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# 4.7: Ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales

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## Introducción: Ecuaciones de Diferencia

En nuestro estudio de señales y sistemas, a menudo será útil describir sistemas usando ecuaciones que involucran la tasa de cambio en alguna cantidad. En tiempo discreto, esto se modela a través de ecuaciones de diferencia, que son un tipo específico de relación de recurrencia. Por ejemplo, recordemos que los fondos en una cuenta con tasa de interés discretamente agravada$$r$$ aumentarán por$$r$$ veces el saldo anterior. Así, un sistema de interés discretamente compuesto es descrito por la ecuación de diferencia de primer orden mostrada en la Ecuación\ ref {4.50}.

$y(n)=(1+r)y(n−1) \label{4.50}$

Dado un conjunto suficientemente descriptivo de condiciones iniciales o condiciones de límite, si hay una solución a la ecuación de diferencia, esa solución es única y describe el comportamiento del sistema. Por supuesto, los resultados sólo son precisos en la medida en que el modelo refleje la realidad.

## Ecuaciones de diferencia de coeficiente constante lineal

Una subclase importante de ecuaciones de diferencia es el conjunto de ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales. Estas ecuaciones son de la forma

$Cy(n)=f(n) \label{4.51}$

donde$$C$$ es un operador de diferencia de la forma dada

$C=c_{N} D^{N}+c_{N-1} D^{N-1}+\ldots+c_{1} D+c_{0} \label{4.52}$

en el que$$D$$ es el primer operador de diferencia

$D(y(n))=y(n)-y(n-1). \label{4.53}$

Tenga en cuenta que los operadores de este tipo satisfacen las condiciones de linealidad, y$$c_{0}, \dots, c_{n}$$ son constantes reales.

Sin embargo, la ecuación\ ref {4.51} puede escribirse fácilmente como una ecuación de recurrencia de coeficiente constante lineal sin operadores de diferencia. Por el contrario, las ecuaciones de recurrencia de coeficientes constantes lineales también se pueden escribir en forma de una ecuación de diferencia, por lo que los dos tipos de ecuaciones son representaciones diferentes de una misma relación. Aunque todavía las llamaremos ecuaciones lineales de diferencia de coeficientes constantes en este curso, normalmente no las escribiremos usando operadores de diferencia. En su lugar, los escribiremos en la forma de relación de recurrencia más simple

$\sum_{k=0}^{N} a_{k} y(n-k)=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(n-k) \label{4.54}$

donde$$x$$ esta la entrada al sistema y$$y$$ es la salida. Esto se puede reorganizar para encontrar$$y(n)$$ como

$y(n)=\frac{1}{a_{0}}\left(-\sum_{k=1}^{N} a_{k} y(n-k)+\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(n-k)\right) \label{4.55}$

Las formas proporcionadas por la Ecuación\ ref {4.54} y la Ecuación\ ref {4.55} serán utilizadas en el resto de este curso.

Un concepto similar para el ajuste continuo del tiempo, ecuaciones diferenciales, se discute en el capítulo sobre análisis en el dominio del tiempo de los sistemas de tiempo continuos. Hay muchos paralelismos entre la discusión de ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficiente constante lineal y ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales.

## Aplicaciones de ecuaciones de diferencia

Las ecuaciones de diferencia se pueden usar para describir muchos filtros digitales útiles como se describe en el capítulo que discute la transformada z. Aquí se proporciona un ejemplo ilustrativo adicional.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Recordemos que la secuencia de Fibonacci describe un modelo (muy poco realista) de lo que sucede cuando un par de conejos se quedan solos en una caja negra... Los supuestos son que un par de conejos nunca mueren y producen un par de crías cada mes a partir de su segundo mes de vida. Este sistema se define por la relación de recursión para el número de parejas de conejos$$y(n)$$ al mes$$n$$

$y(n)=y(n-1)+y(n-2) \nonumber$

con las condiciones iniciales$$y(0)=0$$ y$$y(1)=1$$. El resultado es un crecimiento muy rápido en la secuencia. Es por ello que no abrimos cajas negras.

## Resumen de ecuaciones de diferencia de coeficiente constante lineal

Las ecuaciones de diferencia son una herramienta matemática importante para modelar sistemas de tiempo discretos. Una subclase importante de estos es la clase de ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales. Las ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales son a menudo particularmente fáciles de resolver como se describirá en el módulo sobre soluciones a ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes lineales y son útiles para describir una amplia gama de situaciones que surgen en la ingeniería eléctrica y en otros campos.

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