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## Introducción

En este módulo discutiremos las propiedades básicas de la Serie de Fourier de Tiempo Continuo. Comenzaremos refrescando su memoria de nuestras ecuaciones básicas de la serie de Fourier:

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber$

$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber$

Dejar$$\mathscr{F}(\cdot)$$ denotar la transformación de$$f(t)$$ a los coeficientes de Fourier

$\mathscr{F}(f(t))=\forall n, n \in \mathbb{Z}:\left(c_{n}\right) \nonumber$

$$\mathscr{F}(\cdot)$$mapea funciones complejas valoradas a secuencias de números complejos.

$$\mathscr{F}(\cdot)$$es una transformación lineal.

Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si$$\mathscr{F}(f(t))=c_{n}$$ y$$\mathscr{F}(g(t))=d_{n}$$. Entonces

$\forall \alpha, \alpha \in \mathbb{C}:\left(\mathscr{F}(\alpha f(t))=\alpha c_{n}\right) \nonumber$

y

$\mathscr{F}(f(t)+g(t))=c_{n}+d_{n} \nonumber$

Prueba

\ [\ begin {align}
\ mathscr {F} (f (t) +g (t)) &=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ left (\ int_ {0} ^ {T} (f (t) +g (t)) e^ {-\ left (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
&=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ izquierda (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm { d} t+\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} g (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
&=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ izquierda (c_ {n} +d_ {}\ derecha)\ nonumber\\
&=c_ {n} +d_ {n}
\ end {align}\ nonumber\]

## Desviación

El desplazamiento en el tiempo equivale a un desplazamiento de fase de los coeficientes de Fourier.

Teorema$$\PageIndex{2}$$

$$\mathcal{F}\left(f\left(t-t_{0}\right)\right)=e^{-\left(j \omega_{0} n t_{0}\right)} c_{n}$$si$$c_{n}=\left|c_{n}\right| e^{j \angle\left(c_{n}\right)}$$, entonces

$\left|e^{-\left(j \omega_{0} n t_{0}\right)} c_{n}\right|=\left|e^{-\left(j \omega_{0} n t_{0}\right)}\right|\left|c_{n}\right|=\left|c_{n}\right| \nonumber$

$\angle\left(e^{-\left(i \omega_{0} t_{0} n\right)}\right)=\angle\left(c_{n}\right)-\omega_{0} t_{0} n \nonumber$

Prueba

\ [\ begin {align}
\ mathscr {F}\ left (f\ left (t-t_ {0}\ right)\ right) &=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ left (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f\ left (t-t_ {0}\ right) e^ {-\ left (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
&=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ left (\ frac {1} {T}\ int_ {-t_ {0}} ^ { t-t_ {0}} f\ izquierda (t-t_ {0}\ derecha) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n\ izquierda (t-t_ {0}\ derecha)\ derecha)} e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t_ {0}\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ izquierda (\ frac {1} {T}\ int_ {-t_ {0}} ^ {t-t_ {0}} f (\ tilde {t}) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n\ tilde {t}\ derecha)} e^ {-\ izquierda (j \ omega_ {0} n t_ {0}\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
&=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ izquierda (e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n\ tilde {t}\ derecha)} c_ {n}\ derecha)
\ end {nonalign}\ umber\]

## Relación de Parseval

$\int_{0}^{T}(|f(t)|)^{2} \mathrm{d} t=T \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2} \nonumber$

La relación de Parseval nos dice que la energía de una señal es igual a la energía de su transformada de Fourier.

Nota

Parseval nos dice que la serie de Fourier se mapea$$L^2([0,T])$$ a$$l^2(\mathbb{Z})$$.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

$$f(t)$$Para tener “energía finita”, ¿cómo$$c_n$$ hacen los$$n \rightarrow \infty$$?

Contestar

$$\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}<\infty$$para$$f(t)$$ tener energía finita.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Si$$\forall n,|n|>0:\left(c_{n}=\frac{1}{n}\right)$$, ¿es$$f \in L^{2}([0, T])$$?

Contestar

Sí, porque$$\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}=\frac{1}{n}$$, que es sumable.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Ahora bien,$$\forall n,|n|>0:\left(c_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$ ¿si es$$f \in L^{2}([0, T])$$?

Contestar

No, porque$$\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}=\frac{1}{n}$$, que no es sumable.

La tasa de decaimiento de la serie de Fourier determina si$$f(t)$$ tiene energía finita.

## Demostración del teorema de los análisis

Regla$$\PageIndex{1}$$: Even Signals

Señales pares

\ (\ begin {array} {l}
f (t) =f (-t)\\
\ izquierda\ |c_ {n}\ derecha\ |=\ izquierda\ |c_ {-n}\ derecha\ |
\ fin {array}\)

Prueba

\ (\ begin {array} {l}
c_ {n} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ exp\ left (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
=\ frac { 1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (-t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (-t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ izquierda [\ exp\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha)\ derecha] d t\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) 2\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} n t\ derecha) d t
\ end {array}\)

Regla$$\PageIndex{2}$$: Odd Signals

Señales impares

\ (\ begin {array} {l}
f (t) =-f (-t)\\
c_ {n} =c_ {-n} ^ {*}
\ end {array}\)

Prueba

\ (\ begin {array} {l}
c_ {n} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ exp\ left (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (f)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t-\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (-t)\ exp\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
=-\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ izquierda [\ exp\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t-\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha)\ derecha] d t\\
=-\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) 2 j\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} n t\ derecha) d t
\ end {array}\)

