12.7: Funciones racionales y la transformada Z

Introducción

Cuando se trata de operaciones sobre polinomios, el término función racional es una forma sencilla de describir una relación particular entre dos polinomios.

Definición: Función racional

Para dos polinomios cualesquiera, A y B, su cociente se denomina función racional.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

A continuación se muestra un ejemplo sencillo de una función racional básica,\(f(x)\). Tenga en cuenta que el numerador y denominador pueden ser polinomios de cualquier orden, pero la función racional es indefinida cuando el denominador es igual a cero.

\[f(x)=\frac{x^{2}-4}{2 x^{2}+x-3} \label{12.48} \]

Si has comenzado a estudiar la transformada Z, ya deberías haber notado que todas son funciones racionales. A continuación veremos algunas de las propiedades de las funciones racionales y cómo pueden ser utilizadas para revelar características importantes sobre una transformada z, y por lo tanto un sistema de señal o LTI.

Propiedades de las funciones racionales

Para ver qué hace especiales las funciones racionales, veamos algunas de sus propiedades y características básicas. Si está familiarizado con las funciones racionales y las propiedades algebraicas básicas, salte a la siguiente subsección para ver cómo son útiles las funciones racionales cuando se trata de la transformada z.

Raíces

Para comprender muchas de las siguientes características de una función racional, hay que comenzar por encontrar las raíces de la función racional. Para ello, factoricemos ambos polinomios para que las raíces puedan determinarse fácilmente. Como todos los polinomios, las raíces nos proporcionarán información sobre muchas propiedades clave. La siguiente función muestra los resultados de factorizar la función racional anterior, Ecuación\ ref {12.48}.

\[f(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{(2 x+3)(x-1)} \label{12.49} \]

Así, las raíces de la función racional son las siguientes:

Las raíces del numerador son:\(\{-2,2\}\)

Las raíces del denominador son:\(\{-3,1\}\)

Nota

Para entender las funciones racionales es fundamental conocer y comprender las raíces que conforman la función racional.

Discontinuidades

Debido a que estamos ante la división de dos polinomios, debemos ser conscientes de los valores de la variable que harán que el denominador de nuestra fracción sea cero. Cuando esto sucede, la función racional se vuelve indefinida, es decir, tenemos una discontinuidad en la función. Debido a que ya hemos resuelto para nuestras raíces, es muy fácil ver cuándo ocurre esto. Cuando la variable en el denominador es igual a cualquiera de las raíces del denominador, la función se vuelve indefinida.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Continuando viendo nuestra función racional arriba, Ecuación\ ref {12.48}, podemos ver que la función tendrá discontinuidades en los siguientes puntos:\(x=\{-3,1\}\)

Con respecto al plano cartesiano, decimos que las discontinuidades son los valores a lo largo del eje x donde la función es indefinida. Estas discontinuidades suelen aparecer como asíntotas verticales en la gráfica para representar los valores donde la función está indefinida.

Dominio

Utilizando las raíces que encontramos anteriormente, el dominio de la función racional puede definirse fácilmente.

Definición: Dominio

El grupo, o conjunto, de valores que son definidos por una función dada.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Usando la función racional anterior, Ecuación\ ref {12.48}, el dominio puede definirse como cualquier número real\(x\) donde\(x\) no sea igual a 1 o negativo 3. Escrito matemático, obtenemos lo siguiente:

\[\{x \in \mathbb{R} \mid(x \neq-3) \text { and }(x \neq 1)\} \label{12.50} \]

Intercepta

La intercepción x se define como el punto (s) donde\(f(x)\), es decir, la salida de las funciones racionales, es igual a cero. Debido a que ya hemos encontrado las raíces de la ecuación este proceso es muy sencillo. A partir del álgebra, sabemos que la salida será cero siempre que el numerador de la función racional sea igual a cero. Por lo tanto, la función tendrá una intercepción x donde sea\(x\) igual a una de las raíces del numerador.

La intercepción y ocurre siempre que sea\(x\) igual a cero. Esto se puede encontrar estableciendo todos los valores de\(x\) igual a cero y resolviendo la función racional.

Funciones racionales y la transformada Z

Como hemos dicho anteriormente, todas las transformadas z pueden escribirse como funciones racionales, las cuales se han convertido en la forma más común de representar la transformada z. Debido a esto, podemos utilizar las propiedades anteriores, especialmente las de las raíces, para revelar ciertas características sobre la señal o sistema LTI descrito por la transformada z.

A continuación se muestra la forma general de la transformada z escrita como una función racional:

\[X(z)=\frac{b_{0}+b_{1} z^{-1}+\cdots+b_{M} z^{-M}}{a_{0}+a_{1} z^{-1}+\cdots+a_{N} z^{-N}} \label{12.51} \]

Si ya has mirado el módulo sobre Comprender las gráficas polo/cero y la transformada Z (Sección 12.5), deberías ver cómo las raíces de la función racional juegan un papel importante en la comprensión de la transformada z. La ecuación anterior, Ecuación\ ref {12.51}, se puede expresar en forma factorizada tal como se hizo para la función racional simple anterior, ver Ecuación\ ref {12.49}. Así, podemos encontrar fácilmente las raíces del numerador y denominador de la transformada z. Las siguientes dos relaciones se hacen evidentes:

Relación de Raíces con Polos y Ceros

• Las raíces del numerador en la función racional serán los ceros de la transformada z
• Las raíces del denominador en la función racional serán los polos de la transformada z

Conclusión

Una vez que hemos utilizado nuestro conocimiento de las funciones racionales para encontrar sus raíces, podemos manipular una transformada z de varias maneras útiles. Podemos aplicar este conocimiento para representar un sistema LTI gráficamente a través de una Gráfica Polo/Cero (Sección 12.5), o para analizar y diseñar un filtro digital a través del Diseño de Filtros desde la Transformación Z (Sección 12.9).