Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

7.11: Problemas

  • Page ID
    86871
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Sección 7-1

    \(1\)

    Para los siguientes campos eléctricos en un medio lineal de permitividad\(\varepsilon \) y permeabilidad,\(\mu \) encuentre la densidad de carga, el campo magnético y la densidad de corriente.

    (a)\(\textbf{E}=E_{0}\left ( x\textbf{i}_{x}+y\textbf{i}_{y} \right )\sin \omega t\)

    b)\(\textbf{E}=E_{0}\left ( y\textbf{i}_{x}-x\textbf{i}_{y} \right )\cos \omega t\)

    c)\(\textbf{E}=\textrm{Re}\left [E_{0}e^{j\left ( \omega t-k_{x}x-k_{z}z \right )} \textbf{i}_{y}\right ]\). ¿Cómo debe\(k_{x}\),\(k_{z}\) y\(\omega \) estar relacionado para que\(\textbf{J}=0\)?

    \(2\)

    Un conductor óhmico de forma arbitraria tiene una distribución de carga inicial\(\rho _{0}\left ( \textbf{r} \right )\) en\(t=0\).

    a) ¿Cuál es la distribución de cargos para todos los tiempos?

    (b) La distribución inicial de la carga es uniforme y está confinada entre electrodos de placa paralelos de espaciamiento\(d\). ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos cuando los electrodos se abren o se cortocircuita?

    (c) Repetir (b) para electrodos cilíndricos coaxiales de radio interior\(a\) y radio exterior\(b\).

    (d) Cuando un campo eléctrico variable en el tiempo no genera un campo magnético

    \(3\)

    (a) Para los medios lineales de permitividad\(\varepsilon \) y permeabilidad\(\mu \), utilizar el potencial de vector magnético\(\textbf{A}\) para reescribir la ley de Faraday como el rizo de una función.

    b) ¿Se\(V\) puede definir una función potencial escalar? ¿Cuál es el campo eléctrico en términos de\(V\) y\(\textbf{A}\)? La elección de no\(V\) es única así que elige\(V\) para que bajo condiciones estáticas\(\textbf{E}=-\nabla V\).

    (c) Utilizar los resultados de (a) y (b) en la ley de Ampere con la corrección de corriente de desplazamiento de Maxwell para obtener una sola ecuación en\(\textbf{A}\) y\(V\). (Pista:\(\nabla\times \left ( \nabla\times \textbf{A} \right )=\nabla\left ( \nabla\cdot \textbf{A}-\nabla^{2} \textbf{A} \right )\))

    (d) Como somos libres de especificar\(\nabla\cdot \textbf{A}\), ¿qué valor debemos escoger para hacer (c) una ecuación justo en\(\textbf{A}\)? A esto se le llama establecer el medidor.

    (e) Utilizar los resultados de (a) - (d) en la ley de Gauss\(\textbf{D}\) para obtener una sola ecuación en\(V\).

    (f) Considerar una carga puntual sinusoidalmente variable en\(r=0\),\(\hat{\mathcal{Q}}e^{j\omega t}\). Resolver (e) para\(r >0\).

    Pista:

    \(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left ( r^{2}\frac{\partial V}{\partial r} \right )=\frac{\partial^2 }{\partial r^2}\left ( rV \right )\)

    Definir una nueva variable\(\left ( rV \right )\). Por simetría,\(V\) sólo depende\(r\) y las ondas sólo pueden propagarse lejos de la carga y no hacia ella. Como\(r\rightarrow 0\), el potencial se acerca al potencial cuasiestático de Coulomb.

    Sección 7-2

    \(4\)

    El teorema de Poynting debe ser modificado si tenemos un material histerético con una relación no lineal y de doble valor entre la polarización\(\textbf{P}\) y el campo eléctrico\(\textbf{E}\) y la magnetización\(\textbf{M}\) y el campo magnético\(\textbf{H}\).

    4.jpg

    (a) Para estas leyes constitutivas no lineales poner el teorema de Poynting en la forma

    \(\nabla \cdot \textbf{S}+\frac{\partial w}{\partial t}=-P_{d}-P_{p}-P_{M}\)

    donde\(P_{d}\) y\(P_{M}\) son las densidades de potencia necesarias para polarizar y magnetizar el material.

    b) Campos eléctricos y magnéticos sinusoidales\(\textbf{E}=\textbf{E}_{s}\cos \omega t\) y\(\textbf{H}=\textbf{H}_{s}\cos \omega t\) se aplican. ¿Cuánta densidad de energía se disipa por ciclo?

