8.2: Transformada de Fourier de Tiempo Continuo (CTFT)
- Page ID
- 86357
Introducción
En este módulo, derivaremos una expansión para cualquier función arbitraria de tiempo continuo, y al hacerlo, derivaremos la Transformada de Fourier de Tiempo Continuo (CTFT).
Dado que los exponenciales complejos (Sección 1.8) son funciones propias de sistemas lineales invariables en el tiempo (LTI) (Sección 14.5), calcular la salida de un sistema LTI\(\mathscr{H}\) dado\(e^{st}\) como entrada equivale a multiplicación simple, donde\(H(s) \in \mathbb{C}\) corresponde el valor propio\(s\). Como se muestra en la figura, una entrada exponencial simple produciría la salida
\[y(t)=H(s) e^{s t} \nonumber \]
Usando esto y el hecho de que\(\mathscr{H}\) es lineal, calcular\(y(t)\) para combinaciones de exponenciales complejos también es sencillo.
\ [\ begin {array} {c}
c_ {1} e^ {s_ {1} t} +c_ {2} e^ {s_ {2} t}\ fila derecha c_ {1} H\ izquierda (s_ {1}\ derecha) e^ {s_ {1} t} +c_ {2} H\ izquierda (s_ {2}\ derecha) e^ {s^ {_ {2} t}\\
\ suma_ {n} c_ {n} e^ {s_ {n} t}\ fila derecha\ suma_ {n} c_ {n} H\ izquierda (s_ {n}\ derecha) e^ {s_ {n} t}
\ final {array}\ nonumber\]
La acción de\(H\) sobre una entrada como las de las dos ecuaciones anteriores es fácil de explicar. \(\mathscr{H}\)escala independientemente cada componente exponencial\(e^{s_nt}\) por un número complejo diferente\(H(s_n) \in \mathbb{C}\). Como tal, si podemos escribir una función\(f(t)\) como una combinación de exponenciales complejos nos permite calcular fácilmente la salida de un sistema.
Ahora, buscaremos usar el poder de exponenciales complejos para ver cómo podemos representar señales arbitrarias en términos de un conjunto de funciones más simples por superposición de una serie de exponenciales complejos. A continuación presentaremos la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo (CTFT), comúnmente conocida como solo la Transformada de Fourier (FT). Debido a que el CTFT se ocupa de las señales no periódicas, debemos encontrar la manera de incluir todas las frecuencias reales en las ecuaciones generales. Para el CTFT simplemente utilizamos la integración sobre números reales en lugar de la suma sobre números enteros para expresar las señales aperiódicas.
Síntesis de Transformada de Fourier
Joseph Fourier demostró que una arbitraria\(s(t)\) puede escribirse como una combinación lineal de sinusoides complejos armónicos
\[s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \label{8.3} \]
donde\(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\) está la frecuencia fundamental. Para casi todos los\(s(t)\) de interés práctico, existe\(c_n\) para hacer verdadera la Ecuación\ ref {8.3}. Si\(s(t)\) es energía finita (\(s(t) \in L^2 \: [0,T]\)), entonces la igualdad en la Ecuación\ ref {8.3} se mantiene en el sentido de convergencia de energía; si\(s(t)\) es continua, entonces la Ecuación\ ref {8.3} se mantiene puntual. Además, si\(s(t)\) cumple algunas condiciones suaves (las condiciones de Dirichlet), entonces la Ecuación\ ref {8.3} se mantiene puntual en todas partes excepto en los puntos de discontinuidad.
Los\(c_n\) -llamados coeficientes de Fourier- nos dicen “cuánto” de la sinusoide\(e^{j \omega_{0} n t}\) está en\(s(t)\). La fórmula\(s(t)\) se muestra como una suma de exponenciales complejos, cada uno de los cuales es fácilmente procesado por un sistema LTI (ya que es una función propia de cada sistema LTI). Matemáticamente, nos dice que el conjunto de exponenciales complejos\(\left\{e^{j \omega_{0} n t}, \quad n \in \mathbb{Z}\right\}\) forman una base para el espacio de las funciones de tiempo continuo T-periódicas.
