15.8: Tipos de Bases

Bases Normalizadas

Definición: Bases Normalizadas

Una base\(\left\{b_{i}\right\}\) donde cada uno\(b_i\) tiene norma de unidad

\[\left\|b_{i}\right\|=1, \quad i \in \mathbb{Z} \nonumber \]

Nota

El concepto de base se aplica a todos los espacios vectoriales (Sección 15.2). El concepto de base normalizada se aplica únicamente a los espacios normalizados (Sección 15.3).

Siempre se puede normalizar una base: simplemente multiplique cada vector base por una constante, como\(\frac{1}{\left\|b_{i}\right\|}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Se nos da la siguiente base:

\ [\ left\ {b_ {0}, b_ {1}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

Normalizado con\(\ell^{2}\) norma:

\ [\ begin {array} {c}
\ tilde {b} _ {0} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
1
\ end {array}\ derecha)\
\ tilde {b} _ {1} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

Normalizado con\(\ell^{1}\) norma:

\ [\ begin {array} {c}
\ tilde {b} _ {0} =\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
1
\ end {array}\ derecha)\
\ tilde {b} _ {1} =\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {c}
1\
-1
\ end {array}\ derecha)
\ end { matriz}\ nonumber\]

Bases ortogonales

Bases ortogonales

una base {b i} b i en la que los elementos son mutuamente ortogonales

f i, i ≠ j :( b i, b j =0) i i i b i b j 0

Definición: Bases ortogonales

Una base\(\left\{b_{i}\right\}\) en la que los elementos son mutuamente ortogonales

\[\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=0, \quad i \neq j \nonumber \]

Nota

El concepto de base ortogonal se aplica únicamente a Hilbert Spaces (Sección 15.4).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Base estándar para\(\mathbb{R}^2\), también denominada\(\ell^{2}([0,1])\):

\ [\ begin {array} {l}
b_ {0} =\ left (\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ derecha)\\
b_ {1} =\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1\ end {array}
\ right)\ end {array}
\ end {array}\ nonumber\]

\[\left\langle b_{0}, b_{1}\right\rangle=\sum_{i=0}^{1} b_{0}[i] b_{1}[i]=1 \times 0+0 \times 1=0 \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Ahora tenemos las siguientes bases y relación:

\ [\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\ right\} =\ left\ {h_ {0}, h_ {1}\ right\}\ nonumber\]

\[\left\langle h_{0}, h_{1}\right\rangle=1 \times 1+1 \times-1=0 \nonumber \]

Bases Ortonormales

Al juntar las dos secciones anteriores (definiciones), llegamos al tipo de base más importante y útil:

Definición: Bases Ortonormales

Una base normalizada y ortogonal

\[\left\|b_{i}\right\|=1, \quad i \in \mathbb{Z} \nonumber \]

\[\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle \quad, \quad i \neq j \nonumber \]

Notación:

Podemos acortar estas dos declaraciones en una sola:

\[\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=\delta_{i j} \nonumber \]

donde

\ [\ delta_ {i j} =\ left\ {\ begin {array} {l}
1\ text {if} i=j\\
0\ text {if} i\ neq j
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Donde\(\delta_{i j}\) se conoce como la función delta de Kronecker (Sección 1.6) y también a menudo se escribe como\(\delta[i-j]\).

Ejemplo de Bases Ortonormales #1

\ [\ left\ {b_ {0}, b_ {2}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

Ejemplo de Bases Ortonormales #2

\ [\ left\ {b_ {0}, b_ {2}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

Ejemplo de Bases Ortonormales #3

\ [\ izquierda\ {b_ {0}, b_ {2}\ derecha\} =\ izquierda\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\
-1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

Belleza de Bases Ortonormales

¡Las bases ortonormales son muy fáciles de manejar! Si\(\left\{b_{i}\right\}\) es una base ortonormal, podemos escribir para cualquier\(x\)

\[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]

Es fácil encontrar los\(\alpha_i\):

\ [\ begin {align}
\ izquierda\ langle x, b_ {i}\ derecha\ rangle &=\ izquierda\ langle\ suma_ {k}\ alpha_ {k} b_ {k}, b_ {i}\ derecha\ rangle\ nonumber\\
&=\ sum_ {k}\ alpha_ {k}\ alfa_ {k}\ izquierda\ langle\ izquierda (b_ {k}, _ {i}\ derecha)\ derecha\ rangle
\ end {align}\ nonumber\]

donde en la ecuación anterior podemos usar nuestro conocimiento de la función delta para reducir esta ecuación:

\ [\ begin {array} {c}
\ left\ langle b_ {k}, b_ {i}\ right\ rangle=\ delta_ {i k} =\ left\ {\ begin {array} {l}
1\ text {if} i=k\\
0\ text {if} i\ neq k
\ end {array}\ right. \\
\ izquierda\ langle x, b_ {i}\ derecha\ rangle=\ alpha_ {i}
\ end {array}\ nonumber\]

Por lo tanto, podemos concluir la siguiente ecuación importante para\(x\):

\[x=\sum_{i}\left\langle\left(x, b_{i}\right)\right\rangle b_{i} \nonumber \]

Los\(\alpha_i\) s son fáciles de calcular (sin interacción entre los\(b_i\)'s)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Teniendo en cuenta las siguientes bases:

\ [\ izquierda\ {b_ {0}, b_ {1}\ derecha\} =\ izquierda\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\
-1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

representar\ (x=\ izquierda (\ begin {array} {l}
3\\
2
\ end {array}\ derecha)\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Slightly Modified Fourier Series

Se nos da la base

\[\left.\left\{\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \omega_{0} n t}\right\}\right|_{n=-\infty} ^{\infty} \nonumber \]

en\(L^2([0,T])\) donde\(T=\frac{2 \pi}{\omega_0}\).

\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\langle\left(f, e^{j \omega_{0} n t}\right)\right\rangle e^{j \omega_{0} n t} \frac{1}{\sqrt{T}} \nonumber \]

Donde podemos calcular el producto interno anterior\(L^2\) como

\[\left\langle f, e^{j \omega_{0} n t}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f(t) \overline{e^{j \omega_{0} n t}} \mathrm{d} t=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber \]

Expansiones de base ortonormal en un espacio de Hilbert

Dejar\(\left\{b_{i}\right\}\) ser una base ortonormal para un espacio Hilbert\(H\). Entonces, para cualquiera\(x \in H\) podemos escribir

\[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]

donde\(\alpha_{i}=\left\langle x, b_{i}\right\rangle\).

• “Análisis”: descomposición\(x\) en término del\(b_i\)

  \[\alpha_{i}=\left\langle x, b_{i}\right\rangle \nonumber \]

• “Síntesis”:\(x\) construir a partir de una combinación ponderada del\(b_i\)

  \[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]