que también se deduce que

\[ a_{0} \lambda^{N}+\ldots+a_{N}=0. \nonumber \]

Por lo tanto, la solución exponencial son las raíces del polinomio anterior, llamado el polinomio característico.

Para ecuaciones de orden dos o más, habrá varias raíces. Si todas las raíces son distintas, entonces la forma general de la solución homogénea es simplemente

\[y_{h}(n)=c_{1} \lambda_{1}^{n}+\ldots+c_{2} \lambda_{2}^{n} . \nonumber \]

Si una raíz tiene multiplicidad mayor que uno, las soluciones repetidas deben multiplicarse por cada potencia\(n\) de 0 a una menor que la multiplicidad raíz (para asegurar soluciones linealmente independientes). Por ejemplo, si\(\lambda_1\) tuviera una multiplicidad de 2 y\(\lambda_2\) tuviera multiplicidad 3, la solución homogénea sería

\[y_{h}(n)=c_{1} \lambda_{1}^{n}+c_{2} n \lambda_{1}^{n}+c_{3} \lambda_{2}^{n}+c_{4} n \lambda_{2}^{n}+c_{5} n^{2} \lambda_{2}^{n} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Fibonacci Sequence

Recordemos que la secuencia de Fibonacci describe un modelo (muy poco realista) de lo que sucede cuando un par de conejos se quedan solos en una caja negra... Los supuestos son que un par de conejos nunca mueren y producen un par de crías cada mes a partir de su segundo mes de vida. Este sistema se define por la relación de recursión para el número de pares rabit\(y(n)\) al mes\(n\)

\[y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 \nonumber \]

con las condiciones iniciales\(y(0)=0\) y\(y(1)=1\).

Tenga en cuenta que la función de forzamiento es cero, por lo que solo se necesita la solución homogénea. Es fácil ver que el polinomio característico es\(\lambda^{2}-\lambda-1=0\), por lo que hay dos raíces con multiplicidad una. Estos son\(\lambda_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) y\(\lambda_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\). Así, la solución es de la forma

\[ y(n)=c_{1}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}. \nonumber \]

Usando las condiciones iniciales, determinamos que

\[c_{1}=\frac{\sqrt{5}}{5} \nonumber \]

y

\[c_{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5} . \nonumber \]

Por lo tanto, la secuencia de Fibonacci viene dada por

\[y(n)=\frac{\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\frac{\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} . \nonumber \]

Encontrar la solución particular

Encontrar la solución particular es una tarea un poco más complicada que encontrar la solución homogénea. Se puede encontrar a través de la convolución de la entrada con la respuesta de impulso de la unidad una vez que se conoce la respuesta de impulso de la unidad. Encontrar la solución particular de una ecuación diferencial se discute más adelante en el capítulo relativo a la transformada z, lo que simplifica enormemente el procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes lineales utilizando herramientas de dominio de frecuencia.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considere la siguiente ecuación de diferencia que describe un sistema con retroalimentación

\[y(n)−ay(n−1)=x(n). \nonumber \]

Para encontrar la solución homogénea, considere la ecuación de diferencia

\[y(n)−ay(n−1)=0. \nonumber \]

Es fácil ver que el polinomio característico es\(\lambda−a=0\), así\(\lambda =a\) es la única raíz. Así, la solución homogénea es de la forma

\[y_h(n)=c_1a^n. \nonumber \]

Para encontrar la solución particular, considere la salida para el caso de impulso de\(x(n)=\delta(n)\) unidad

\[ y(n)-a y(n-1)=\delta(n). \nonumber \]

Por inspección, es claro que la respuesta al impulso es\(a^nu(n)\). Por lo tanto, la solución particular para un dado\(x(n)\) es

\[y_{p}(n)=x(n)*\left(a^{n} u(n)\right). \nonumber \]

Por lo tanto, la solución general es

\[ y_{g}(n)=y_{h}(n)+y_{p}(n)=c_{1} a^{n}+x(n) *\left(a^{n} u(n)\right). \nonumber \]

Las condiciones iniciales y una entrada específica pueden adaptar aún más esta solución a una situación específica.

Resolver ecuaciones de diferencia Resumen

Las ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales son útiles para modelar una amplia variedad de sistemas de tiempo discretos. El enfoque para resolverlos es encontrar la forma general de todas las soluciones posibles a la ecuación y luego aplicar una serie de condiciones para encontrar la solución adecuada. Esto se hace encontrando la solución homogénea a la ecuación de diferencia que no depende de la entrada de la función de forzamiento y una solución particular a la ecuación de diferencia que sí depende de la entrada de la función de forzamiento.