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# 11.8: Ecuaciones diferenciales

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## Ecuaciones diferenciales

A menudo es útil describir sistemas usando ecuaciones que involucran la tasa de cambio en alguna cantidad a través de ecuaciones diferenciales. Recordemos que una subclase importante de ecuaciones diferenciales, las ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficiente constante lineal, toma la forma

$A y(t)=x(t) \label{11.27}$

donde$$A$$ es un operador diferencial de la forma

$A=a_{n} \frac{d^{n}}{d t^{n}}+a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{d t^{n-1}}+\ldots+a_{1} \frac{d}{d t}+a_{0} \label{11.28}$

La ecuación diferencial en la Ecuación\ ref {11.27} describiría algún sistema modelado$$A$$ con una función de forzamiento de entrada$$x(t)$$ que produce una señal de solución de salida$$y(t)$$. Sin embargo, la transformación unilateral de Laplace permite encontrar una solución para problemas de valor inicial en lo que suele ser un método mucho más sencillo. Específicamente, simplifica enormemente el procedimiento para ecuaciones diferenciales no homogéneas.

## Fórmulas generales para la ecuación diferencial

Como se indicó brevemente en la definición anterior, una ecuación diferencial es una herramienta muy útil para describir y calcular el cambio en una salida de un sistema descrito por la fórmula para una entrada dada. La propiedad clave de la ecuación diferencial es su capacidad para ayudar a encontrar fácilmente la transformación,$$H(s)$$, de un sistema. En las dos subsecciones siguientes, veremos la forma general de la ecuación diferencial y la conversión general a una transformada de Laplace directamente a partir de la ecuación diferencial.

### Conversión a Laplace-Transform

Podemos generalizar fácilmente la función de transferencia,$$H(s)$$, para cualquier ecuación diferencial. A continuación se muestran los pasos dados para convertir cualquier ecuación diferencial en su función de transferencia, es decir, Transformación Laplace. El primer paso consiste en tomar la Transformada de Fourier de todos los términos en [link]. Luego usamos la propiedad de linealidad para tirar de la transformación dentro de la suma y la propiedad de desplazamiento de tiempo de la transformada de Laplace para cambiar los términos de cambio de tiempo a exponenciales. Una vez hecho esto, llegamos a la siguiente ecuación:$$a_0=1$$.

$Y(s)=-\sum_{k=1}^{N} a_{k} Y(s) s^{-k}+\sum_{k=0}^{M} b_{k} X(s) s^{-k} \nonumber$

\ [\ begin {align}
H (s) &=\ frac {Y (s)} {X (s)}\ nonumber\\
&=\ frac {\ sum_ {k=0} ^ {M} b_ {k} s^ {-k}} {1+\ sum_ {k=1} ^ {N} a_ {k} s^ {-k}}\ end {k=1} ^ {N} a_ {k} s^ {-k}
\ end {k}\ nonumber\]

### Conversión a Respuesta de Frecuencia

Una vez que la transformada Laplace ha sido calculada a partir de la ecuación diferencial, podemos ir un paso más allá para definir la respuesta de frecuencia del sistema, o filtro, que está siendo representada por la ecuación diferencial.

Nota

Recuerda que la razón por la que estamos tratando con estas fórmulas es para poder ayudarnos en el diseño de filtros. Un LCCDE es una de las formas más fáciles de representar los filtros FIR. Al poder encontrar la respuesta de frecuencia, podremos observar las propiedades básicas de cualquier filtro representado por un simple LCCDE.

A continuación se muestra la fórmula general para la respuesta de frecuencia de una transformada de Laplace. La conversión es simplemente una cuestión de tomar la fórmula de transformación de Laplace,$$H(s)$$, y reemplazar cada instancia de$$s$$ con$$e^{iw}$$.

