4.1: Sistemas de Tiempo Discretos

Introducción

Como ya sabe ahora, un sistema de tiempo discreto opera en una entrada de señal de tiempo discreta y produce una salida de señal de tiempo discreta. Existen numerosos ejemplos de sistemas de tiempo discretos útiles en el procesamiento de señales digitales, como filtros digitales para imágenes o sonido. La clase de sistemas de tiempo discretos que son lineales e invariantes en el tiempo, conocidos como sistemas LTI de tiempo discretos, es de particular interés ya que las propiedades de linealidad e invarianza de tiempo juntas permiten el uso de algunas de las herramientas más importantes y poderosas en el procesamiento de señales.

Sistemas de Tiempo Discretos

Linealidad e Invarianza de Tiempo

\(H\)Se dice que un sistema es lineal si satisface dos condiciones importantes. El primero, aditividad, afirma por cada par de señales\(x\),\(y\) eso\(H(x+y)=H(x)+H(y)\). El segundo, la homogeneidad del grado uno, establece por cada señal\(x\) y escalar\(a\) que tenemos\(H(ax)=aH(x)\). Es claro que estas condiciones se pueden combinar juntas en una sola condición para la linealidad. Así, se dice que un sistema es lineal si por cada señal\(x\),\(y\) y escalares\(a\),\(b\) tenemos eso

\[H(a x+b y)=a H(x)+b H(y). \nonumber \]

La linealidad es una propiedad particularmente importante de los sistemas, ya que nos permite aprovechar las poderosas herramientas del álgebra lineal, como bases, vectores propios y valores propios, en su estudio.

Se dice que un sistema\(H\) es invariable en el tiempo si un desplazamiento de tiempo de una entrada produce la salida desplazada correspondiente. En otras palabras más precisas, el sistema\(H\) conmuta con el operador de turno de tiempo\(S_T\) para cada\(T \in \mathbb{Z}\). Es decir,

\[S_{T} H=H S_{T}. \nonumber \]

La invarianza temporal es deseable porque facilita la computación mientras refleja nuestra intuición de que, de todos modos iguales, los sistemas físicos deben reaccionar igual a entradas idénticas en diferentes momentos.

Cuando un sistema exhibe ambas propiedades importantes se abre. Como se explicará y probará en módulos posteriores, el cálculo de la salida del sistema para una entrada dada se convierte en una simple cuestión de convolucionar la entrada con la señal de respuesta al impulso del sistema. También se demostró posteriormente, el hecho de que los exponenciales complejos son vectores propios de sistemas lineales invariantes en el tiempo fomentará el uso de herramientas de dominio de frecuencia como las diversas transformaciones de Fourier y funciones de transferencia asociadas, para describir el comportamiento de los sistemas lineales invariantes en el tiempo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera el sistema\(H\) en el que

\[H(x[n])=2 x[n] \nonumber \]

para todas las señales\(f\). Dadas dos señales cualesquiera\(f\),\(g\) y escalares\(a\),\(b\)

\[H(a f[n]+b g[n]))=2(a f[n]+b g[n])=a 2 f[n]+b 2 g[n]=a H(f[n])+b H(g[n]) \nonumber \]

para todos los enteros\(n\). Así,\(H\) es un sistema lineal. Para todos los números enteros\(T\) y señales\(x\),

\[S_{T}(H(x[n]))=S_{T}(2 x[n])=2 x[n-T]=H(x[n-T])=H\left(S_{T}(x[n])\right) \nonumber \]

para todos los enteros\(n\). Así,\(H\) es un sistema invariante en el tiempo. Por lo tanto,\(H\) es un sistema lineal invariante en el tiempo.

Representación de ecuaciones de diferencia

A menudo es útil describir sistemas usando ecuaciones que involucran la tasa de cambio en alguna cantidad. Para los sistemas de tiempo discretos, tales ecuaciones se denominan ecuaciones de diferencia, un tipo de relación de recurrencia. Una clase importante de ecuaciones de diferencia es el conjunto de ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales, que se describen con más detalle en módulos posteriores.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Recordemos que la secuencia de Fibonacci describe un modelo (muy poco realista) de lo que sucede cuando un par de conejos se quedan solos en una caja negra... Los supuestos son que un par de conejos nunca mueren y producen un par de crías cada mes a partir de su segundo mes de vida. Este sistema se define por la relación de recursión para el número de parejas de conejos\(y[n]\) al mes\(n\)

\[y[n]=y[n-1]+y[n-2] \nonumber \]

con las condiciones iniciales\(y[0]=0\) y\(y[1]=1\). El resultado es un crecimiento muy rápido en la secuencia. Es por ello que nunca dejamos abiertas las cajas negras.

Resumen de sistemas de tiempo discretos

Muchos sistemas de tiempo discretos útiles se encontrarán en un estudio de señales y sistemas. Este curso está más interesado en aquellos que demuestran tanto la propiedad de linealidad como la propiedad de invarianza de tiempo, que en conjunto permiten el uso de algunas de las herramientas más potentes del procesamiento de señales. A menudo es útil describirlos en términos de tasas de cambio a través de ecuaciones lineales de diferencia de coeficientes constantes, un tipo de relación de recurrencia.