15.9: Expansiones de Bases Ortonormales

Idea Principal

Cuando se trabaja con señales muchas veces, es útil romper una señal en partes más pequeñas y manejables. Ojalá a estas alturas se haya expuesto al concepto de vectores propios (Sección 14.2) y haya uso en la descomposición de una señal en una de sus posibles bases. Al hacer esto podemos simplificar nuestros cálculos de señales y sistemas a través de funciones propias de sistemas LTI (Sección 14.5).

Ahora nos gustaría mirar una forma alternativa de representar señales, mediante el uso de bases ortonormales. Podemos pensar en la base ortonormal como un conjunto de bloques de construcción que utilizamos para construir funciones. Construiremos la señal/vector como una suma ponderada de elementos básicos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Las sinusoides complejas\(\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \omega_0 nt}\) para todos\(-\infty<n<\infty\) forman una base ortonormal para\(L^{2}([0, T])\).

En nuestra ecuación de la serie de Fourier\(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t}\),, los\(\left\{c_{n}\right\}\) son solo otra representación de\(f(t)\).

Nota

Para señales/vectores en un espacio Hilbert, los coeficientes de expansión son fáciles de encontrar.

Representación Alterna

Recordemos nuestra definición de una base: Un conjunto de vectores\(\left\{b_{i}\right\}\) en un espacio vectorial\(S\) es una base si

1. Los\(b_i\) son linealmente independientes.
2. El\(b_i\) lapso\(S\). Es decir, podemos encontrar\(\left\{\alpha_{i}\right\}\), donde\(\alpha_{i} \in \mathbb{C}\) (escalares) tal que

   \[\boldsymbol{x}=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i}, x \in S \nonumber \]

   donde\(\boldsymbol{x}\) es un vector adentro\(S\),\(\alpha\) es un escalar adentro\(\mathbb{C}\), y\(\boldsymbol{b}\) es un vector adentro\(S\).

La condición 2 en la definición anterior dice que podemos descomponer cualquier vector en términos de la\(\left\{b_{i}\right\}\). La condición 1 asegura que la descomposición sea única (piense en esto en casa).

Nota

El\(\left\{\alpha_{i}\right\}\) proporcionar una representación alternativa de\(\boldsymbol{x}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Veamos ejemplo sencillo en\(\mathbb{R}^2\), donde tenemos el siguiente vector:

\ [\ negridsymbol {x} =\ left (\ begin {array} {l}
1\\
2
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Base Estándar:\(\left\{e_{0}, e_{1}\right\}=\left\{(1,0)^{T},(0,1)^{T}\right\}\)

\[\boldsymbol{x}=e_{0}+2 e_{1} \nonumber \]

Bases Alternas:\(\left\{h_{0}, h_{1}\right\}=\left\{(1,1)^{T},(1,-1)^{T}\right\}\)

\[\boldsymbol{x}=\frac{3}{2} h_{0}+\frac{-1}{2} h_{1} \nonumber \]

En general, dada una base\(\left\{b_{0}, b_{1}\right\}\) y un vector\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2\), ¿cómo encontramos el\(\alpha_0\) y\(\alpha_1\) tal que

\[\boldsymbol{x}=\alpha_{0} b_{0}+\alpha_{1} b_{1} \label{15.48} \]

Encontrar los Coeficientes

Ahora abordemos la pregunta planteada anteriormente sobre\(\alpha_i\) los hallazgos en general para\(\mathbb{R}^2\). Comenzamos reescribiendo la Ecuación\ ref {15.48} para que podamos apilar nuestras\(b_i\)'s como columnas en una\(2 \times 2\) matriz.

\[(x)=\alpha_{0}\left(b_{0}\right)+\alpha_{1}\left(b_{1}\right) \label{15.49} \]

\ [(x) =\ left (\ begin {array} {ccc}
\ vdots &\ vdots\\
b_ {0} & b_ {1}\\
\ vdots &\ vdots
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {l}
a_ {0}\\
a_ {1}
\ end {array}\ derecha)\ label {15.50}\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Aquí hay un ejemplo sencillo, que muestra un poco más de detalle sobre las ecuaciones anteriores.

