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4.4: Propiedades de la Convolución de Tiempo Discreta

  • Page ID
    86232
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    Introducción

    Ya hemos demostrado el importante papel que juega la convolución de tiempo discreta en el procesamiento de señales. Esta sección proporciona discusión y prueba de algunas de las propiedades importantes de la convolución discreta del tiempo. Se pueden mostrar propiedades análogas para convolución circular de tiempo discreta con modificación trivial de las pruebas proporcionadas, excepto cuando se indique explícitamente lo contrario.

    Propiedades de Convolución de Tiempo Discreta

    Asociatividad

    La operación de convolución es asociativa. Es decir, para todas las señales de tiempo discretas se mantiene\(f_1,f_2,f_3\) la siguiente relación.

    \[f_{1} *\left(f_{2} * f_{3}\right)=\left(f_{1} * f_{2}\right) * f_{3} \nonumber \]

    Para mostrar esto, tenga en cuenta que

    \ [\ begin {align}
    \ left (f_ {1} *\ left (f_ {2} * f_ {3}\ right)\ right) [n] &=\ sum_ {k_ {1} =-\ infty} ^ {\ infty}\ sum_ {k_ {2} =-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1}\ left [k_ {1}\ derecha] f_ {2}\ izquierda [k_ {2}\ derecha] f_ {3}\ izquierda [\ izquierda (n-k_ {1}\ derecha) -k_ {2}\ derecha]\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k_ {1} =-\ infty} ^ {\ infty}\ sum_ {k_ {2 } =-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1}\ izquierda [k_ {1}\ derecha] f_ {2}\ izquierda [\ izquierda (k_ {1} +k_ {2}\ derecha) -k_ {1}\ derecha] f_ {3}\ izquierda [n-\ izquierda (k_ {1} +k_ {2}\ derecha)\ derecha]\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k_ {3} =-\ infty} ^ {\ infty}\ suma_ {k_ {1} =-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1}\ izquierda [k_ {1}\ derecha] f_ {2}\ izquierda [k_ {3} -k_ {1}\ derecha] f_ {3} izquierda\ [n-k_ {3}\ derecha]\ nonumber\\
    &=\ izquierda (\ izquierda (f_ {1} * f_ {2}\ derecha) * f_ {3}\ derecha) [n]
    \ end {align}\ nonumber\]

    demostrando la relación como se desea a través de la sustitución\(k_3=k_1+k_2\).

    Conmutatividad

    La operación de convolución es conmutativa. Es decir, para todas las señales de tiempo discretas se mantiene\(f_1, f_2\) la siguiente relación.

    \[f_{1} * f_{2}=f_{2} * f_{1} \nonumber \]

    Para mostrar esto, tenga en cuenta que

    \ [\ begin {align}
    \ izquierda (f_ {1} * f_ {2}\ derecha) [n] &=\ suma_ {k_ {1} =-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1}\ izquierda [k_ {1}\ derecha] f_ {2}\ izquierda [n-k_ {1}\ derecha]\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k_ {2} =-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1}\ izquierda [n-k_ {2}\ derecha] f_ {2}\ izquierda [k_ {2}\ derecha]\ nonumber\\
    &=\ izquierda (f_ {2} * f_ {1} \ derecha) [n]
    \ end {align}\ nonumber\]

    demostrando la relación como se desea a través de la sustitución\(k_2=n−k_1\).

    Distribitividad

    La operación de convolución es distributiva sobre la operación de adición. Es decir, para todas las señales de tiempo discretas se mantiene\(f_1,f_2,f_3\) la siguiente relación.

    \[f_{1} *\left(f_{2}+f_{3}\right)=f_{1} * f_{2}+f_{1} * f_{3} \nonumber \]

    Para mostrar esto, tenga en cuenta que

    \ [\ begin {align}
    \ izquierda (f_ {1} *\ izquierda (f_ {2} +f_ {3}\ derecha)\ derecha) (n) &=\ suma_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} (k)\ izquierda (f_ {2} (n-k) +f_ {3} (n-k)\ nonumba)\ nonumba)\\\
    &=\ suma_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} (k) f_ {2} (n-k) +\ suma_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} (k) f_ {3} (n-k)\ nonumber\\
    &= \ izquierda (f_ {1} * f_ {2} +f_ {1} * f_ {3}\ derecha) (n)
    \ end {align}\ nonumber\]

    demostrando la relación como se desee.