\ [\ begin {align}
H (w) &=\ izquierda.h (s)\ derecha|_ {s, s=e^ {j w}}\ nonumber\\
&=\ frac {\ sum_ {k=0} ^ {M} b_ {k} e^ {- (j w k)}} {\ sum_ {k=0} ^ {N} a_} e^ {- (j w k)}}
\ end {align}\ nonumber\]

Una vez que entienda la derivación de esta fórmula, mire el módulo relativo al Diseño de Filtros de la Transformación Laplace (Sección 12.9) para ver cómo todas estas ideas de la Transformación Laplace (Sección 11.1), Ecuación Diferencial y Parcelas Polo/Cero (Sección 12.5) juegan un papel en el diseño de filtros.

## Resolviendo un LCCDE

Para que una ecuación lineal de diferencia de coeficiente constante sea útil en el análisis de un sistema LTI, debemos ser capaces de encontrar la salida del sistema en base a una entrada conocida$$x(t)$$, y un conjunto de condiciones iniciales. Existen dos métodos comunes para resolver un LCCDE: el método directo y el indirecto, este último basado en la transformada Laplace. A continuación discutiremos brevemente las fórmulas para resolver un LCCDE utilizando cada uno de estos métodos.

### Método Directo

La solución final a la salida basada en el método directo es la suma de dos partes, expresada en la siguiente ecuación:

$y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) \nonumber$

La primera parte$$y_{h}(t)$$,, se conoce como la solución homogénea y la segunda parte$$y_{h}(t)$$,, se denomina solución particular. El siguiente método es muy similar al utilizado para resolver muchas ecuaciones diferenciales, así que si has tomado un curso de cálculo diferencial o has usado ecuaciones diferenciales antes entonces esto debería parecer muy familiar.

#### Solución Homogénea

Comenzamos asumiendo que la entrada es cero,$$x(t)=0$$. Ahora simplemente necesitamos resolver la ecuación diferencial homogénea:

$\sum_{k=0}^{N} a_{k} y(t-k)=0 \nonumber$

Para resolver esto, haremos el supuesto de que la solución es en forma de exponencial. Utilizaremos lambda,$$\lambda$$, para representar nuestros términos exponenciales. Ahora tenemos que resolver la siguiente ecuación:

$\sum_{k=0}^{N} a_{k} \lambda^{t-k}=0 \nonumber$

Podemos expandir esta ecuación y factificar todos los términos lambda. Esto nos dará un gran polinomio entre paréntesis, al que se le conoce como el polinomio característico. Las raíces de este polinomio serán la clave para resolver la ecuación homogénea. Si hay todas las raíces distintas, entonces la solución general a la ecuación será la siguiente:

$y_{h}(t)=C_{1}\left(\lambda_{1}\right)^{t}+C_{2}\left(\lambda_{2}\right)^{t}+\ldots+C_{N}\left(\lambda_{N}\right)^{t} \nonumber$

Sin embargo, si la ecuación característica contiene múltiples raíces entonces la solución general anterior será ligeramente diferente. A continuación tenemos la versión modificada para una ecuación donde$$\lambda_1$$ tiene$$K$$ múltiples raíces:

$y_{h}(t)=C_{1}\left(\lambda_{1}\right)^{t}+C_{1} t\left(\lambda_{1}\right)^{t}+C_{1} t^{2}\left(\lambda_{1}\right)^{t}+\ldots+C_{1} t^{K-1}\left(\lambda_{1}\right)^{t}+C_{2}\left(\lambda_{2}\right)^{t}+\ldots+C_{N}\left(\lambda_{N}\right)^{t} \nonumber$

#### Solución Particular

La solución particular,$$y_p(t)$$, será cualquier solución que resuelva la ecuación diferencial general:

$\sum_{k=0}^{N} a_{k} y_{p}(t-k)=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(t-k) \nonumber$

Para resolver, nuestra conjetura para que la solución$$y_p(t)$$ asuma la forma de la entrada,$$x(t)$$. Después de adivinar una solución a la ecuación anterior que involucra la solución particular, solo se necesita enchufar la solución en la ecuación diferencial y resolverla.