Regla$$\PageIndex{3}$$: Real Signals

Señales Reales

\ (\ begin {array} {l}
f (t) =f^ {*} (t)\\
c_ {n} =c_ {-n} ^ {*}
\ end {array}\)

Prueba

\ (\ begin {array} {l}
c_ {n} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ exp\ left (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
=\ frac { 1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (-t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (-t)\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ izquierda [\ exp\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha) d t+\ exp\ izquierda (-j\ omega_ {0} n t\ derecha)\ derecha] d t\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) 2\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} n t\ derecha) d t
\ end {array}\)

## Diferenciación en el Dominio de Fourier

$\left(\mathcal{F}(f(t))=c_{n}\right) \Rightarrow\left(\mathcal{F}\left(\frac{d f(t)}{d t}\right)=j n \omega_{0} c_{n}\right) \nonumber$

Desde

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber$

entonces

\ [\ begin {align}
\ frac {d} {dt} f (t) &=\ suma_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {n}\ frac {d e^ {j\ omega_0 n t}} {d t}\ nonumber\\
&=\ suma_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {} j\ omega_ {0} n e^ {i\ omega_ {0} n t}
\ end {align}\ nonumber\]

Un diferenciador atenúa las frecuencias bajas$$f(t)$$ y acentúa las frecuencias altas. Elimina tendencias generales y acentúa áreas de fuerte variación.

Nota

Una forma común de medir matemáticamente la suavidad de una función$$f(t)$$ es ver cuántas derivadas son energía finita.

Esto se hace observando los coeficientes de Fourier de la señal, específicamente qué tan rápido decaen como$$n \rightarrow \infty$$. Si$$\mathscr{F}(f(t))=c_{n}$$ y$$|c_n|$$ tiene la forma$$\frac{1}{n^k}$$, entonces$$\mathscr{F}\left(\frac{\mathrm{d}^{m} f(t)}{\mathrm{d} t^{m}}\right)=\left(j n \omega_{0}\right)^{m} c_{n}$$ y tiene la forma$$\frac{n^m}{n^k}$$. Entonces, para que el derivado$$m$$ th tenga energía finita, necesitamos

$\sum_{n}\left(\left|\frac{n^{m}}{n^{k}}\right|\right)^{2}<\infty \nonumber$

$$\frac{n^m}{n^k}$$decae más rápido de$$\frac{1}{n}$$ lo que implica que

$2k−2m>1 \nonumber$

o

$k>\frac{2m+1}{2} \nonumber$

Así, la tasa de decaimiento de la serie de Fourier dicta la suavidad.

## Integración en el dominio de Fourier

Si

$\mathscr{F}(f(t))=c_{n} \nonumber$

entonces

$\mathscr{F}\left(\int_{-\infty}^{t} f(\tau) \mathrm{d} \tau\right)=\frac{1}{j \omega_{0} n} c_{n} \nonumber$

Nota

Si$$c_{0} \neq 0$$, esta expresión no tiene sentido.

La integración acentúa las bajas frecuencias y atenúa las frecuencias altas. Los integradores sacan a relucir las tendencias generales en las señales y suprimen la variación a corto plazo (que en muchos casos es ruido). Los integradores son mucho más agradables que los diferenciadores.

## Multiplicación y convolución de señales

Dada una señal$$f(t)$$ con coeficientes de Fourier$$c_n$$ y una señal$$g(t)$$ con coeficientes de Fourier$$d_n$$, podemos definir una nueva señal,$$y(t)$$, donde$$y(t)=f(t)g(t)$$. Encontramos que la representación de la Serie de Fourier de$$y(t)$$$$e_n$$,, es tal que$$e_{n}=\sum_{i=-\infty}^{\infty} c_{k} d_{n-k}$$. Esto quiere decir que la multiplicación de señal en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución de señal en el dominio de frecuencia, y viceversa: la multiplicación de señal en el dominio de frecuencia es equivalente a la convolución de señal en el dominio del tiempo. La prueba de ello es la siguiente

\ [\ begin {align}
e_ {n} &=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) g (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
&=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {^ T}\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {k} e^ {j\ omega_ {0} k t} g (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} n t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
&=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {k}\ izquierda (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} g (t) e^ {-\ izquierda (j\ omega_ {0} (n-k) t\ derecha)}\ mathrm {d} t\ derecha)\ nonumber\\
&= _ {k=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {k} d_ {n-k}
\ end {align}\ nonumber\]

para más detalles, consulte la sección sobre Convolución de la señal y el CTFS (Sección 4.3).

## Conclusión

Al igual que otras transformadas de Fourier, el CTFS tiene muchas propiedades útiles, incluyendo linealidad, igual energía en los dominios de tiempo y frecuencia, y análogos para desplazamiento, diferenciación e integración.

 Propiedad Señal CTFS Linealidad $$a x(t)+b y(t)$$ $$a X(f)+b Y(f)$$ Cambio de tiempo $$x(t-\tau)$$ $$X(f) e^{-j 2 \pi f \tau / T}$$ Modulación de tiempo $$x(t) e^{j 2 \pi f \tau / T}$$ $$X(f-k)$$ Multiplicación $$x(t)y(t)$$ $$X(f)*Y(f)$$ Convolución Continua $$x(t)*y(t)$$ $$X(f)Y(f)$$

This page titled 6.4: Propiedades del CTFS is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Baraniuk et al..