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12.4: Transformada Z inversa

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    Introducción

    Cuando se utiliza la transformación z

    \[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \nonumber \]

    a menudo es útil poder encontrar\(x[n]\) dado\(X(z)\). Hay al menos 4 métodos diferentes para hacer esto:

    1. Inspección
    2. Expansión de fracción parcial
    3. Expansión de la serie Power
    4. Integración de Contour

    Método de Inspección

    Este “método” consiste básicamente en familiarizarse con las tablas de pares de transformación z y luego “realizar ingeniería inversa”.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Cuando se le da

    \[X(z)=\frac{z}{z-\alpha} \nonumber \]

    con un ROC (Sección 12.6) de

    \[|z|>\alpha \nonumber \]

    podríamos determinar “por inspección” que

    \[x[n]=\alpha^{n} u[n] \nonumber \]

    Método de expansión de fracción parcial

    Cuando se trata de sistemas lineales invariantes en el tiempo, la transformada z es a menudo de la forma

    \ [\ begin {align}
    X (z) &=\ frac {B (z)} {A (z)}\ nonumber\\
    &=\ frac {\ sum_ {k=0} ^ {M} b_ {k} z^ {-k}} {\ sum_ {k=0} ^ {N} a_ {k} z^ {-k}}\ end {k=0} ^ {N} a_ {k} z^ {-k}
    \ end {k=0}\ nonumber\]

    Esto también puede expresarse como

    \[X(z)=\frac{a_{0}}{b_{0}} \frac{\prod_{k=1}^{M} 1-c_{k} z^{-1}}{\prod_{k=1}^{N} 1-d_{k} z^{-1}} \nonumber \]

    donde\(c_k\) representa los ceros distintos de cero de\(X(z)\) y\(d_k\) representa los polos distintos de cero.

    Si\(M<N\) entonces\(X(z)\) se puede representar como

    \[X(z)=\sum_{k=1}^{N} \frac{A_{k}}{1-d_{k} z^{-1}} \nonumber \]

    Esta forma permite inversiones fáciles de cada término de la suma utilizando el método de inspección y la tabla de transformación. Si el numerador es un polinomio, sin embargo, entonces se hace necesario usar expansión de fracción parcial para poner\(X(z)\) en la forma anterior. Si\(M≥N\) entonces\(X(z)\) se puede expresar como

    \[X(z)=\sum_{r=0}^{M-N} B_{r} z^{-r}+\frac{\sum_{k=0}^{N-1} b_{k}^{\prime} z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{-k}} \nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra la transformada z inversa de

    \[X(z)=\frac{1+2 z^{-1}+z^{-2}}{1-3 z^{-1}+2 z^{-2}} \nonumber \]

    donde está el ROC\(|z|>2\). En este caso\(M=N=2\), por lo que tenemos que usar división larga para obtener

    \[X(z)=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}+\frac{7}{2} z^{-1}}{1-3 z^{-1}+2 z^{-2}} \nonumber \]

    Siguiente factor el denominador.

    \[X(z)=2+\frac{-1+5 z^{-1}}{\left(1-2 z^{-1}\right)\left(1-z^{-1}\right)} \nonumber \]

    Ahora haz expansión de fracción parcial.

    \[X(z)=\frac{1}{2}+\frac{A_{1}}{1-2 z^{-1}}+\frac{A_{2}}{1-z^{-1}}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{9}{2}}{1-2 z^{-1}}+\frac{-4}{1-z^{-1}} \nonumber \]

    Ahora cada término se puede invertir utilizando el método de inspección y la tabla de transformación z. Así pues, dado que la ROC es\(|z|>2\),

    \[x[n]=\frac{1}{2} \delta[n]+\frac{9}{2} 2^{n} u[n]-4 u[n] \nonumber \]

    Demostración de expansión de fracción parcial

    Una demostración que involucra expansión parcial de fracciones
    Figura\(\PageIndex{1}\): Experimento interactivo que ilustra cómo se utiliza el método de Expansión de Fracción Parcial para resolver una variedad de problemas de numerador y denominador. (Para ver e interactuar con la simulación, descargue el reproductor gratuito de Mathematica en www.wolfram.com/products/player/download.cgi)
    Conferencia Khan sobre Expansión de Fracción Parcial
    Figura\(\PageIndex{2}\): video de Khan Academy

    Método de expansión de la serie Power

    Cuando la transformada z se define como una serie de potencias en la forma

    \[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \nonumber \]

    entonces cada término de la secuencia se\(x[n]\) puede determinar observando los coeficientes de la respectiva potencia de\(z^{−n}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Ahora mira la transformada z de una secuencia de longitud finita.

    \ [\ begin {alineado}
    X (z) &=z^ {2}\ izquierda (1+2 z^ {-1}\ derecha)\ izquierda (1-\ frac {1} {2} z^ {-1}\ derecha)\ izquierda (1+z^ {-1}\ derecha)\\
    &=z^ {2} +\ frac {5} {2} z+\ frac {1} {2}} +-z^ {-1}
    \ final {alineado}\ nonumber\]

    En este caso, como no había polos, multiplicamos los factores de\(X(z)\). Ahora bien, por inspección, es claro que

    \[x[n]=\delta[n+2]+\frac{5}{2} \delta[n+1]+\frac{1}{2} \delta[n]+-\delta[n-1] \nonumber \]

    Una de las ventajas del método de expansión de la serie de potencia es que muchas funciones encontradas en problemas de ingeniería tienen tabuladas sus series de potencia. Así funciones como log, sin, exponente, sinh, etc, se pueden invertir fácilmente.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos

    \[X(z)=\log _{n}\left(1+\alpha z^{-1}\right) \nonumber \]

    Señalando que

    \[\log _{n}(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1^{n+1} x^{n}}{n} \nonumber \]

    Entonces

    \[X(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1^{n+1} \alpha^{n} z^{-n}}{n} \nonumber \]

    Por lo tanto

    \ [X (z) =\ left\ {\ begin {array} {l}
    \ frac {-1^ {n+1}\ alpha^ {n}} {n}\ text {if} n\ geq 1\\
    0\ text {if} n\ leq 0
    \ end {array}\ right. \ nonumber\]

    Método de Integración de Contorno

    Sin entrar a mucho detalle

    \[x[n]=\frac{1}{2 \pi j} \oint_{r} X(z) z^{n-1} \mathrm{d} z \nonumber \]

    donde\(r\) es un contorno en sentido antihorario en el ROC de\(X(z)\) rodear el origen del plano z. Para ampliar aún más este método de búsqueda de la inversa se requiere el conocimiento de la teoría de variables complejas y por lo tanto no se abordará en este módulo.

    Demostración de Integración de Contour

    Una demostración que involucra la integración de Contour
    Figura\(\PageIndex{3}\): Experimento interactivo que ilustra cómo se aplica la integral de contorno en un ejemplo sencillo. Para una discusión más profunda de este método, se requieren algunos antecedentes en análisis complejos. (Para ver e interactuar con la simulación, descargue el reproductor gratuito de Mathematica en www.wolfram.com/products/player/download.cgi)

    Conclusión

    La transformada Z inversa es muy útil de conocer a los efectos de diseñar un filtro, y hay muchas maneras de calcularlo, partiendo de muchas áreas dispares de las matemáticas. Sin embargo, todos ayudan al usuario a alcanzar la señal de dominio de tiempo deseada que luego se puede sintetizar en hardware (o software) para su implementación en un filtro del mundo real.


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