4.6: Estabilidad BIBO de Sistemas Discretos de Tiempo

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Introducción

Estabilidad BIBO significa entrada acotada, estabilidad de salida acotada. La estabilidad BIBO es la propiedad del sistema que cualquier entrada acotada produce una salida acotada. Es decir que mientras ingresemos una señal con valor absoluto menor que alguna constante, se nos garantiza tener una salida con valor absoluto menor que alguna otra constante.

Tiempo Discreto Estabilidad BIBO

Para entender este concepto, primero debemos mirar más de cerca exactamente lo que entendemos por acotado. Una señal acotada es cualquier señal tal que exista un valor tal que el valor absoluto de la señal nunca sea mayor que algún valor. Dado que este valor es arbitrario, lo que queremos decir es que en ningún momento la señal puede tender al infinito, incluido el comportamiento final.

Figura\(\PageIndex{1}\): Una señal acotada es una señal para la que existe una constante\(A\) tal que\(\forall n:(|f[n]|<A)\)

Condiciones de dominio de tiempo

Ahora que hemos identificado lo que significa que una señal sea acotada, debemos dirigir nuestra atención a la condición que debe poseer un sistema para garantizar que si se pasa alguna señal acotada a través del sistema, surgirá una señal acotada en la salida. Resulta que un sistema LTI de tiempo continuo (Sección 2.1) con respuesta al impulso\(h[n]\) es BIBO estable si y solo si es absolutamente sumable. Eso es

Condición de Tiempo Discreto para Estabilidad BIBO

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty \nonumber \]

Condiciones del dominio Z

La estabilidad para las señales de tiempo discreto (Sección 1.1) en el dominio z es casi tan fácil de demostrar como lo es para las señales de tiempo continuo en el dominio de Laplace. Sin embargo, en lugar de que la región de convergencia necesite contener el\(j \omega\) eje -eje, el ROC debe contener el círculo unitario. En consecuencia, para sistemas causales estables, todos los polos deben estar dentro del círculo unitario.

Figura\(\PageIndex{2}\): (a) Un sistema estable de tiempo discreto. b) Un sistema inestable de tiempo discreto.

Resumen de estabilidad de BIBO

La estabilidad de salida acotada de entrada limitada, también conocida como estabilidad BIBO, es una característica importante y generalmente deseable del sistema. Un sistema es BIBO estable si cada señal de entrada acotada da como resultado una señal de salida acotada, donde la amplitud es la propiedad de que el valor absoluto de una señal no excede alguna constante finita. En términos de características de dominio de tiempo, un sistema de tiempo discreto es BIBO estable si y solo si su respuesta de impulso es absolutamente sumable. Equivalentemente, en términos de características del dominio z, un sistema de tiempo continuo es BIBO estable si y solo si la región de convergencia de la función de transferencia incluye el círculo unitario.