Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

7.2: Serie Discreta de Fourier de Tiempo (DTFS)

  • Page ID
    86493
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Introducción

    En este módulo, derivaremos una expansión para funciones periódicas de tiempo discreto y, al hacerlo, derivaremos la Serie Discreta de Fourier de Tiempo (DTFS), o la Transformada Discreta de Fourier (DFT).

    DTFS

    Análisis de función propia

    Dado que los exponenciales complejos (Sección 1.8) son funciones propias de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) (Sección 14.5), calcular la salida de un sistema LTI\(\mathscr{H}\) dado\(e^{j \omega n}\) como entrada equivale a multiplicación simple\(\omega_0 = \frac{2 \pi k}{N}\), dónde y dónde\(H[k] \in \mathbb{C}\) está el valor propio correspondiente a \(k\). Como se muestra en la figura, una entrada exponencial simple produciría la salida

    \[y[n]=H[k] e^{j \omega n} \nonumber \]

    Figura\(\PageIndex{1}\): Sistema LTI simple.

    Usando esto y el hecho de que\(\mathscr{H}\) es lineal, calcular\(y[n]\) para combinaciones de exponenciales complejos también es sencillo.

    \ [\ begin {array} {c}
    c_ {1} e^ {j\ omega_ {1} n} +c_ {2} e^ {j\ omega_ {2} n}\ fila derecha c_ {1} H\ izquierda [k_ {1}\ derecha] e^ {j\ omega_ {1} n} +c_ {2} H\ izquierda [k_ {2}\ derecha] e^ {j\ omega_ {1} n}\
    \ suma_ {l} c_ {l} e^ {j\ omega_ {1} n}\ fila derecha\ suma_ {l} c_ {l} H\ izquierda [k_ {l}\ derecha] e^ {j\ omega_ {l} n}
    \ end {array}\ nonumber\]

    La acción de\(H\) sobre una entrada como las de las dos ecuaciones anteriores es fácil de explicar. \(\mathscr{H}\)escala independientemente cada componente exponencial\(e^{j \omega_l n}\) por un número complejo diferente\(H\left[k_{l}\right] \in \mathbb{C}\). Como tal, si podemos escribir una función\(y[n]\) como una combinación de exponenciales complejos nos permite calcular fácilmente la salida de un sistema.

    Síntesis de DTFS

    Se puede demostrar que una función arbitraria de tiempo periódico discreto\(f[n]\) puede escribirse como una combinación lineal de sinusoides complejos armónicos

    \[f[n]=\sum_{k=0}^{N-1} c_{k} e^{j \omega_{0} k n} \label{7.3} \]

    donde\(\omega_0=\frac{2\pi}{N}\) está la frecuencia fundamental. Para casi todos los\(f[n]\) de interés práctico, existe\(c_n\) para hacer verdadera la Ecuación\ ref {7.3}. Si\(f[n]\) es energía finita (\(f[n] \in L^{2}[0, N]\)), entonces la igualdad en la Ecuación\ ref {7.3} se mantiene en el sentido de convergencia de energía; con señales de tiempo discreto, no hay preocupaciones por la divergencia como hay con las señales de tiempo continuo.

    Los\(c_n\) -llamados coeficientes de Fourier- nos dicen “cuánto” de la sinusoide\(e^{j \omega_{0} k n}\) se encuentra en\(f[n]\). La fórmula\(f[n]\) se muestra como una suma de exponenciales complejos, cada uno de los cuales es fácilmente procesado por un sistema LTI (ya que es una función propia de cada sistema LTI). Matemáticamente, nos dice que el conjunto de exponenciales complejos\(\left\{\forall k, k \in \mathbb{Z}:\left(e^{j \omega_{0} k n}\right)\right\}\) forman una base para el espacio de N-funciones de tiempo discretas periódicas.

    Demostración de síntesis de DFT

    ArmónicasSinusoidasDiscreteDemo
    Figura\(\PageIndex{2}\): Descargue o interactúe (cuando esté en línea) con un CDF de Mathematica que demuestre sinusoides armónicos discretos. Para descargar, haz clic derecho y guárdalo como .cdf.