    Multilinealidad

    La operación de convolución es lineal en cada una de las dos variables de función. La aditividad en cada variable es el resultado de la distributividad de la convolución sobre la adición. La homogeneidad del orden uno en cada variable resulta del hecho de que para todas las señales de tiempo discretas\(f_1, f_2\) y escalares aa se mantiene la siguiente relación.

    \[a\left(f_{1} * f_{2}\right)=\left(a f_{1}\right) * f_{2}=f_{1}*\left(a f_{2}\right) \nonumber \]

    Para mostrar esto, tenga en cuenta que

    \ [\ begin {align}
    \ left (a\ left (f_ {1} * f_ {2}\ right)\ right) [n] &=a\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} [k] f_ {2} [n-k]\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {infty} ^ {infty} ^ {infty ty}\ izquierda (a f_ {1} [k]\ derecha) f_ {2} [n-k]\ nonumber\\
    &=\ izquierda (\ izquierda (a f_ {1}\ derecha) * f_ {2}\ derecha) [n]\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} [k]\ izquierda (a f_ {2} [n-k]\ derecha)\ nonumber\\
    &=\ izquierda (f_ {1} *\ izquierda (a f_ {2}\ derecha)\ derecha) [n]
    \ end {align}\ nonumber\]

    demostrando la relación como se desee.

    Conjugación

    La operación de convolución tiene la siguiente propiedad para todas las señales de tiempo discretas\(f_1,f_2\).

    \[\overline{f_{1}^{*} f_{2}}=\overline{f_{1}} * \overline{f_{2}} \nonumber \]

    Para mostrar esto, tenga en cuenta que

    \ [\ begin {align}
    (\ overline {f_ {1} * f_ {2}}) [n] &=\ overline {\ suma_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} [k] f_ {2} [n-k]}\ nonumber\\
    &= sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} ^ {\ infty}\ overline {f_ {1} [k] f_ {2} [n-k]}\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty}\ overline {f_ {1}} [k]\ overline {f_ {2}} [n -k]\ nonumber\\
    & =(\ overline {f_ {1}} *\ overline {f_ {2}}) [n]
    \ end {align}\ nonumber\]

    demostrando la relación como se desee.

    Cambio de tiempo

    La operación de convolución tiene la siguiente propiedad para todas las señales de tiempo discretas\(f_1, f_2\) donde\(S_T\) está el operador de desplazamiento de tiempo con\(T \in \mathbb{Z}\).

    \[ S_{T}\left(f_{1} * f_{2}\right)=\left(S_{T} f_{1}\right) * f_{2}=f_{1} *\left(S_{T} f_{2}\right) \nonumber \]

    Para mostrar esto, tenga en cuenta que

    \ [\ begin {align}
    S_ {T}\ izquierda (f_ {1} * f_ {2}\ derecha) [n] &=\ suma_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {2} [k] f_ {1} [(n-T) -k]\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k=-\ infty} ^\ infty} f_ {2} [k] S_ {T} f_ {1} [n-k]\ nonúmero\\
    &=\ izquierda (\ izquierda (S_ {T} f_ {1}\ derecha) * f_ {2}\ derecha) [n]\ nonumber\\
    &=\ suma_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} [k] f_ {2} [(n-T) -k]\ nonumber\\
    &=\ suma_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} [k] S_ {T} f_ {2} [n-k]\ nonúmero\
    &=f_ {1} *\ izquierda (S_ {T} f_ {2}\ derecha) [n]
    \ end {align}\ nonumber\]

    demostrando la relación como se desee.

    Convolución de Impulso

    La operación de convolución tiene la siguiente propiedad para todas las señales de tiempo discretas\(f\) donde\(\delta\) está la función de muestra unitaria.

    \[f * \delta=f \nonumber \]

    Para mostrar esto, tenga en cuenta que

    \ [\ begin {align}
    (f *\ delta) [n] &=\ suma_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f [k]\ delta [n-k]\ nonumber\\
    &=f [n]\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty}\ delta [n-k]\ nonumber\\
    &=f [n]
    \ final {align}\ nonumber\]

    demostrando la relación como se desee.

    Ancho

    La operación de convolución tiene la siguiente propiedad para todas las señales de tiempo discretas\(f_1, f_2\) donde Duration (\(f\)) da la duración de una señal\(f\).

    \[\text{Duration} \left(f_{1} * f_{2}\right) = \text{ Duration} \left(f_{1}\right)+\text{ Duration}\left(f_{2}\right)-1 \nonumber \]

    Para mostrar esto de manera informal, tenga en cuenta que\((f_1*f_2)[n]\) es distinto de cero para todos\(n\) para los cuales hay un\(k\) tal que\(f_1[k]f_2[n−k]\) es distinto de cero. Al ver una función como invertida y deslizándose más allá de la otra, es fácil ver que tal\(k\) existe para todos\(n\) en un intervalo de longitud Duración (\(f_1\)) + Duración (\(f_2\)) − 1. Tenga en cuenta que esto no siempre es cierto para convolución circular de longitud finita y señales periódicas ya que entonces hay una duración máxima posible dentro de un periodo.

    Resumen de propiedades de convolución

    Como se puede ver la operación de convolución de tiempo discreta tiene varias propiedades importantes que han sido listadas y probadas en este módulo. Con las modificaciones silight a las pruebas, la mayoría de estas también se extienden a la convolución circular de tiempo discreta y los casos en que ocurren excepciones se han señalado anteriormente. Estas identidades serán útiles a tener en cuenta a medida que el lector continúe estudiando señales y sistemas.


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