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6.4: Propiedades del CTFS

  • Page ID
    86533
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    Introducción

    En este módulo discutiremos las propiedades básicas de la Serie de Fourier de Tiempo Continuo. Comenzaremos refrescando su memoria de nuestras ecuaciones básicas de la serie de Fourier:

    \[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]

    \[c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber \]

    Dejar\(\mathscr{F}(\cdot)\) denotar la transformación de\(f(t)\) a los coeficientes de Fourier

    \[\mathscr{F}(f(t))=\forall n, n \in \mathbb{Z}:\left(c_{n}\right) \nonumber \]

    \(\mathscr{F}(\cdot)\)mapea funciones complejas valoradas a secuencias de números complejos.

    Linealidad

    \(\mathscr{F}(\cdot)\)es una transformación lineal.

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Si\(\mathscr{F}(f(t))=c_{n}\) y\(\mathscr{F}(g(t))=d_{n}\). Entonces

    \[\forall \alpha, \alpha \in \mathbb{C}:\left(\mathscr{F}(\alpha f(t))=\alpha c_{n}\right) \nonumber \]

    y

    \[\mathscr{F}(f(t)+g(t))=c_{n}+d_{n} \nonumber \]

    Prueba

    Fácil. Justa linealidad de integral.

    \ [\ begin {align}
    \ mathscr {F} (f (t) +g (t)) &=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ left (\ int_ {0} ^ {T} (f (t) +g (t)) e^ {-\ left (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
    &=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ izquierda (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm { d} t+\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} g (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
    &=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ izquierda (c_ {n} +d_ {}\ derecha)\ nonumber\\
    &=c_ {n} +d_ {n}
    \ end {align}\ nonumber\]

    Desviación

    El desplazamiento en el tiempo equivale a un desplazamiento de fase de los coeficientes de Fourier.

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    \(\mathcal{F}\left(f\left(t-t_{0}\right)\right)=e^{-\left(j \omega_{0} n t_{0}\right)} c_{n}\)si\(c_{n}=\left|c_{n}\right| e^{j \angle\left(c_{n}\right)}\), entonces

    \[\left|e^{-\left(j \omega_{0} n t_{0}\right)} c_{n}\right|=\left|e^{-\left(j \omega_{0} n t_{0}\right)}\right|\left|c_{n}\right|=\left|c_{n}\right| \nonumber \]

    \[\angle\left(e^{-\left(i \omega_{0} t_{0} n\right)}\right)=\angle\left(c_{n}\right)-\omega_{0} t_{0} n \nonumber \]

    Prueba

    \ [\ begin {align}
    \ mathscr {F}\ left (f\ left (t-t_ {0}\ right)\ right) &=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ left (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f\ left (t-t_ {0}\ right) e^ {-\ left (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
    &=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ left (\ frac {1} {T}\ int_ {-t_ {0}} ^ { t-t_ {0}} f\ izquierda (t-t_ {0}\ derecha) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n\ izquierda (t-t_ {0}\ derecha)\ derecha)} e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t_ {0}\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
    =\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ izquierda (\ frac {1} {T}\ int_ {-t_ {0}} ^ {t-t_ {0}} f (\ tilde {t}) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n\ tilde {t}\ derecha)} e^ {-\ izquierda (j \ omega_ {0} n t_ {0}\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
    &=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ izquierda (e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n\ tilde {t}\ derecha)} c_ {n}\ derecha)
    \ end {nonalign}\ umber\]

    Relación de Parseval

    \[\int_{0}^{T}(|f(t)|)^{2} \mathrm{d} t=T \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2} \nonumber \]

    La relación de Parseval nos dice que la energía de una señal es igual a la energía de su transformada de Fourier.

    Nota

    Parseval nos dice que la serie de Fourier se mapea\(L^2([0,T])\) a\(l^2(\mathbb{Z})\).

    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \(f(t)\)Para tener “energía finita”, ¿cómo\(c_n\) hacen los\(n \rightarrow \infty\)?

