Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

8.4: Propiedades de la CTFT

  • Page ID
    86327
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Introducción

    Este módulo analizará algunas de las propiedades básicas de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo (CTFT) (Sección 8.2).

    Nota

    Discutiremos estas propiedades para señales aperiódicas de tiempo continuo, pero entenderemos que propiedades muy similares se mantienen para señales de tiempo discreto y señales periódicas también.

    Discusión de Propiedades de Transformada de Fourier

    Linealidad

    Las propiedades combinadas de adición y multiplicación escalar en la tabla anterior demuestran la propiedad básica de linealidad. Lo que deberías ver es que si uno toma la transformada de Fourier de una combinación lineal de señales entonces será la misma que la combinación lineal de las transformadas de Fourier de cada una de las señales individuales. Esto es crucial cuando se usa una tabla (Sección 8.3) de transformaciones para encontrar la transformación de una señal más complicada.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Comenzaremos con la siguiente señal:

    \[z(t)=a f_{1}(t)+b f_{2}(t) \nonumber \]

    Ahora, después de tomar la transformada de Fourier, que se muestra en la siguiente ecuación, notamos que la combinación lineal de los términos no se ve afectada por la transformada.

    \[Z(\omega)=a F_{1}(\omega)+b F_{2}(\omega) \nonumber \]

    Simetría

    La simetría es una propiedad que puede hacer la vida bastante fácil a la hora de resolver problemas que involucran transformaciones de Fourier. Básicamente lo que dice esta propiedad es que dado que una función rectangular en el tiempo es una función sinc en frecuencia, entonces una función sinc en el tiempo será una función rectangular en frecuencia. Esto es un resultado directo de la similitud entre el CTFT directo y el CTFT inverso. La única diferencia es el escalado por\(2 \pi\) y una inversión de frecuencia.

    Escalado de tiempo

    Esta propiedad trata del efecto sobre la representación en el dominio de la frecuencia de una señal si se altera la variable de tiempo. El concepto más importante a entender para la propiedad de escala de tiempo es que las señales que son estrechas en el tiempo serán amplias en frecuencia y viceversa. El ejemplo más simple de esto es una función delta, un pulso unitario con una duración muy pequeña, en el tiempo que se convierte en una función constante de longitud infinita en frecuencia.

    La tabla anterior muestra esta idea para la transformación general del dominio del tiempo al dominio de frecuencia de una señal. Debería poder notar fácilmente que estas ecuaciones muestran la relación mencionada anteriormente: si se incrementa la variable de tiempo entonces el rango de frecuencia disminuirá.

    Cambio de tiempo

    El cambio de tiempo muestra que un cambio en el tiempo es equivalente a un desplazamiento de fase lineal en la frecuencia. Dado que el contenido de frecuencia depende únicamente de la forma de una señal, que no cambia en un cambio de tiempo, entonces solo se alterará el espectro de fase. Esta propiedad se prueba a continuación:

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Empezaremos por dejar\(z(t)=f(t−\tau)\). Ahora tomemos la transformada de Fourier con la expresión anterior sustituida por\(z(t)\).

    \[Z(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) e^{-(i \omega t)} \mathrm{d} t \nonumber \]

    Ahora hagamos un simple cambio de variables, dónde\(\sigma=t-\tau\). A través de los cálculos a continuación, se puede ver que solo la variable en el exponencial se altera así solo cambiando la fase en el dominio de la frecuencia.

    \ [\ begin {align}
    Z (\ omega) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} f (\ sigma) e^ {- (i\ omega (\ sigma+\ tau) t)}\ mathrm {d}\ tau\ nonumber\\
    &=e^ {- (i\ omega\ tau)}\ int_ {-\ infty} ^ {infty\ ^ ty} f (\ sigma) e^ {- (i\ omega\ sigma)}\ mathrm {d}\ sigma\ nonumber\\
    &=e^ {- (i\ omega\ tau)} F (\ omega)
    \ end {align}\ nonumber\]

    Convolución

    La convolución es una de las grandes razones para convertir las señales al dominio de la frecuencia, ya que la convolución en el tiempo se convierte en multiplicación en frecuencia. Esta propiedad es también otro excelente ejemplo de simetría entre el tiempo y la frecuencia. También muestra que puede haber poco que ganar al cambiar al dominio de frecuencia cuando se trata de multiplicar en el tiempo.

