5.1: Introducción al Análisis de Fourier

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 86491

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Salto atrevido de Fourier

Fourier postuló alrededor de 1807 que cualquier señal periódica (señal de longitud equivalente finita) se puede construir como una combinación lineal infinita de ondas sinusoidales armónicas.

es decir, dada la colección

\[B=\left\{e^{j \frac{2 \pi}{T} n t}\right\}_{n=-\infty}^{\infty} \nonumber \]

cualquier

\[f(t) \in L^{2}[0, T) \nonumber \]

puede aproximarse arbitrariamente de cerca

\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n} e^{j \frac{2 \pi}{T} n t}. \nonumber \]

Ahora, El tema de la convergencia exacta sí trajo a Fourier muchas críticas de la Academia Francesa de Ciencias (Laplace, Lagrange, Monge y LaCroix conformaron el comité de revisión) durante varios años después de su presentación en 1807. No se resolvió por también un siglo, y su resolución es interesante e importante de entender desde un punto de vista práctico. Ver más en la sección sobre Fenómenos de Gibbs.

El análisis de Fourier es fundamental para comprender el comportamiento de señales y sistemas. Esto es resultado de que los sinusoides son funciones propias (Sección 14.5) de sistemas lineales invariables en el tiempo (LTI) (Sección 2.2). Es decir que si pasamos alguna sinusoide en particular a través de un sistema LTI, obtenemos una versión escalada de esa misma sinusoide en la salida. Entonces, dado que el análisis de Fourier nos permite redefinir las señales en términos de sinusoides, todo lo que necesitamos hacer es determinar cómo un sistema dado efectúa todas las sinusoides posibles (su función de transferencia) y tenemos una comprensión completa del sistema. Además, dado que somos capaces de definir el paso de sinusoides a través de un sistema como multiplicación de esa sinusoide por la función de transferencia a la misma frecuencia, podemos convertir el paso de cualquier señal a través de un sistema de convolución (Sección 3.4) (en tiempo) a multiplicación (en frecuencia). Estas ideas son las que dan su poder al análisis de Fourier.

Ahora, después de ojalá haberle vendido el valor de este método de análisis, debemos examinar exactamente a qué nos referimos con análisis de Fourier. Las cuatro transformadas de Fourier que componen este análisis son la Serie de Fourier, la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo (Sección 8.2), la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (Sección 9.2) y la Transformada Discreta de Fourier. Para este documento, veremos la Transformada de Laplace (Sección 11.1) y la Transformación Z como simplemente extensiones del CTFT y DTFT respectivamente. Todas estas transformaciones actúan esencialmente de la misma manera, al convertir una señal en el tiempo a una señal equivalente en frecuencia (sinusoides). Sin embargo, dependiendo de la naturaleza de una señal específica, es decir, si es de longitud finita o infinita y si es de tiempo discreto o continuo) hay una transformación apropiada para convertir la señal en el dominio de frecuencia. A continuación se muestra una tabla de las cuatro transformaciones de Fourier y cuando cada una es apropiada. También incluye la convolución relevante para el espacio especificado.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Tabla de representaciones de Fourier
Transformar	Dominio del Tiempo	Dominio de frecuencia	Convolución
Serie de Fourier en Tiempo Continuo	\(L^2([0,T))\)	\(l^{2}(\mathbb{Z})\)	Circular de Tiempo Continuo
Transformada de Fourier en Tiempo Continuo	\(L^2(\mathbb{R})\)	\(L^{2}(\mathbb{R})\)	Lineal de Tiempo Continuo
Transformada de Fourier en Tiempo Discreto	\(l^{2}(\mathbb{Z})\)	\(L^{2}([0,2 \pi))\)	Lineal de Tiempo Discreto
Transformada discreta de Fourier	\(l^{2}([0, N-1])\)	\(l^{2}([0, N-1])\)	Circular de Tiempo Discreto