    Análisis DTFS

    Digamos que tenemos el siguiente conjunto de números que describen una señal periódica de tiempo discreto, donde\(N=4\):

    \[\{\ldots, 3,2,-2,1,3, \ldots\} \nonumber \]

    Tal señal periódica de tiempo discreto (con periodo\(N\)) puede considerarse como un conjunto finito de números. Por ejemplo, podemos representar esta señal como una señal periódica o como un solo intervalo de la siguiente manera:

    (a)
    b)
    Figura\(\PageIndex{3}\): Aquí podemos observar solo un periodo de la señal que tiene una longitud vectorial de cuatro y está contenida en\(\mathbb{C}^4\). (a) Función periódica (b) Función en el intervalo\([0, T]\)

    Nota

    La cardinalidad del conjunto de señales de tiempo discretas con periodo\(N\) es igual\(\mathbb{C}^N\).

    Aquí, vamos a formar una base utilizando sinusoides armónicos. Antes de investigar esto, valdrá la pena mirar los sinusoides complejos de tiempo discreto con un poco más de detalle.

    Sinusoides Complejos

    Si estás familiarizado con la señal sinusoidal básica y con exponenciales complejos (Sección 1.8) entonces no deberías tener ningún problema para entender esta sección. En la mayoría de los textos, verá el tiempo discreto, sinusoide complejo señalado como:

    \[ e^{j \omega n} \nonumber \]

    Figura\(\PageIndex{4}\): Sinusoide complejo con frecuencia\(\omega = 0\)
    Figura\(\PageIndex{5}\): Sinusoide complejo con frecuencia\(\omega = \frac{\pi}{4}\)

    En el Plano Complejo

    La sinusoide compleja se puede mapear directamente en nuestro plano complejo, lo que nos permite visualizar fácilmente los cambios en la sinusoide compleja y extraer ciertas propiedades. El valor absoluto de nuestra sinusoide compleja tiene la siguiente característica:

    \[\left|e^{j \omega n}\right|=1, n \in \mathbb{R} \nonumber \]

    lo que dice que nuestra sinusoide compleja solo toma valores en el círculo unitario. En cuanto al ángulo, la siguiente afirmación es cierta:

    \[\angle\left(e^{j \omega n}\right)=w n \nonumber \]

    Para obtener más información, consulte la sección sobre el Exponencial Complejo de Tiempo Discreto para aprender sobre Aliasing, Frecuencias Negativas y la definición formal del Conjugado Complejo.

    Ahora que hemos mirado por encima de los conceptos de sinusoides complejos, volvamos a centrar nuestra atención en encontrar una base para señales periódicas de tiempo discreto. Después de mirar todas las sinusoides complejas, debemos responder a la pregunta de qué sinusoides de tiempo discreto necesitamos para representar secuencias periódicas con un periodo\(N\).

    Pregunta Equivalente

    Encuentra un conjunto de vectores\(\forall n, n=\{0, \ldots, N-1\}:\left(b_{k}=e^{j \omega_{k} n}\right)\) tales que\({b_k}\) sean una base para\(\mathbb{C}^n\)

    En respuesta a la pregunta anterior, probemos las sinusoides “armónicas” con una frecuencia fundamental\(\omega_{0}=\frac{2 \pi}{N}\):

    Sinusoide armónico

    \[e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \nonumber \]

    (a)
    b)
    c)
    Figura\(\PageIndex{6}\): Ejemplos de nuestros sinusoides armónicos (a) Sinusoide armónico con\(k=0\) (b) Imaginary part of sinusoid, \(\operatorname{Im}\left(e^{j \frac{2 \pi}{N} 1 n}\right)\), wit h\(k=1\) (c) Parte imaginaria de sinusoide,\(\operatorname{Im}\left(e^{j \frac{2 \pi}{N} 2 n}\right)\), con\(k=2\)

    \(e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\)es periódico con periodo\(N\) y tiene\(k\) “ciclos” entre\(n=0\) y\(n=N−1\).

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Si dejamos

    \[b_{k}[n]=\frac{1}{\sqrt{N}} e^{j \frac{2\pi}{N} k n}, \quad n=\{0, \ldots, N-1\} \nonumber \]

    donde el término exponencial es un vector en\(\mathbb{C}^N\), entonces\(\left.\left\{b_{k}\right\}\right|_{k=\{0, \ldots, N-1\}}\) es una base ortonormal (Sección 15.8) para\(\mathbb{C}^N\).

