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3.5: Funciones propias de sistemas LTI de Tiempo Continuo

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    Introducción

    Antes de leer este módulo, el lector ya debería tener alguna experiencia con álgebra lineal y específicamente debería estar familiarizado con los vectores propios y los valores propios de los operadores lineales. Un sistema lineal invariante de tiempo es un operador lineal definido en un espacio de función que se conmuta con cada operador de desplazamiento de tiempo en ese espacio de función. Así, también podemos considerar las funciones de vector propio, o funciones propias, de un sistema. Es particularmente fácil calcular la salida de un sistema cuando una función propia es la entrada, ya que la salida es simplemente la función propia escalada por el valor propio asociado. Como se mostrará, los exponenciales complejos de tiempo continuos sirven como funciones propias de sistemas lineales invariantes de tiempo que operan en señales de tiempo continuas.

    Funciones propias de sistemas LTI

    Considere un sistema lineal invariante de tiempo\(H\) con respuesta de impulso\(h\) operando en algún espacio de señales de tiempo continuas de longitud infinita. Recordemos que la salida\(H(x(t))\) del sistema para una entrada dada\(x(t)\) viene dada por la convolución de tiempo continua de la respuesta de impulso con la entrada

    \[H(x(t))=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    Ahora considere la entrada\(x(t)=e^{st}\) donde\(s \in \mathbb{C}\). Calculando la salida para esta entrada,

    \ [\ begin {align}
    H\ left (e^ {s t}\ derecha) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e^ {s (t-\ tau)} d\ tau\ nonúmero\\
    &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e^ {s t} e^ {-s\ tau} d\ tau\ nonumber\\
    &=e^ {s t}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e^ {-s\ tau} d\ tau
    \ fin {align}\ nonumber\]

    Por lo tanto,

    \[H\left(e^{s t}\right)=\lambda_{s} e^{s t} \nonumber \]

    donde

    \[\lambda_{s}=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-s \tau} d \tau \nonumber \]

    es el valor propio correspondiente al vector propio\(e^{st}\).

    Hay algunos puntos adicionales que deben mencionarse. Tenga en cuenta que, todavía puede haber valores propios adicionales de un sistema lineal invariante de tiempo no descrito\(e^{st}\) por algunos\(s \in \mathbb{C}\). Además, la discusión anterior ha sido algo formalmente floja ya que\(e^{st}\) puede o no pertenecer al espacio en el que opera el sistema. Sin embargo, para nuestros propósitos, los exponenciales complejos serán aceptados como vectores propios de sistemas lineales invariantes en el tiempo. Un argumento similar usando convolución circular de tiempo continuo también se mantendría para señales de longitud finita de espacios.

    Función propia de los sistemas LTI Resumen

    Como se ha demostrado, el complejo de tiempo continuo exponencial son funciones propias de sistemas lineales invariantes de tiempo que operan en señales de tiempo continuas. Por lo tanto, es particularmente sencillo calcular la salida de un sistema lineal invariante de tiempo para una entrada exponencial compleja ya que el resultado es una salida exponencial compleja escalada por el valor propio asociado. En consecuencia, las representaciones de señales de tiempo continuas en términos de exponenciales complejos de tiempo continuo proporcionan una ventaja a la hora de estudiar señales. Como se explicará más adelante, esto es lo que se logra mediante la transformada de Fourier de tiempo continuo y las series de tiempo continuo de Fourier, las cuales se aplican a señales aperiódicas y periódicas respectivamente.


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