15.7: Espacios comunes de Hilbert

Espacios comunes de Hilbert

A continuación veremos los cuatro espacios Hilbert más comunes (Sección 15.4) con los que tendrá que lidiar al discutir y manipular señales y sistemas.

\(\mathbb{R}^n\)(escalares reales) y\(\mathbb{C}^n\) (escalares complejos), también llamados\(\ell^{2}([0, n-1])\)

\ (\ negridsymbol {x} =\ left (\ begin {array} {c}
x_ {0}\\
x_ {1}\\
\ puntos\\
x_ {n-1}
\ end {array}\ right)\) es una lista de números (secuencia finita). El producto interior (Sección 15.4) para nuestros dos espacios son los siguientes:

• Producto interior estándar\(\mathbb{R}^n\):

  \ begin {align}
  \ langle\ negridsymbol {x},\ negridsymbol {y}\ rangle &=\ negridsymbol {y} ^ {T}\ negridsymbol {x}\ nonumber\\
  &=\ sum_ {i=0} ^ {n-1} x_ {i} y_ {i}
  \ end {align}

• Producto interior estándar\(\mathbb{C}^n\):

  \ [\ begin {align}
  \ langle\ negridsymbol {x},\ negridsymbol {y}\ rangle &=\ overline {\ boldsymbol {y} ^ {T}}\ negridsymbol {x}\ nonumber\\
  &=\ sum_ {i=0} ^ {n-1} x_ {i}\ bar {y} _ {i}
  \ end {align}\ nonumber\]

Modelo para: Señales de tiempo discretas en el intervalo\([0,n−1]\) o señales de tiempo discretas periódicas (con período\(n\)). \ [\ left (\ begin {array} {c}
x_ {0}\\
x_ {1}\\
\ puntos\\
x_ {n-1}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Figura\(\PageIndex{1}\)

\( f \in L^2 ([a,b])\)es una función de energía finita en\([a,b]\)

Producto interno

\[\langle f, g\rangle=\int_{a}^{b} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t \nonumber \]

Modelo para: señales de tiempo continuas en el intervalo\([a,b]\) o señales de tiempo continuas periódicas (con período\(T=b−a\))

\(x \in \ell^{2}(\mathbb{Z})\)es una secuencia infinita de números que es sumable al cuadrado

Producto interior

\[\langle x, y\rangle=\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \overline{y[i]} \nonumber \]

Modelo para: tiempo discreto, señales no periódicas

\(f \in L^{2}(\mathbb{R})\)es una función de energía finita en todos\(\mathbb{R}\).

Producto interior

\[\langle f, g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t \nonumber \]

Modelo para: tiempo continuo, señales no periódicas

Análisis de Fourier Asociado

Cada uno de estos 4 espacios de Hilbert tiene asociado un tipo de análisis de Fourier.

• \(L^2([a,b])\)→ Serie de Fourier
• \(\ell^{2}([0, n-1])\)→ Transformada Discreta de Fourier
• \(L^{2}(\mathbb{R})\)→ Transformada de Fourier
• \(\ell^{2}(\mathbb{Z})\)→ Transformada Discreta de Fourier de

Pero los 4 de estos se basan en los mismos principios (el espacio Hilbert).

Nota Importante

No todos los espacios normados son espacios de Hilbert

Por ejemplo:\(L^1(\mathbb{R})\),\(\|f\|_{1}=\int|f(t)| d t\). Inténtalo como puedas, no puedes encontrar un producto interno que induzca esta norma, es decir, un\(\langle\cdot, \cdot\rangle\) tal que

\ [\ begin {align}
\ langle f, f\ rangle &=\ left (\ int (|f (t) |) ^ {2}\ mathrm {d} t\ derecha) ^ {2}\ nonumber\\
&=\ izquierda (\ |f\ |_ {1}\ derecha) ^ {2}
\ end {align}\ nonumber\]

De hecho, de todos los\(L^p(\mathbb{R})\) espacios,\(L^2(\mathbb{R})\) es el único que es un espacio Hilbert.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Los espacios de Hilbert son, con mucho, los más bonitos. Si usas o estudias la expansión de base ortonormal (Sección 15.9) entonces comenzarás a ver por qué esto es cierto.