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10.1: Muestreo de señal

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    Introducción

    Las computadoras digitales pueden procesar señales de tiempo discretas utilizando algoritmos extremadamente flexibles y potentes. Sin embargo, la mayoría de las señales de interés son señales de tiempo continuas, que es como los datos casi siempre aparecen en la naturaleza. Este módulo introduce los conceptos detrás de la conversión de señales de tiempo continuas en señales de tiempo discretas a través de un proceso llamado muestreo.

    Muestreo

    El muestreo de una señal de tiempo continua produce una señal de tiempo discreta al seleccionar los valores de la señal de tiempo continua en puntos espaciados uniformemente en el tiempo. Así, el muestreo de una señal de tiempo continua\(x\) con periodo de muestreo\(T_s\) da la señal de tiempo discreta\(x_s\) definida por\(x_s(n)=x(nT_s)\). La frecuencia angular de muestreo es dada entonces por\(\omega_s=2 \pi /T_s\).

    Debe quedar intuitivamente claro que múltiples señales de tiempo continuas muestreadas a la misma velocidad pueden producir la misma señal de tiempo discreta ya que incontables se podrían construir muchas funciones de tiempo continuas que conecten los puntos en el gráfico de cualquier función de tiempo discreta. Por lo tanto, el muestreo a una tasa dada no da como resultado una relación de inyección. De ahí que el muestreo sea, en general, no invertible.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Por ejemplo, considere las señales\(x\),\(y\) definidas por

    \[x(t)=\frac{\sin (t)}{t} \nonumber \]

    \[y(t)=\frac{\sin (5 t)}{t} \nonumber \]

    y sus versiones muestreadas\(x_S\),\(y_s\) con periodo de muestreo\(T_s=\pi/2\)

    \[x_{s}(n)=\frac{\sin (n \pi / 2)}{n \pi / 2} \nonumber \]

    \[y_{s}(n)=\frac{\sin (n 5 \pi / 2)}{n \pi / 2}. \nonumber \]

    Observe que desde

    \[\sin (n 5 \pi / 2)=\sin (n 2 \pi+n \pi / 2)=\sin (n \pi / 2) \nonumber \]

    se deduce que

    \[y_{s}(n)=\frac{\sin (n \pi / 2)}{n \pi / 2}=x_{s}(n). \nonumber \]

    Por lo tanto,\(x\) y\(y\) proporcionar un ejemplo de funciones distintas con las mismas versiones muestreadas a una frecuencia de muestreo específica.

    También es útil considerar la relación entre las representaciones en el dominio de frecuencia de la función de tiempo continuo y sus versiones muestreadas. Considere una señal\(x\) muestreada con periodo de muestreo\(T_s\) para producir la señal de tiempo discreta\(x_s(n)=x(nT_s)\). El espectro\(X_s(\omega)\) para\(\omega \in[-\pi, \pi)\) de\(x_s\) viene dado por

    \[X_{s}(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x\left(n T_{s}\right) e^{-j \omega n}. \nonumber \]

    Usando la transformada de Fourier de tiempo continuo, se\(x(tT_s)\) puede representar como

    \[x\left(t T_{s}\right)=\frac{1}{2 \pi T_{s}} \int_{-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega_{1}}{T_{s}}\right) e^{j \omega_{1} t} d \omega_{1}. \nonumber \]

    Por lo tanto, la versión del período de muestreo unitario de\(x(tT_s)\), que se\(x(nT_s)\) puede representar como

    \[x\left(n T_{s}\right)=\frac{1}{2 \pi T_{s}} \int_{-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega_{1}}{T_{s}}\right) e^{j \omega_{1} n} d \omega_{1}. \nonumber \]

    Esto es algebraicamente equivalente a la representación

    \[x\left(n T_{s}\right)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\frac{\omega_{1}-2 \pi k}{T_{s}}\right) e^{j\left(\omega_{1}-2 \pi k\right) n} d \omega_{1}, \nonumber \]

    que reduce por periodicidad de exponenciales complejos a

    \[x\left(n T_{s}\right)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\frac{\omega_{1}-2 \pi k}{T_{s}}\right) e^{j \omega_{1} n} d \omega_{1}. \nonumber \]

    De ahí que se deduce que

    \[X_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\pi}^{\pi} X\left(\frac{\omega_{1}-2 \pi k}{T_{s}}\right) e^{j \omega_{1} n} d \omega_{1}\right) e^{-j \omega n}. \nonumber \]

    Al señalar que la expresión anterior contiene un par de series de Fourier y series inversas de Fourier, se deduce que

    \[X_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right). \nonumber \]

    De ahí que el espectro de la señal muestreada sea, intuitivamente, la suma escalada de un número infinito de copias cambiadas y escaladas en el tiempo del espectro de señal original. El aliasing, que se discutirá en profundidad en módulos posteriores, ocurre cuando estas copias de espectro desplazado se superponen y se suman juntas. Tenga en cuenta que cuando la señal original\(x\) está limitada en banda a\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\) no se produce solapamiento, por lo que cada período del espectro de señal muestreada tiene la misma forma que el espectro de señal original. Esto sugiere que si muestreamos una señal de banda limitada a una frecuencia de muestreo suficientemente alta, podemos recuperarla de sus muestras como se describirá más adelante en los módulos sobre el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon y sobre reconstrucción perfecta.

    Resumen de Muestreo

    El muestreo de una señal de tiempo continua produce una señal de tiempo discreta al seleccionar los valores de la señal de tiempo continua en puntos de tiempo igualmente espaciados. Sin embargo, hemos demostrado que esta relación no es inyectiva ya que múltiples señales de tiempo continuas pueden muestrearse a la misma velocidad para producir la misma señal de tiempo discreta. Esto se relaciona con un fenómeno llamado aliasing que se discutirá en módulos posteriores. En consecuencia, el proceso de muestreo no es, en general, invertible. Sin embargo, como se mostrará en el módulo relativo a la reconstrucción, la señal de tiempo continuo puede ser recuperada de su versión muestreada si se mantienen algunos supuestos adicionales.


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