16.1: Introducción a los espacios métricos

Introducción

En los cursos de mayo, se invocan conceptos como la continuidad y la convergencia sin mucha discusión sobre sus definiciones formales, en cambio, confiando en la comprensión intuitiva del lector de estas materias. No obstante, para efectos de pruebas, incluyendo algunas en el cuerpo principal de material para este curso, se requiere un mayor rigor. Este módulo discutirá los espacios métricos, un constructo matemático que proporciona un marco para la continuidad del estudio, la convergencia y otras ideas relacionadas en sus sentidos más concretos pero aún formales. Esto se logra formalizando una noción de la distancia entre dos elementos en un conjunto. La intención en este y posteriores módulos de este capítulo no es dar una visión completa de los temas básicos de análisis sino dar una breve introducción a los más importantes para la discusión del procesamiento de señales en este curso.

Espacios métricos

Una noción de distancia

En muchas situaciones en el procesamiento de señales suele ser útil tener un concepto de distancia entre los puntos en un conjunto. Esta noción se formaliza matemáticamente a través de la idea de un espacio métrico. Un espacio métrico\((M,d)\) es un conjunto\(M\) junto con una función\(d: M \times M \rightarrow R\) que asigna distancias entre pares de elementos en\(M\) mientras satisface tres condiciones. Primero, para cada\(x, y \in M, d(x, y) \geq 0\) con\(d(x,y)=0\) si y solo si\(x=y\). Segundo, para cada\(x, y \in M, d(x, y)=d(y, x)\) simétricamente. Tercero, para cada\(x, y, z \in M, d(x, y)+d(x, z) \geq d(y, z)\), que se conoce como el triángulo de la desigualdad.

Hay, por supuesto, varias opciones diferentes posibles de definiciones para distancias en un conjunto dado. Nuestra comprensión intuitiva típica de la distancia\(\mathbb{R}^n\) encaja dentro de este marco como la métrica euclidiana estándar

\[d(x, y)=\|x-y\|_{2} \nonumber \]

al igual que la métrica taxicab o Manhatten

\[d(x, y)=\|x-y\|_{1} \nonumber \]

que suma componentes individuales de vectores, representando, por ejemplo, las distancias recorridas caminando alrededor de las manzanas de la ciudad. Otro ejemplo simple pero más exótico es proporcionado por la métrica discreta en cualquier conjunto definido por

\ [d (x, y) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
0 & x=y\\
1 & x\ neq y
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

en el que todos los pares de puntos distintos son equidistantes entre sí pero cada punto es la distancia cero de sí mismo. Se puede verificar que estos cumplan las condiciones para espacios métricos.

Relación con las Normas

No es de extrañar que las normas, que proporcionan una noción de tamaño, y las métricas, que proporcionan una noción de distancia, tengan una relación cercana. Intuitivamente, una forma de definir la distancia entre dos puntos en un espacio métrico podría ser el tamaño de su diferencia. En otras palabras dado un espacio vectorial\(V\) sobre el campo\(F\) con norma\(\|\cdot\|\), podríamos preguntar si la función

\[d(x, y)=\|x-y\| \nonumber \]

para cada uno\(x, y \in V\) satisface las condiciones\((V,d)\) para ser un espacio métrico.

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial sobre el campo\(F\) con norma\(\|\cdot\|\), y dejar\(d(x, y)=\|x-y\|\). Recordemos que ya\(\|\cdot\|\) es una norma,\(|| x||=0\) si y sólo si\(x=0\) y\(|| a x||=|a||| x||\) para todos\(a \in F\) y\(x \in V\). De ahí\(|| x-y|| \geq 0\) para todos\(x,y \in V\) y\(\|x-y\|=0\) si y sólo si\(x=y\). Desde\(y−x=−(x−y)\) y\(\|-(x-y)\|=\|x-y\|\) se deduce que\(|| x-y||=|| y-x \mid\) para todos\(x,y \in V\). Por último,\(\|x\|+\|y\| \geq\|x+y\|\) por las propiedades de las normas, así\(\|x-y\|+\|x-z\| \geq\|y-z\|\) para todos\(x,y,z \in V\). Así, efectivamente\((V,d)\) satisface las condiciones para ser un espacio métrico y se discute como el espacio métrico inducido por la norma\(\|\cdot\|\).

Resumen de Espacios Métricos

Los espacios métricos proporcionan una noción de distancia y un marco con el que estudiar formalmente conceptos matemáticos como continuidad y convergencia, y otras ideas relacionadas. Se pueden elegir muchas métricas para un conjunto dado, y nuestras nociones más comunes de distancia satisfacen las condiciones para ser una métrica. Cualquier norma en un espacio vectorial induce una métrica en ese espacio vectorial y es en este tipo de espacios métricos donde a menudo nos interesa más el estudio de señales y sistemas.