15.5: Espacios Hilbert
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Un espacio vectorial\(S\) con un producto interno válido (Sección 15.4) definido en él se denomina espacio interno de producto, que también es un espacio lineal normado. Un espacio Hilbert es un espacio interno de producto que se completa con respecto a la norma definida usando el producto interno. Los espacios de Hilbert llevan el nombre de David Hilbert, quien desarrolló esta idea a través de sus estudios de ecuaciones integrales. Definimos nuestra norma válida utilizando el producto interno como:
\[\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle} \nonumber \]
Los espacios Hilbert son útiles para estudiar y generalizar los conceptos de expansión de Fourier, transformadas de Fourier, y son muy importantes para el estudio de la mecánica cuántica. Los espacios Hilbert se estudian bajo la rama de análisis funcional de las matemáticas.
Ejemplos de Espacios Hilbert
A continuación enumeraremos algunos ejemplos de espacios de Hilbert. Puedes verificar que estos son productos internos válidos a domicilio.
- Para\(\mathbb{C}^n\),
\ [\ langle\ negridsymbol {x},\ negridsymbol {y}\ rangle=\ negridsymbol {y} ^ {T}\ negritas {x} =\ left (\ overline {y_ {0}}\ quad\ overline {y_ {1}}\ quad\ ldots\ quad\ overline {y_ {n-1}}\ derecha)\ izquierda (comenzar\ {array} {c}
x_ {0}\\
x_ {1}\\
\ vdots\\
x_ {n-1}
\ end {array}\ right) =\ suma_ {i=0} ^ {n-1} x_ {i}\ overline {y_ {i}}\ nonumber\] - Espacio de funciones complejas de energía finita:\(L^{2}(\mathbb{R})\)
\[\langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{g} \rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t \nonumber \]
- Espacio de secuencias sumables al cuadrado:\(\ell^{2}(\mathbb{Z})\)
\[\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \overline{y[i]} \nonumber \]