11.3: Propiedades de la Transformación de Laplace
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Propiedad | Señal | Transformación de Laplace | Región de Convergencia |
---|---|---|---|
Linealidad | \(\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\) | \(\alpha X_{1}(s)+\beta X_{2}(s)\) | Al menos\(\mathrm{ROC}_{1} \cap \mathrm{ROC}_{2}\) |
Cambio de tiempo | \(x(t−\tau)\) | \(e^{-(s \tau)} X(s)\) | \(\mathrm{ROC}\) |
Desviación de frecuencia (modulación) | \(e^{\eta t} x(t)\) | \(X(s-\eta)\) | Desfasado\(\mathrm{ROC}\) (\(s-\eta\)debe estar en la región de convergencia) |
Escalado de tiempo | \(x(\alpha t)\) | \((1-|\alpha|) X(s-\alpha)\) | Escalado\(\mathrm{ROC}\) (\(s-\alpha\)debe estar en la región de convergencia) |
Conjugación | \(x^*(t)\) | \(X^*(s^*)\) | \(\mathrm{ROC}\) |
Convolución | \(x_{1}(t) * x_{2}(t)\) | \(X_{1}(t) X_{2}(t)\) | Al menos\(\mathrm{ROC}_{1} \cap \mathrm{ROC}_{2}\) |
Diferenciación de tiempo | \(\frac{d}{d t} x(t)\) | \(sX(s)\) | Al menos\(\mathrm{ROC}\) |
Diferenciación de frecuencia | \((-t)x(t)\) | \(\frac{d}{d s} X(s)\) | \(\mathrm{ROC}\) |
Integración en el Tiempo | \(\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau\) | \((1-s) X(s)\) | Al menos\(\operatorname{ROC} \cap(\operatorname{Re}(s)>0)\) |