    Prueba

    En primer lugar, debemos demostrar que\({bk}\) es ortonormal, i.e.\(\langle b_{k}, b_{l}\rangle=\delta_{k l}\)

    \[\langle b_{k}, b_{l} \rangle=\sum_{n=0}^{N-1} b_{k}[n] b_{l}[n]^{*}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} e^{-\left(j \frac{2 \pi}{N} l n\right)} \nonumber \]

    \[\langle b_{k}, b_{l}\rangle=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k) n} \nonumber \]

    Si\(l=k\), entonces

    \ [\ begin {align}
    \ izquierda\ langle b_ {k}, b_ {l}\ derecha\ rangle &=\ frac {1} {N}\ suma_ {n=0} ^ {N-1} 1\ nonumber\\
    &=1
    \ end {align}\ nonumber\]

    Si\(l \neq k\) entonces debemos usar la “fórmula de suma parcial” que se muestra a continuación:

    \[\sum_{n=0}^{N-1} \alpha^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \alpha^{n}-\sum_{n=N}^{\infty} \alpha^{n}=\frac{1}{1-\alpha}-\frac{\alpha^{N}}{1-\alpha}=\frac{1-\alpha^{N}}{1-\alpha} \nonumber \]

    \[\langle b_{k}, b_{l}\rangle=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k) n} \nonumber \]

    donde en la ecuación anterior podemos decir eso\(\alpha=e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k)}\), y así podemos ver cómo es esto en la forma necesaria para utilizar nuestra fórmula de suma parcial.

    \[ \langle b_{k}, b_{l}\rangle=\frac{1}{N} \frac{1-e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k) N}}{1-e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k)}}=\frac{1}{N} \frac{1-1}{1-e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k)}}=0\nonumber \]

    Entonces,

    \ [\ langle b_ {k}, b_ {l}\ rangle=\ left\ {\ begin {array} {ll}
    1 &\ text {if} k=l\\
    0 &\ text {if} k\ neq l
    \ end {array}\ right. \ nonumber\]

    Por lo tanto:\({b_k}\) es un conjunto ortonormal. \({b_k}\)es también una base (Sección 14.1), ya que existen\(N\) vectores que son linealmente independientes (Sección 14.1 - Independencia lineal) (la ortogonalidad implica independencia lineal).

    Y finalmente, hemos demostrado que los sinusoides armónicos\(\left\{\frac{1}{\sqrt{N}} e^{j \frac{2 \pi}{N} k n}\right\}\) forman una base ortonormal para\(\mathbb{C}^n\)

    Extensión Periódica a DTFS

    Ahora que tenemos una comprensión de la serie de Fourier de tiempo discreto (DTFS), podemos considerar la extensión periódica de\(c[k]\) (los coeficientes de Fourier de tiempo discreto). La figura\(\PageIndex{7}\) muestra una simple ilustración de cómo podemos representar una secuencia como una señal periódica mapeada a lo largo de un número infinito de intervalos.

    (a)
    b)
    Figura\(\PageIndex{7}\): (a) vectores (b) secuencias periódicas

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    ¿Por qué tiene\(c[k]\) sentido una extensión periódica (Sección 6.1) a los coeficientes DTFS?

    Contestar

    Aliasing:\(b_k = e^{j\frac{2\pi}{N} kn}\)

    \ [\ begin {align}
    b_ {k+n} &=e^ {j\ frac {2\ pi} {N} (k+n) n}\ nonumber\\
    &=e^ {j\ frac {2\ pi} {N} k n} e^ {j 2\ pi n}\ nonumber\\
    &=e^ {j\ frac {2\ pi} N} n}\ nonumber\\
    &=b_ {k}
    \ end {align}\ nonumber\]

    Ejemplos

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Discrete Time Square Wave

    Figura\(\PageIndex{8}\)

    el DTFS\(c[k]\) usando:

    \[c[k]=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\left(j \frac{2 \kappa}{N} k n\right)} \nonumber \]

    Al igual que las series de tiempo continuo de Fourier, podemos tomar la suma sobre cualquier intervalo, así que tenemos

    \[c_{k}=\frac{1}{N} \sum_{n=-N_{1}}^{N_{1}} e^{-\left(j \frac{2 \pi}{N} k n\right)} \nonumber \]

    Let\(m=n+N_1\) (para que podamos obtener una serie geométrica a partir de 0)

    \[\sum_{n=0}^{M} a^{n}=\frac{1-a^{M+1}}{1-a} \nonumber \]

    \ [\ begin {align}
    c_ {k} &=\ frac {1} {N} e^ {j\ frac {2\ pi} {N} N_ {1} k}\ suma_ {m=0} ^ {2 N_ {1}}\ izquierda (e^ {-\ izquierda (j\ frac {2 r} {N} k\ derecha)}\ derecha) ^ {m}\ nonumber\\
    &=\ frac {1} {N} e^ {j\ frac {2\ pi} {N} N_ {1} k}\ frac {\ izquierda.1-e^ {-\ izquierda (j\ frac {2\ pi} {N}\ izquierda (2 N_ {1} +1\ derecha)\ derecha.} \ derecha)} {1-e^ {-\ izquierda (j k\ frac {2\ pi} {N}\ derecha)}}
    \ end {align}\ nonumber\]