### Método Indirecto

El método indirecto utiliza la relación entre la ecuación diferencial y la transformada de Laplace, discutida anteriormente, para encontrar una solución. La idea básica es convertir la ecuación diferencial en una transformada de Laplace, como se describió anteriormente, para obtener la salida resultante,$$Y(s)$$. Luego, transformando esto a la inversa y usando expansión de fracción parcial, podemos llegar a la solución.

$L\left\{\frac{d}{d t} y(t)\right\}=s Y(s)-y(0) \nonumber$

Esto se puede extender interativamente a una derivada de orden arbitrario como en la Ecuación\ ref {11.39}.

$L\left\{\frac{d^{n}}{d t^{n}} y(t)\right\}=s^{n} Y(s)-\sum_{m=0}^{n-1} s^{n-m-1} y^{(m)}(0) \label{11.39}$

Ahora, se puede tomar la transformación de Laplace de cada lado de la ecuación diferencial

$L\left\{\sum_{k=0}^{n} a_{k} \frac{d^{k}}{d t^{k}} y(t)\right\}=L\{x(t)\} \nonumber$

$\sum_{k=0}^{n} a_{k} L\left\{\frac{d^{k}}{d t^{k}} y(t)\right\}=L\{x(t)\} \nonumber$

y por propiedades de diferenciación en

$\sum_{k=0}^{n} a_{k}\left(s^{k} L\{y(t)\}-\sum_{m=0}^{k-1} s^{k-m-1} y^{(m)}(0)\right)=L\{x(t)\}. \nonumber$

Reorganizar los términos para aislar la transformación de Laplace de la salida,

$L\{y(t)\}=\frac{L\{x(t)\}+\sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k-1} a_{k} s^{k-m-1} y^{(m)}(0)}{\sum_{k=0}^{n} a_{k} s^{k}}. \nonumber$

Así, se encuentra que

$Y(s)=\frac{X(s)+\sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k-1} a_{k} s^{k-m-1} y^{(m)}(0)}{\sum_{k=0}^{n} a_{k} s^{k}} \label{11.44}.$

Para encontrar la salida, solo queda encontrar la transformada de Laplace$$X(s)$$ de la entrada, sustituir las condiciones iniciales y calcular la transformada inversa de Laplace del resultado. A menudo se requieren expansiones parciales de fracciones para este último paso. Esto puede sonar desalentador al mirar la Ecuación\ ref {11.44}, pero a menudo es fácil en la práctica, especialmente para ecuaciones diferenciales de orden bajo. La ecuación\ ref {11.44} también se puede utilizar para determinar la función de transferencia y la respuesta de frecuencia.

Como ejemplo, considere la ecuación diferencial

$\frac{d^{2}}{d t^{2}} y(t)+4 \frac{d}{d t} y(t)+3 y(t)=\cos (t) \nonumber$

con las condiciones iniciales$$y^{\prime}(0)=1$$ y$$y(0)=0$$. Usando el método descrito anteriormente, la transformada de Laplace de la solución$$y(t)$$ viene dada por

$Y(s)=\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)(s+1)(s+3)}+\frac{1}{(s+1)(s+3)}. \nonumber$

Al realizar una descomposición de fracción parcial, esto también es igual

$Y(s)=0.25 \frac{1}{s+1}-0.35 \frac{1}{s+3}+0.1 \frac{s}{s^{2}+1}+0.2 \frac{1}{s^{2}+1}. \nonumber$

Computación de la transformada inversa de Laplace,

$y(t)=\left(0.25 e^{-t}-0.35 e^{-3 t}+0.1 \cos (t)+0.2 \sin (t)\right) u(t). \nonumber$

Se puede verificar que esto satisfaga que esto satisfaga tanto la ecuación diferencial como las condiciones iniciales.

## Resumen

Uno de los conceptos más importantes de DSP es poder representar adecuadamente la relación entrada/salida con un sistema LTI dado. Una ecuación lineal de diferencia de coeficiente constante (LCCDE) sirve como una forma de expresar solo esta relación en un sistema discreto de tiempo. Escribir la secuencia de entradas y salidas, que representan las características del sistema LTI, como una ecuación de diferencia ayuda a comprender y manipular un sistema.

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