    Contestar

    \(\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}<\infty\)para\(f(t)\) tener energía finita.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Si\(\forall n,|n|>0:\left(c_{n}=\frac{1}{n}\right)\), ¿es\(f \in L^{2}([0, T])\)?

    Contestar

    Sí, porque\(\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}=\frac{1}{n}\), que es sumable.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Ahora bien,\(\forall n,|n|>0:\left(c_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) ¿si es\(f \in L^{2}([0, T])\)?

    Contestar

    No, porque\(\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}=\frac{1}{n}\), que no es sumable.

    La tasa de decaimiento de la serie de Fourier determina si\(f(t)\) tiene energía finita.

    Demostración del teorema de los análisis

    ParsevalsDemo
    Figura\(\PageIndex{2}\): Interactuar (cuando esté en línea) con un CDF de Mathematica demostrando Teorema de Análisis. Para descargar, haga clic derecho y guarde el archivo como .cdf.

    Propiedades de simetría

    Regla\(\PageIndex{1}\): Even Signals

    Señales pares

    \ (\ begin {array} {l}
    f (t) =f (-t)\\
    \ izquierda\ |c_ {n}\ derecha\ |=\ izquierda\ |c_ {-n}\ derecha\ |
    \ fin {array}\)

    Prueba

    \ (\ begin {array} {l}
    c_ {n} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ exp\ left (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\
    =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
    =\ frac { 1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (-t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (-t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
    =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ izquierda [\ exp\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha)\ derecha] d t\\
    =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) 2\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} n t\ derecha) d t
    \ end {array}\)

    Regla\(\PageIndex{2}\): Odd Signals

    Señales impares

    \ (\ begin {array} {l}
    f (t) =-f (-t)\\
    c_ {n} =c_ {-n} ^ {*}
    \ end {array}\)

    Prueba

    \ (\ begin {array} {l}
    c_ {n} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ exp\ left (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\
    =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (f)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
    =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t-\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (-t)\ exp\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
    =-\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ izquierda [\ exp\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t-\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha)\ derecha] d t\\
    =-\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) 2 j\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} n t\ derecha) d t
    \ end {array}\)

    Regla\(\PageIndex{3}\): Real Signals

    Señales Reales

    \ (\ begin {array} {l}
    f (t) =f^ {*} (t)\\
    c_ {n} =c_ {-n} ^ {*}
    \ end {array}\)

    Prueba

    \ (\ begin {array} {l}
    c_ {n} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ exp\ left (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\
    =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
    =\ frac { 1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (-t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (-t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
    =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ izquierda [\ exp\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha)\ derecha] d t\\
    =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) 2\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} n t\ derecha) d t
    \ end {array}\)

    Diferenciación en el Dominio de Fourier

    \[\left(\mathcal{F}(f(t))=c_{n}\right) \Rightarrow\left(\mathcal{F}\left(\frac{d f(t)}{d t}\right)=j n \omega_{0} c_{n}\right) \nonumber \]

    Desde

    \[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]

    entonces

    \ [\ begin {align}
    \ frac {d} {dt} f (t) &=\ suma_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {n}\ frac {d e^ {j\ omega_0 n t}} {d t}\ nonumber\\
    &=\ suma_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {} j\ omega_ {0} n e^ {i\ omega_ {0} n t}
    \ end {align}\ nonumber\]

    Un diferenciador atenúa las frecuencias bajas\(f(t)\) y acentúa las frecuencias altas. Elimina tendencias generales y acentúa áreas de fuerte variación.

    Nota

    Una forma común de medir matemáticamente la suavidad de una función\(f(t)\) es ver cuántas derivadas son energía finita.