    Presentaremos aquí la integral de convolución, pero si no has visto esto antes o necesitas refrescar tu memoria, entonces mira el módulo de convolución de tiempo continuo (Sección 3.3) para una explicación y derivación más en profundidad.

    \ [\ begin {align}
    y (t) &=\ izquierda (f_ {1} (t), f_ {2} (t)\ derecha)\ nonumber\\
    &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} (\ tau) f_ {2} (t-\ tau)\ mathrm {d}\ tau
    \ end {nonalign}\ umber\]

    Diferenciación de tiempo

    Dado que los sistemas LTI (Sección 2.1) pueden representarse en términos de ecuaciones diferenciales, es evidente con esta propiedad que la conversión al dominio de la frecuencia puede permitirnos convertir estas complicadas ecuaciones diferenciales en ecuaciones más simples que involucran multiplicación y suma. Esto a menudo se analiza con más detalle durante el estudio de la Transformación de Laplace (Sección 11.1).

    Relación de Parseval

    \[\int_{-\infty}^{\infty}(|f(t)|)^{2} \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty}(|F(\omega)|)^{2} \mathrm{d} f \nonumber \]

    La relación de Parseval nos dice que la energía de una señal es igual a la energía de su transformada de Fourier.

    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Modulación (desplazamiento de frecuencia)

    La modulación es absolutamente imperativa para las aplicaciones de comunicaciones. Poder desplazar una señal a una frecuencia diferente, nos permite aprovechar diferentes partes del espectro electromagnético es lo que nos permite transmitir televisión, radio y otras aplicaciones a través del mismo espacio sin interferencias significativas.

    La prueba de la propiedad de desplazamiento de frecuencia es muy similar a la del cambio de tiempo; sin embargo, aquí usaríamos la transformada inversa de Fourier en lugar de la transformada de Fourier. Ya que pasamos por los pasos en la prueba anterior, de turno de tiempo, a continuación solo mostraremos el paso inicial y final a esta prueba:

    \[z(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega-\phi) e^{j \omega t} d \omega \nonumber \]

    Ahora simplemente reduciríamos esta ecuación a través de otro cambio de variables y simplificaríamos los términos. Entonces probaremos la propiedad expresada en la tabla anterior:

    \[z(t)=f(t) e^{j \phi t} \nonumber \]

    Demostración de Propiedades

    A continuación se incluye un ejemplo interactivo de demostración de las propiedades:

    Figura\(\PageIndex{2}\): Instrumento Virtual de Laboratorio de Procesamiento de Señales Interactivo creado usando Labview de NI.

    Tabla resumida de propiedades CTFT

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Tabla de Propiedades de Transformada de Fourier
    Nombre de Operación Señal (\(f(t)\)) Transformar (\(F(\omega)\))
    Linealidad \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(a\left(f_{1}, t\right)+b\left(f_{2}, t\right)\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\(a\left(F_{1}, \omega\right)+b\left(F_{2}, \omega\right)\)
    Multiplicación escalar \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(\alpha f(t)\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\(\alpha F(\omega)\)
    Simetría \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(F(t)\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\(2 \pi f (-\omega)\)
    Escalado de tiempo \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(f(\alpha t)\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\(\frac{1}{|\alpha|} F\left(\frac{w}{\alpha}\right)\)
    Cambio de tiempo \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(f (t - \tau)\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\(F(\omega) e^{-(j \omega \tau)}\)
    Convolución en el Tiempo \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(\left(f_{1}(t), f_{2}(t)\right)\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\(F_{1}(t) F_{2}(t)\)
    Convolución en frecuencia \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(f_{1}(t) f_{2}(t)\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\(\frac{1}{2 \pi}\left(F_{1}(t), F_{2}(t)\right)\)
    Diferenciación \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(\frac{d^{n}}{d t^{n}} f(t)\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\((j \omega)^{n} F(\omega)\)
    Teorema de Parseval \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(\int_{-\infty}^{\infty}(|f(t)|)^{2} d t\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\(\int_{-\infty}^{\infty}(|F(\omega)|)^{2} d f\)
    Modulación (desplazamiento de frecuencia) \ (f (t)\))” class="lt-eng-22889">\(f(t) e^{j \phi t}\) \ (F (\ omega)\))” class="lt-eng-22889">\(F(\omega-\phi)\)

    This page titled 8.4: Propiedades de la CTFT is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Baraniuk et al..