\ [\ begin {align}
\ left (\ begin {array} {c}
x [0]\\
x [1]
\ end {array}\ right) &=\ alpha_ {0}\ left (\ begin {array} {c}
b_ {0} [0]\
b_ {0} [1]
\ end {array}\ right) +\ alpha_ {1}\ left (\ start {matriz} {c}
b_ {1} [0]\\
b_ {1} [1]
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\\
&=\ izquierda (\ begin {array} {c}
\ alpha_ {0} b_ {0} [0] +\ alpha_ {1} b_ {1} [0]\
\ alpha_ {0} b_ {0} b_ {0} [1] +\ alpha_ {1} b_ {1} []
\ end {array}\ derecha)
\ end {align}\ nonumber\]

\ [\ left (\ begin {array} {l}
x [0]\\
x [1]
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {ll}
b_ {0} [0] & b_ {1} [0]\
b_ {0} [1] & b_ {1} [1]
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {l}
\ alfa_ {0}\\
\ alfa_ {1}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Simplificando nuestra ecuación

Para simplificar la notación, definimos los dos elementos siguientes a partir de las ecuaciones anteriores:

• Matriz de Bases:

  \ [B=\ left (\ begin {array} {cc}
  \ vdots &\ vdots\\
  b_ {0} & b_ {1}\
  \ vdots &\ vdots
  \ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

• Vector de Coeficiente:

  \ [\ negridsymbol {\ alpha} =\ left (\ begin {array} {l}
  \ alpha_ {0}\
  \ alpha_ {1}
  \ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Esto nos da la siguiente ecuación, concisa:

\[\boldsymbol{x}=B \boldsymbol{\alpha} \label{15.53} \]

que es equivalente a\(\boldsymbol{x}=\sum_{i=0}^{1} \alpha_{i} b_{i}\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Dada una base estándar,\ (\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ right)\ right\}\), entonces tenemos la siguiente matriz base:

\ [B=\ left (\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Para obtener la\(\alpha_i\) s, resolvemos para el vector coeficiente en Ecuación\ ref {15.53}

\[\boldsymbol{\alpha}=B^{-1} \boldsymbol{x} \label{15.54} \]

Dónde\(B^{-1}\) está la matriz inversa de\(B\).

Ejemplos

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Veamos primero la base estándar e intentemos calcular a\(\boldsymbol{\alpha}\) partir de ella.

\ [B=\ left (\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right) =I\ nonumber\]

Dónde\(I\) está la matriz de identidad. Para resolver para\(\boldsymbol{\alpha}\) encontremos lo inverso de\(B\) primero (lo cual obviamente es muy trivial en este caso):

\ [B^ {-1} =\ left (\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Por lo tanto obtenemos,

\[\boldsymbol{\alpha}=B^{-1} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Veamos una base cada vez más complicada de\ (\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\ right\} =\ left\ {h_ {0}, h_ {1}\ right\}\) Entonces nuestra matriz y matriz de base inversa se convierte en:

\ [\ begin {aligned}
B &=\ left (\ begin {array} {cc}
1 & 1\\
1 & -1
\ end {array}\ right)\\
B^ {-1} &=\ left (\ begin {array} {cc}
\ frac {1} {2} &\ frac {1} {2} {2}
\ frac {1} {2} &\ frac {-1} {2}
\ end {array}\ derecha)
\ end {alineado}\ nonumber\]

y para este ejemplo se da que

\ [\ negridsymbol {x} =\ left (\ begin {array} {l}
3\\
2
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Ahora resolvemos para\(\boldsymbol{\alpha}\)

