14.5: Funciones propias de sistemas LTI

Introducción

Ojalá esté familiarizado con la noción de los vectores propios de un “sistema matricial”, si no hacen una revisión rápida de las cosas propias (Sección 14.4). Podemos desarrollar las mismas ideas para sistemas LTI que actúan sobre señales. Un sistema lineal invariante de tiempo (LTI) que\(\mathcal{H}\) opera en una entrada continua\(f(t)\) para producir una salida de tiempo continua\(y(t)\)

\[\mathcal{H}[f(t)]=y(t) \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{1}\):\(\mathcal{H}[f(t)]=y(t)\). \(f\)y\(t\) son señales de tiempo continuo (CT) y\(\mathcal{H}\) es un operador LTI.

es matemáticamente análoga a una\(N\times N\) matriz que\(A\) opera sobre un vector\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{N}\) para producir otro vector\(\boldsymbol{b} \in \mathbb{C}^{N}\) (ver Matrices y Sistemas LTI para una visión general).

\[\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{2}\):\(A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) dónde\(\boldsymbol{x}\) y\(\boldsymbol{b}\) están en\(\mathbb{C}^n\) y\(\boldsymbol{A}\) es una\(N \times N\) matriz.

Así como un vector propio (Sección 14.2) de\(\boldsymbol{A}\) es\(\boldsymbol{v} \in \mathbb{C}^{N}\) tal que\(\boldsymbol{A v}=\boldsymbol{\lambda v}\)\(\boldsymbol{\lambda} \in \mathbb{C}\),

Figura\(\PageIndex{3}\):\(\boldsymbol{A v}=\boldsymbol{\lambda v}\) donde\(\boldsymbol{v} \in \mathbb{C}^{N}\) es un vector propio de\(\boldsymbol{A}\).

podemos definir una función propia (o señal propia) de un sistema LTI\(\mathcal{H}\) para que sea una señal\(f(t)\) tal que

\[\mathcal{H}[f(t)]=\lambda f(t), \quad \lambda \in \mathrm{C} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{4}\):\(\mathcal{H}[f(t)]=\lambda f(t), \quad \lambda \in \mathrm{C}\) donde\(f\) es una función propia de\(\mathcal{H}\).

Las funciones propias son las señales más simples posibles\(\mathcal{H}\) para operar: para calcular la salida, simplemente multiplicamos la entrada por un número complejo\(\lambda\).

Funciones propias de cualquier Sistema LTI

La clase de sistemas LTI tiene un conjunto de funciones propias en común: los exponenciales complejos (Sección 1.8)\(e^{st}\),\(s \in \mathbb{C}\) son funciones propias para todos los sistemas LTI.

\[\mathcal{H}\left[e^{s t}\right]=\lambda_{s} e^{s t} \label{14.10} \]

Figura\(\PageIndex{5}\):\(\mathcal{H}\left[e^{s t}\right]=\lambda_{s} e^{s t}\) dónde\(\mathcal{H}\) está un sistema LTI.

Nota

Si bien\(\left\{e^{s t}, \quad s \in \mathbb{C}\right\}\) son siempre funciones propias de un sistema LTI, no son necesariamente las únicas funciones propias.

Podemos probar la Ecuación\ ref {14.10} expresando la salida como una convolución (Sección 3.3) de la entrada\(e^{st}\) y la respuesta al impulso (Sección 1.6)\(h(t)\) de\(\mathcal{H}\):

\ [\ begin {align}
\ mathcal {H}\ izquierda [e^ {s t}\ derecha] &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e^ {s (t-\ tau)} d\ tau\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e^ {s t} e^ {- (s\ tau)} d\ tau\ nonumber\\
&=e^ {s t}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e^ {- (s\ tau)} d\ tau
\ end {align}\ nonumber\]

Ya que la expresión en el lado derecho no depende de\(t\), es una constante,\(\lambda_s\). Por lo tanto

\[\mathcal{H}\left[e^{s t}\right]=\lambda_{s} e^{s t} \nonumber \]

El valor propio\(\lambda_s\) es un número complejo que depende del exponente\(s\) y, por supuesto, del sistema\(\mathcal{H}\). Para hacer explícitas estas dependencias, usaremos la notación\(H(s) \equiv \lambda_{s}\).

Figura\(\PageIndex{6}\):\(e^{st}\) es la función propia y\(H(s)\) son los valores propios.

Dado que la acción de un operador LTI sobre sus funciones\(e^{st}\) propias es fácil de calcular e interpretar, es conveniente representar una señal arbitraria\(f(t)\) como una combinación lineal de exponenciales complejos. La serie de Fourier nos da esta representación para señales de tiempo continuas periódicas, mientras que la transformada de Fourier (un poco más complicada) nos permite expandir señales de tiempo continuas arbitrarias.