    Esto se hace observando los coeficientes de Fourier de la señal, específicamente qué tan rápido decaen como\(n \rightarrow \infty\). Si\(\mathscr{F}(f(t))=c_{n}\) y\(|c_n|\) tiene la forma\(\frac{1}{n^k}\), entonces\(\mathscr{F}\left(\frac{\mathrm{d}^{m} f(t)}{\mathrm{d} t^{m}}\right)=\left(j n \omega_{0}\right)^{m} c_{n}\) y tiene la forma\(\frac{n^m}{n^k}\). Entonces, para que el derivado\(m\) th tenga energía finita, necesitamos

    \[\sum_{n}\left(\left|\frac{n^{m}}{n^{k}}\right|\right)^{2}<\infty \nonumber \]

    \(\frac{n^m}{n^k}\)decae más rápido de\(\frac{1}{n}\) lo que implica que

    \[2k−2m>1 \nonumber \]

    o

    \[k>\frac{2m+1}{2} \nonumber \]

    Así, la tasa de decaimiento de la serie de Fourier dicta la suavidad.

    Demostración de diferenciación de Fourier

    FourierDiffDemo
    Figura\(\PageIndex{3}\): Interactuar (cuando está en línea) con un CDF de Mathematica demostrando Diferenciación en el Dominio de Fourier. Para descargar, haga clic derecho y guarde el archivo como .cdf.

    Integración en el dominio de Fourier

    Si

    \[\mathscr{F}(f(t))=c_{n} \nonumber \]

    entonces

    \[\mathscr{F}\left(\int_{-\infty}^{t} f(\tau) \mathrm{d} \tau\right)=\frac{1}{j \omega_{0} n} c_{n} \nonumber \]

    Nota

    Si\(c_{0} \neq 0\), esta expresión no tiene sentido.

    La integración acentúa las bajas frecuencias y atenúa las frecuencias altas. Los integradores sacan a relucir las tendencias generales en las señales y suprimen la variación a corto plazo (que en muchos casos es ruido). Los integradores son mucho más agradables que los diferenciadores.

    Demostración de integración de Fourier

    FourieRintDemo
    Figura\(\PageIndex{4}\): Interactuar (cuando esté en línea) con un CDF de Mathematica demostrando Integración en el Dominio de Fourier. Para descargar, haga clic derecho y guarde el archivo como .cdf.

    Multiplicación y convolución de señales

    Dada una señal\(f(t)\) con coeficientes de Fourier\(c_n\) y una señal\(g(t)\) con coeficientes de Fourier\(d_n\), podemos definir una nueva señal,\(y(t)\), donde\(y(t)=f(t)g(t)\). Encontramos que la representación de la Serie de Fourier de\(y(t)\)\(e_n\),, es tal que\(e_{n}=\sum_{i=-\infty}^{\infty} c_{k} d_{n-k}\). Esto quiere decir que la multiplicación de señal en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución de señal en el dominio de frecuencia, y viceversa: la multiplicación de señal en el dominio de frecuencia es equivalente a la convolución de señal en el dominio del tiempo. La prueba de ello es la siguiente

    \ [\ begin {align}
    e_ {n} &=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) g (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
    &=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {^ T}\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {k} e^ {j\ omega_ {0} k t} g (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {k}\ izquierda (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} g (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} (n-k) t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
    &= _ {k=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {k} d_ {n-k}
    \ end {align}\ nonumber\]

    para más detalles, consulte la sección sobre Convolución de la señal y el CTFS (Sección 4.3).

    Conclusión

    Al igual que otras transformadas de Fourier, el CTFS tiene muchas propiedades útiles, incluyendo linealidad, igual energía en los dominios de tiempo y frecuencia, y análogos para desplazamiento, diferenciación e integración.

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Propiedades del CTFS
    Propiedad Señal CTFS
    Linealidad \(a x(t)+b y(t)\) \(a X(f)+b Y(f)\)
    Cambio de tiempo \(x(t-\tau)\) \(X(f) e^{-j 2 \pi f \tau / T}\)
    Modulación de tiempo \(x(t) e^{j 2 \pi f \tau / T}\) \(X(f-k)\)
    Multiplicación \(x(t)y(t)\) \(X(f)*Y(f)\)
    Convolución Continua \(x(t)*y(t)\) \(X(f)Y(f)\)

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