    Ahora, usando la “fórmula de suma parcial”

    \[\sum_{n=0}^{M} a^{n}=\frac{1-a^{M+1}}{1-a} \nonumber \]

    \ [\ begin {align}
    c_ {k} &=\ frac {1} {N} e^ {j\ frac {2\ pi} {N} N_ {1} k}\ suma_ {m=0} ^ {2 N_ {1}}\ izquierda (e^ {-\ izquierda (j\ frac {2\ pi} {N} k\ derecha)}\ derecha) ^ {m}\ nonumber\\
    &=\ frac {1} {N} e^ {j\ frac {2\ pi} {N} N_ {1} k}\ frac {\ izquierda.1-e^ {-\ izquierda (j\ frac {2\ pi} {N}\ izquierda (2 N_ {1} +1\ derecha)\ derecha.} \ derecha)} {1-e^ {-\ izquierda (j k\ frac {2\ pi} {N}\ derecha)}}
    \ end {align}\ nonumber\]

    Manipule para que esto parezca una función sinc (distribuir):

    \ [\ begin {align}
    c_ {k} &=\ frac {1} {N}\ frac {e^ {-\ left (j k\ frac {2\ pi} {2 N}\ derecha)}\ izquierda (e^ {j k\ frac {2\ pi} {N}\ izquierda (N_ {1} +\ frac {1} {2}\ derecha)} -e^ {-\ izquierda (j k\ frac {2\ pi} {N}\ izquierda (N_ {1} +\ frac {1} {2}\ derecha)\ derecha)}\ derecha)} {e^ {-\ izquierda (j k\ frac {2\ pi} {2 N}\ derecha)}\ izquierda (e^ {j k\ frac {2\ pi} {}\ frac {1} {2 }} -e^ {-\ izquierda (j k\ frac {2\ pi} {N}\ frac {1} {2}\ derecha)}\ derecha)}\ nonumber\\
    &=\ frac {1} {N}\ frac {\ sin\ izquierda (\ frac {2\ pi k\ izquierda (N_ {1} +\ frac {1} {2} derecha)} {N}\ derecha)} {\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi k} {N}\ derecha)}\ nonumber\\
    &=\ texto {sinc digital}
    \ end {align}\ nonumber\]

    Nota

    ¡Es periódico! Figura\(\PageIndex{9}\), Figura\(\PageIndex{10}\), y Figura\(\PageIndex{11}\) cómo nuestra función anterior y coeficientes para diversos valores de\(N_1\).

    (a)
    b)
    Figura\(\PageIndex{9}\):\(N_1 = 1\) (a) Gráfica de\(f[n]\). b) Parcela de\(c[k]\)
    (a)
    b)
    Figura\(\PageIndex{10}\):\(N_1 = 3\) (a) Gráfica de\(f[n]\). (b) Parcela de\(c[k]\).
    (a)
    b)
    Figura\(\PageIndex{11}\):\(N_1 = 7\) (a) Gráfica de\(f[n]\). (b) Parcela de\(c[k]\).

    Conclusión del DTFS

    Utilizando los pasos mostrados anteriormente en la derivación y nuestra comprensión previa de Espacios Hilbert (Sección 15.4) y Expansiones Ortogonales (Sección 15.9), el resto de la derivación es automática. Dada una señal periódica de tiempo discreto (vector in\(\mathbb{C}^n\))\(f[n]\), podemos escribir:

    \[f[n]=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} c_{k} e^{j \frac{2 \pi}{w} k n} \nonumber \]

    \[c_{k}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-(j \frac{2\pi}{N}k n)} \nonumber \]

    Nota: La mayoría de la gente recoge tanto los\(\frac{1}{\sqrt{N}}\) términos en la expresión para\(c_k\).

    Serie de Fourier de Tiempo Discreto

    Aquí está la forma común del DTFS con la nota anterior tomada en cuenta:

    \[f[n]=\sum_{k=0}^{N-1} c_{k} e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \nonumber \]

    \[c_{k}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\left(j \frac{2 \pi}{N} k n\right)} \nonumber \]

    Esto es lo que hace el\(\texttt{fft}\) comando en MATLAB.


    This page titled 7.2: Serie Discreta de Fourier de Tiempo (DTFS) is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Baraniuk et al..