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14.2: vectores propios y valores propios

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En esta sección, nuestros sistemas lineales serán n×n matrices de números complejos. Para un poco de trasfondo sobre algunos de los conceptos en los que se basa este módulo, refiérase a los fundamentos del álgebra lineal (Sección 14.1).

Autovectores y valores propios

Dejar$$A$$ ser una$$n \times n$$ matriz, donde$$A$$ es un operador lineal sobre vectores en$$\mathbb{C}^n$$.

$Ax=b \label{14.1}$

donde$$x$$ y$$b$$ son$$n \times 1$$ vectores (Figura$$\PageIndex{1}$$).

Definición: Eigenvector

Un vector propio de$$A$$ es un vector$$\mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n}$$ tal que

$A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} \label{14.2}$

donde$$\lambda$$ se llama el valor propio correspondiente. $$A$$sólo cambia la longitud de$$\mathbf{v}$$, no su dirección.

Modelo gráfico

A través de Figura$$\PageIndex{2}$$ y Figura$$\PageIndex{3}$$, veamos la diferencia entre la Ecuación\ ref {14.1} y la Ecuación\ ref {14.2}.

Si$$\mathbf{v}$$ es un vector propio de$$A$$, entonces solo cambia su longitud. Vea Figura$$\PageIndex{3}$$ y observe cómo la longitud de nuestro vector es simplemente escalada por nuestra variable$$\lambda$$,, llamada el valor propio:

Nota

Cuando se trata de una matriz$$A$$, los vectores propios son los vectores más simples posibles para operar.

Ejemplos

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

A partir de la inspección y comprensión de vectores propios, encontrar los dos vectores propios,$$v_1$$ y$$v_2$$, de

\ [A=\ left (\ begin {array} {cc}
3 & 0\\
0 & -1
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Además, ¿cuáles son los valores propios correspondientes,$$\lambda_1$$ y$$\lambda_2$$? No te preocupes si estás teniendo problemas al ver estos valores a partir de la información dada hasta ahora, veremos formas más rigurosas de encontrar estos valores pronto.

Contestar

Los vectores propios que encontraste deberían ser:

\ [\ begin {array} {l}
v_ {1} =\ left (\ begin {array} {l}
1\\
0\ end {array}
\ derecha)\\
v_ {2} =\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1\ end {array}\ right)
\ end {array}\ end {array}
\ end {array} \ nonumber\]

Y los valores propios correspondientes son

$\lambda_1 = 3 \nonumber$

$\lambda_2 = -1 \nonumber$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que estos dos vectores,

\ [\ begin {array} {l}
v_ {1} =\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ derecha)\\
v_ {2} =\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1\ end {array}
\ right)\ end {array}
\ end {array}\ nonumber\]

son vectores propios de$$A$$, donde\ (A=\ left (\ begin {array} {cc}
3 & -1\\
-1 & 3
\ end {array}\ right)\). Además, encuentra los valores propios correspondientes.

Contestar

Para probar que estos dos vectores son vectores propios, mostraremos que estos enunciados cumplen con los requisitos establecidos en la definición.

\ [\ begin {array} {c}
A v_ {1} =\ left (\ begin {array} {cc}
3 & -1\\
-1 & 3
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {c}

1\
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
2\\
2
\ end {array}\ derecha)\\
A v_ {2} =\ left (\ begin {array} {cc}
3 & -1\\
-1 & 3
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
4\\
-4\ end {array}
\ right)\ end {array}
\ end {array}\ nonumber\]

Estos resultados nos muestran que$$A$$ solo escala los dos vectores (es decir, cambia su longitud) y así demuestra que la Ecuación\ ref {14.2} es cierta para los siguientes dos valores propios que se le pidió que encontrara:

$\lambda_1 = 2 \nonumber$

$\lambda_2 = 4 \nonumber$

Si necesitas más convincente, entonces uno también podría graficar fácilmente los vectores y su producto correspondiente con$$A$$ para ver que los resultados son simplemente versiones escaladas de nuestros vectores originales,$$v_1$$ y$$v_2$$.

Cálculo de valores propios y vectores propios

En los ejemplos anteriores, confiamos en su comprensión de la definición y en algunas observaciones básicas para encontrar y probar los valores de los vectores propios y los valores propios. No obstante, como probablemente puedas decir, encontrar estos valores no siempre será tan fácil. A continuación, recorremos un enfoque riguroso y matemático para calcular los valores propios y vectores propios de una matriz.

