16.2: Convergencia de Secuencias

Secuencias

Definición: Secuencia

Una secuencia es una función\(g_n\) definida en los enteros positivos '\(n\)'. A menudo denotamos una secuencia por\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Una secuencia de números reales:

\[g_{n}=\frac{1}{n} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Una secuencia de vector:

\ [g_ {n} =\ left (\ begin {array} {c}
\ sin\ left (\ frac {n\ pi} {2}\ derecha)\
\ cos\ izquierda (\ frac {n\ pi} {2}\ derecha)
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Una secuencia de funciones:

\ [g_ {n} (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
1 &\ text {if} 0\ leq t<\ frac {1} {n}\\
0 &\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Nota

Una función puede pensarse como un vector dimensional infinito donde para cada valor de\(t\) '' tenemos una dimensión

Convergencia de Secuencias Reales

Definición: Limit

Una sequnce\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\) converge a un límite\(g \in \mathbb{R}\) si por cada\(\varepsilon > 0\) hay un entero\(N\) tal que

\[\left|g_{i}-g\right|<\varepsilon, \quad i \geq N \nonumber \]

Usualmente denotamos un límite por escrito

\[\operatorname{limit}_{i \rightarrow \infty} g_{i}=g \nonumber \]

o

\[g_{i} \rightarrow g \nonumber \]

La definición anterior significa que no importa cuán pequeños hagamos\(\varepsilon\), excepto por un número finito de\(g_i\)'s, todos los puntos de la secuencia están a distancia\(\varepsilon\) de\(g\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Se nos da la siguiente secuencia convergente:

\[g_n=\frac{1}{n} \nonumber \]

Intuitivamente podemos asumir el siguiente límite:

\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}=0 \nonumber \]

Demostrémoslo rigurosamente. Digamos que se nos da un número real\(\varepsilon > 0\). Vamos a elegir\(N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), donde\([x]\) denota el entero más pequeño mayor que\(x\). Entonces para\(n≥N\) nosotros tenemos

\[\left|g_{n}-0\right|=\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N}<\varepsilon \nonumber \]

Por lo tanto,

\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}=0 \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Ahora veamos la siguiente secuencia no convergente

\[g_{n}=\left\{\begin{array}{l}1 \text { if } n=\text { even } \\ -1 \text { if } n=\text { odd }\end{array}\right. \nonumber \]

Esta secuencia oscila entre 1 y -1, por lo que nunca convergerá.