Ecuaciones
Ahora bien, para tomar esta útil herramienta y aplicarla a señales arbitrarias no periódicas, tendremos que profundizar en el uso del principio de superposición. Dejar\(s_T(t)\) ser una señal periódica teniendo periodo\(T\). Queremos considerar qué sucede con el espectro de esta señal a medida que el periodo va hasta el infinito. Denotamos el espectro para cualquier valor supuesto del periodo por\(c_n(T)\). Calculamos el espectro de acuerdo con la fórmula de Fourier para una señal periódica, conocida como la Serie de Fourier (para más información sobre esta derivación, consulte la sección sobre Serie de Fourier.)
\[c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} s(t) \exp \left(-j \omega_{0} t\right) d t \nonumber \]
donde\(\omega_0 = \frac{2 \pi}{T}\) y donde hemos utilizado una colocación simétrica del intervalo de integración sobre el origen para su posterior conveniencia derivacional. Variamos el índice de frecuencia\(n\) n proporcionalmente a medida que aumentamos el periodo. Definir
\[S_{T}(f) \equiv T c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}S_{T}(f) \exp \left(j \omega_{0} t\right) d t \nonumber \]
haciendo la serie de Fourier correspondiente
\[s_{T}(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} f(t) \exp \left(j \omega_{0} t\right) \frac{1}{T} \nonumber \]
A medida que aumenta el período, las líneas espectrales se acercan, convirtiéndose en un continuo. Por lo tanto,
\[\lim _{T \rightarrow \infty} s_{T}(t) \equiv s(t)=\int_{-\infty}^{\infty} S(f) \exp \left(j \omega_{0} t\right) d f \nonumber \]
con
\[S(f)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \exp \left(-j \omega_{0} t\right) d t \nonumber \]
Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
\[\mathscr{F}(\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(j \Omega t)} \mathrm{d} t \label{8.9} \]
CTFT Inverso
\[f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathscr{F}(\Omega) e^{j \Omega t} \mathrm{d} \Omega \label{8.10} \]
Nota
No es raro ver la fórmula anterior escrita ligeramente diferente. Una de las diferencias más comunes es la forma en que se escribe lo exponencial. Las ecuaciones anteriores utilizan la variable de frecuencia radial\(\Omega\) en el exponencial\(\Omega = 2 \pi f \), donde, pero también es común incluir la expresión más explícita,\(j 2 \pi ft\), en la exponencial. Haga clic aquí para obtener una descripción general de la notación utilizada en los módulos DSP de Connexion.
Eso lo sabemos por la fórmula de Euler\(\cos (\omega t)+\sin (\omega t)=\frac{1-j}{2} e^{j \omega t}+\frac{1+j}{2} e^{-j \omega t}\).
Demostración de definición de CTFT
Problemas de ejemplo
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Encuentra la Transformada de Fourier (CTFT) de la función
\ [f (t) =\ left\ {\ begin {array} {l}
e^ {- (\ alpha t)}\ text {if} t\ geq 0\\
0\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]
- Responder
-
Para calcular la transformada de Fourier, todo lo que necesitamos usar es Ecuación\ ref {8.9}, exponenciales complejos (Sección 1.8) y cálculo básico.
\ [\ begin {align}
\ mathscr {F} (\ Omega) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} f (t) e^ {- (j\ Omega t)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
&=\ int_ {0} ^ {\ infty} e^ {- (a t)} e^ {- (j\ Omega t)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
&=\ int_ {0} ^ {\ infty} e^ {(-t) (a+j\ Omega)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
&=0-\ frac {-1} {a+j\ Omega}\ nonumber\\
\ mathscr {F} & (\ Omega) =\ frac {1} {\ alpha+j\ Omega}
\ end {align}\ nonumber\]
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Encuentra la transformada inversa de Fourier del filtro de paso bajo ideal definido por
\ [X (\ Omega) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
1 &\ text {if} |\ Omega|\ leq\ mathrm {M}\\
0 &\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]
- Responder
-
Aquí usaremos la Ecuación\ ref {8.10} para encontrar la FT inversa dado eso\(t \neq 0\).
\ [\ begin {align}
x (t) &=\ frac {1} {2\ pi}\ int_ {-M} ^ {M} e^ {j (\ Omega, t)}\ mathrm {d}\ Omega\ nonumber\\
&=\ left. \ frac {1} {2\ pi} e^ {j (\ Omega, t)}\ derecha|_ {\ Omega,\ omega=e^ {j w}}\ nonumber\\
&=\ frac {1} {\ pi t}\ sin (M t)\ nonumber\\
x (t) &=\ frac {M} {\ pi}\ izquierda (\ operador nombre {sinc}\ frac {M t} {\ pi}\ derecha)
\ end {align}\ nonumber\]
Resumen de Transformada de Fourier
Debido a que los exponenciales complejos son funciones propias de los sistemas LTI, a menudo es útil representar señales usando un conjunto de exponenciales complejos como base. La fórmula de síntesis de series de Fourier de tiempo continuo expresa una función periódica de tiempo continuo como la suma del tiempo continuo, exponenciales complejos de frecuencia discreta.
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]
La fórmula de análisis de series de tiempo continuo de Fourier da los coeficientes de expansión de la serie de Fourier.
\[c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber \]
En ambas ecuaciones\(\omega_0 = \frac{2 \pi}{T}\) se encuentra la frecuencia fundamental.