Encontrar valores propios

Encuentra$$\lambda \in \mathbb{C}$$ tal que$$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$$, donde$$\mathbf{0}$$ está el “vector cero”. Comenzaremos con la Ecuación\ ref {14.2}, y luego trabajaremos nuestro camino hacia abajo hasta que encontremos una manera de calcular explícitamente$$\lambda$$.

\ [\ begin {array} {c}
A\ mathbf {v} =\ lambda\ mathbf {v}\\
A\ mathbf {v} -\ lambda\ mathbf {v} =0\\
(A-\ lambda I)\ mathbf {v} =0
\ end {array}\ nonumber\]

En el paso anterior, utilizamos el hecho de que

$\lambda \mathbf{v}=\lambda I \mathbf{v} \nonumber$

donde$$I$$ está la matriz de identidad.

\ [I=\ left (\ begin {array} {cccc}
1 & 0 &\ dots & 0\\
0 & 1 &\ dots & 0\\ 0 &\
0 &\ ddots &\ vdots\\
0 &\ dots &\ dots &\ dots & 1
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Entonces,$$A−\lambda I$$ es sólo una nueva matriz.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Dada la siguiente matriz,$$A$$, entonces podemos encontrar nuestra nueva matriz,$$A−\lambda I$$.

\ [\ begin {array} {c}
A=\ left (\ begin {array} {cc}
a_ {1,1} & a_ {1,2}\
a_ {2,1} & a_ {2,2}
\ end {array}\ derecha)\\
A-\ lambda I=\ left (\ begin {array} {cc}
a_ {1,1} -\ lambda y a_ {1,2}\
a_ {} & a_ {2,2} -\ lambda
\ end {array}\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

Si$$(A−\lambda I) \mathbf{v} = 0$$ para algunos$$\mathbf{v} \neq 0$$, entonces no$$A− \lambda I$$ es invertible. Esto significa:

$\operatorname{det}(A-\lambda I)=0 \nonumber$

Este determinante (mostrado directamente arriba) resulta ser una expresión polinómica (de orden$$n$$). Mira los ejemplos a continuación para ver qué significa esto.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Comenzando con matrix$$A$$ (que se muestra a continuación), encontraremos la expresión polinómica, donde nuestros valores propios serán la variable dependiente.

\ [A=\ left (\ begin {array} {cc}
3 & -1\\
-1 & 3
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

\ [A-\ lambda I=\ izquierda (\ begin {array} {cc}
3-\ lambda & -1\\
-1 & 3-\ lambda
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

$\operatorname{det}(A-\lambda I)=(3-\lambda)^{2}-(-1)^{2}=\lambda^{2}-6 \lambda+8 \nonumber$

$\lambda=\{2,4\} \nonumber$

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Comenzando con matrix$$A$$ (que se muestra a continuación), encontraremos la expresión polinómica, donde nuestros valores propios serán la variable dependiente.

\ [\ begin {array} {c}
A=\ left (\ begin {array} {cc}
a_ {1,1} & a_ {1,2}\
a_ {2,1} & a_ {2,2}
\ end {array}\ derecha)\\
A-\ lambda I=\ left (\ begin {array} {cc}
a_ {1,1} -\ lambda y a_ {1,2}\
a_ {} & a_ {2,2} -\ lambda
\ end {array}\ derecha)\\
\ nombreoperador {det} (A-\ lambda I) =\ lambda^ {2} -\ izquierda (a_ {1,1} +a_ {2,2}\ derecha)\ lambda-a_ {2,1} a_ {1,2} +a_ {1,1} a_ {2,2}
\ end {array}\ nonumber\]

Si aún no lo has notado, calcular los valores propios equivale a calcular las raíces de

$\operatorname{det}(A-\lambda I)=c_{n} \lambda^{n}+c_{n-1} \lambda^{n-1}+\dots+c_{1} \lambda+c_{0}=0 \nonumber$

Conclusión

Por lo tanto, simplemente usando cálculo para resolver las raíces de nuestro polinomio podemos encontrar fácilmente los valores propios de nuestra matriz.

