6.1: Señales Periódicas de Tiempo Continuo

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Introducción

Este módulo describe el tipo de señales sobre las que actúa la serie de tiempo continuo de Fourier.

Espacios Relevantes

La Serie de Fourier de Tiempo Continuo mapea señales de longitud finita (o\(T\) -periódica), tiempo continuo en\(L^2\) longitud infinita, señales de frecuencia discreta en\(l^2\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Mapeo\(L^2([0, T))\) en el dominio del tiempo a\(l^2(\mathbb{Z})\) en el dominio de frecuencia.

Señales Periódicas

Cuando una función se repite exactamente después de algún periodo, o ciclo dado, decimos que es periódica. Una función periódica puede definirse matemáticamente como:

\[ f(t)=f(t+m T) \forall m:(m \in \mathbb{Z}) \label{6.1} \]

donde\(T>0\) representa el periodo fundamental de la señal, que es el valor positivo más pequeño de\(T\) para que la señal se repita. Debido a esto, es posible que también vea una señal denominada señal\(T\) -periódica. Se dice que cualquier función que satisfaga esta ecuación es periódica con el periodo T.

Podemos pensar en funciones periódicas (con punto\(T\)) de dos maneras diferentes:

como funciones en todos\(\mathbb{R}\)

Figura\(\PageIndex{1}\): Función periódica de tiempo continuo sobre todo\(\mathbb{R}\) donde\(f(t_0) = f(t_0+T)\)
o, podemos cortar toda la redundancia, y pensar en ellas como funciones en un intervalo\([0,T]\) (o, más generalmente,\([a,a+T]\)). Si sabemos que la señal es\(T\) -periódica entonces toda la información de la señal es capturada por el intervalo anterior.

Figura\(\PageIndex{2}\): Eliminar la redundancia de la función period para que\(f(t)\) quede indefinida afuera\([0,T]\).

Una función de TC aperiódica\(f(t)\), por otro lado, no se repite para ninguna\(T \in \mathbb{R}\); es decir, no existe\(T\) tal que la Ecuación\ ref {6.1} mantenga.

Demostración

Aquí hay un ejemplo que demuestra una señal sinusoidal periódica con varias frecuencias, amplitudes y retardos de fase:

SinDrillDemo — Figura\(\PageIndex{3}\): Interactuar (cuando esté en línea) con un CDF de Mathematica demostrando una Señal Sinusoidal Periódica con varias frecuencias, amplitudes y retardos de fase. Para descargar, haga clic derecho y guarde el archivo como .cdf.

Para conocer el concepto completo detrás de la periodicidad, vea el video a continuación.

Conferencia Khan sobre Señales Periódicas

video

Khan Academy

Conclusión

Una señal periódica está completamente definida por sus valores en un periodo, como el intervalo\([0,T]\).