\ [\ negridsymbol {\ alpha} =B^ {-1}\ negridsymbol {x} =\ left (\ begin {array} {cc}
\ frac {1} {2} &\ frac {1} {2}
\\ frac {1} {2} &\ frac {-1} {2}
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {l}
3\\
2
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {l}
2.5\\
0.5
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

y conseguimos

\[\boldsymbol{x}=2.5 h_{0}+0.5 h_{1} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ahora se nos da la siguiente matriz de base y\(\boldsymbol{x}\):

\ [\ begin {array} {c}
\ left\ {b_ {0}, b_ {1}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
2
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {l}
3\\
0
\ end {array}\ right)\ right\}\\
\ negridsymbol {x} =\ left (\ begin { array} {l}
3\\
2
\ end {array}\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

Para este problema, hacer un boceto de las bases y luego representar\(\boldsymbol{x}\) en términos de\(b_0\) y\(b_1\).

Contestar

Con el fin de representar\(\boldsymbol{x}\) en términos de\(b_0\) y\(b_1\) seguiremos los mismos pasos que usamos en el ejemplo anterior.

\ [\ begin {array} {c}
B=\ left (\ begin {array} {cc}
1 & 2\\
3 & 0
\ end {array}\ derecha)\\
B^ {-1} =\ left (\ begin {array} {cc}
0 &\ frac {1} {2}\
\ frac {1} {3} &\ frac {-1} {6}
\ end {array}\ right)\\
\ negridsymbol {\ alpha} =B^ {-1}\ boldsymbol {x} =\ left (\ begin {array} {c}
1\\
\ frac {2} {3}
\ end {array}\ right)\ end {array}
\ end {array}\ nonumber\]

Y ahora podemos escribir\(\boldsymbol{x}\) en términos de\(b_0\) y\(b_1\).

\[\boldsymbol{x}=b_{0}+\frac{2}{3} b_{1} \nonumber \]

Y podemos sustituir fácilmente en nuestros valores conocidos de\(b_0\) y\(b_1\) verificar nuestros resultados.

Nota

Un cambio de base simplemente mira\(\boldsymbol{x}\) desde una “perspectiva diferente”. \(B^{-1}\)se transforma\(\boldsymbol{x}\) de la base estándar a nuestra nueva base,\(\left\{b_{0}, b_{1}\right\}\). Observe que se trata de un procedimiento totalmente mecánico.

Ampliar la dimensión y el espacio

También podemos extender todas estas ideas más allá de solo\(\mathbb{R}^2\) y mirarlas en\(\mathbb{R}^n\) y\(\mathbb{C}^n\). Este procedimiento se extiende naturalmente a dimensiones más altas (> 2). Dada una base\(\left\{b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{n-1}\right\}\) para\(\mathbb{R}^n\), queremos encontrar\(\left\{\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}\right\}\) tal que

\[\boldsymbol{x}=\alpha_{0} b_{0}+\alpha_{1} b_{1}+\ldots+\alpha_{n-1} b_{n-1} \label{15.55} \]

Nuevamente, vamos a establecer una matriz de base

\ [B=\ left (\ begin {array} {lllll}
b_ {0} & b_ {1} & b_ {2} &\ dots & b_ {n-1}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

donde las columnas son iguales a los vectores base y siempre será una\(n \times n\) matriz (aunque la matriz anterior no parece ser cuadrada ya que dejamos términos en notación vectorial). Luego podemos proceder a reescribir la Ecuación\ ref {15.53}

\ [\ boldsymbol {x} =\ left (\ begin {array} {cccc}
b_ {0} & b_ {1} &\ ldots & b_ {n-1}
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {c}
\ alpha_ {0}\\ vdots
\\
\ alpha_ {n-1}
\ end {array}\ right) =B\ símbolo en negrilla {\ alpha}\ nonumber\]

y

\[\boldsymbol{\alpha}=B^{-1} \boldsymbol{x} \nonumber \]