Encontrar vectores propios

Dado un valor propio,$$\lambda_i$$, los vectores propios asociados están dados por

\ [\ begin {array} {c}
A\ mathbf {v} =\ lambda_ {i}\ mathbf {v}\\
A\ left (\ begin {array} {c}
v_ {1}\
\ vdots\\
v_ {n}
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
\ lambda_ {1} v_ {1}\\
\ vdots\\
\ lambda_ {n} v_ {n}
\ end {array}\ right)
\ end {array}\ nonumber\]

conjunto de$$n$$ ecuaciones con$$n$$ incógnitas. Simplemente resuelve las$$n$$ ecuaciones para encontrar los vectores propios.

Punto Principal

Digamos que los vectores propios de$$A$$$$\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}$$,, span$$\mathbb{C}^n$$, significado$$\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}$$ son linealmente independientes (Sección 14.1) y podemos escribir cualquiera$$\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$$ como

$\mathbf{x}=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\cdots+\alpha_{n} v_{n} \label{14.3}$

donde$$\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right\} \in \mathrm{C}$$. Todo lo que estamos haciendo es reescribir$$\mathbf{x}$$ en términos de vectores propios de$$A$$. Entonces,

\ [\ begin {array} {c}
A\ mathbf {x} =A\ left (\ alpha_ {1} v_ {1} +\ alpha_ {2} v_ {2} +\ cdots+\ alpha_ {n} v_ {n}\ right)\
A\ mathbf {x} =\ alpha_ {1} A v_ {1} +\ alpha_ {2} A v_ {2} +\ cdots+\ alpha_ {n} A v_ {n}\\
A\ mathbf {x} =\ alpha_ {1}\ lambda_ {1} v_ {1} +\ alpha_ {2}\ lambda_ {2} v_ {2} +\ cdots+\ alfa_ {n}\ lambda_ {n} v_ {n} =b
\ final {array}\ nonumber\]

Por lo tanto podemos escribir,

$\mathbf{x}=\sum_{i} \alpha_{i} v_{i} \nonumber$

y esto nos lleva al siguiente sistema representado:

donde en Figura$$\PageIndex{6}$$ tenemos,

$b=\sum_{i} \alpha_{i} \lambda_{i} v_{i} \nonumber$

Punto principal:

Al dividir un vector,$$\mathbf{x}$$, en una combinación de vectores propios, el cálculo de$$A\mathbf{x}$$ se rompe en piezas “fáciles de tragar”.

Problema de práctica

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Para la siguiente matriz,$$A$$ y vector,$$\mathbf{x}$$, resolver para su producto. Intenta resolverlo usando dos métodos diferentes: directamente y usando vectores propios.

\ [\ begin {aligned}
A &=\ left (\ begin {array} {cc}
3 & -1\\
-1 & 3\ end {array}
\ right)\\
&\ mathbf {x} =\ left (\ begin {array} {l}
5\\
3\ end {array}\ right)
\ end {array}\ right)

Contestar

Método directo (use multiplicación matricial básica)

\ [A\ mathbf {x} =\ left (\ begin {array} {cc}
3 & -1\\
-1 & 3
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {l}
5\\
3
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
12\\
4
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

vectores propios (usa los vectores propios y los valores propios que encontramos anteriormente para esta misma matriz)

\ [\ begin {array} {c}
v_ {1} =\ left (\ begin {array} {c}
1\\
1
\ end {array}\ derecha)\\
v_ {2} =\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\
\ lambda _ {1} =2\\
\ lambda_ {2} =4
\ end {array}\ nonumber\]

Como se muestra en la Ecuación\ ref {14.3}, queremos representar$$x$$ como una suma de sus vectores propios escalados. Para este caso, contamos con:

\ [\ begin {array} {c}
\ mathbf {x} = 4 v_ {1} +v_ {2}\\
\ mathbf {x} =\ left (\ begin {array} {c}
5\\
3
\ end {array}\ right) =4\ left (\ begin {array} {c}
1\\
1
\ end {array}\ derecha) +\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\\
A\ mathbf {x} = A\ left (4 v_ {1} +v_ {2}\ derecha) =\ lambda_ {i}\ left (4 v_ {1} +v_ {2}\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

Por lo tanto, tenemos

\ [A\ mathbf {x} =4\ times 2\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right) +4\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
12\\
4
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Observe que este método usando vectores propios no requirió multiplicación matricial. Esto puede haber parecido más complicado aquí, pero imagínese$$A$$ ser realmente grande, ¡o incluso solo unas pocas dimensiones más grandes!

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