    \(5\)

    Un campo electromagnético está presente dentro de un superconductor con relación constituyente

    \(\frac{\partial \textbf{J}_{f}}{\partial t}=\omega_{p}^{2}\varepsilon \textbf{E}\)

    (a) Demostrar que el teorema de Poynting se puede escribir en la forma

    \(\nabla \cdot \textbf{S}+\frac{\partial w}{\partial t}=0\)

    ¿Qué es\(w\)?

    b) ¿Cuál es la velocidad de los portadores de carga cada uno con carga\(q\) en términos de la densidad de corriente\(\textbf{J}_{f}\)? La densidad numérica de los portadores de carga es\(n\).

    (c) ¿Qué tipo de energía agrega el superconductor?

    d) Reescribir las ecuaciones de Maxwell con esta ley constitutiva para campos que varían sinusoidalmente con el tiempo.

    (e) Derivar el teorema de Poynting complejo en la forma

    \(\nabla \cdot \left [ \frac{1}{2}\hat{\textbf{E}}\left ( \textbf{r} \right )\times \hat{\textbf{H}}^{\ast }\left ( \textbf{r} \right ) \right ]+2jw<w>=0\)

    ¿Qué es\(<w>\)?

    \(6\)

    Un caso paradójico del teorema de Poynting ocurre cuando se aplica un campo eléctrico estático perpendicularmente a un campo magnético estático, como en el caso de un par de electrodos colocados dentro de un circuito magnético.

    6.jpg

    a) ¿Qué son\(\textbf{E}\)\(\textbf{H}\), y\(\textbf{S}\)?

    b) ¿Cuál es la densidad energética almacenada en el sistema?

    (c) Verificar el teorema de Poynting.

    \(7\)

    La amplitud compleja del campo eléctrico tiene partes reales e imaginarias

    \(\hat{\textbf{E}}\left ( \textbf{r} \right )=\textbf{E}_{r}+j\textbf{E}_{i}\)

    Bajo qué condiciones son cero los siguientes productos escalares y vectoriales:

    (a)\(\hat{\textbf{E}}\cdot \hat{\textbf{E}}\overset{?}{=}0\)

    b)\(\hat{\textbf{E}}\cdot \hat{\textbf{E}}^{\ast }\overset{?}{=}0\)

    c)\(\hat{\textbf{E}}\times \hat{\textbf{E}}\overset{?}{=}0\)

    d)\(\hat{\textbf{E}}\times \hat{\textbf{E}}^{\ast }\overset{?}{=}0\)

    Sección 7.3

    \(8\)

    Considere un medio con pérdida de permitividad\(\varepsilon \)\(\mu \), permeabilidad y conductividad óhmica\(\sigma \).

    (a) Anote las ecuaciones de campo para un campo eléctrico\(x\) dirigido.

    (b) Obtener una sola ecuación en\(E_x\).

    c) Si los campos varían sinusoidalmente con el tiempo,

    \(E_{x}=\textrm{Re}\left [ \hat{E}_{x}\left ( z \right )e^{j\omega t} \right ]\)

    ¿Cuáles son las dependencias espaciales de los campos?

    d) Especializarse (c) al (i) límite de pérdidas bajas\(\left ( \sigma /\omega \varepsilon \ll 1 \right )\) y (ii) límite de pérdidas grandes\(\left ( \sigma /\omega \varepsilon \gg  1 \right )\).

    e) Repetir a) a c) si el medio es un plasma con derecho constitutivo

    \(\frac{\partial \textbf{J}}{\partial t}=\omega _{p}^{2}\varepsilon \textbf{E}\)

    (f) Se\(K_{0}\cos \omega t\textbf{i}_{x}\) coloca una hoja actual en\(z = 0\). Encuentra los campos eléctricos y magnéticos si la lámina se coloca dentro de un conductor óhmico o dentro de un plasma.

    \(9\)

    9. Una corriente volumétrica uniformemente distribuida de espesor\(2d\),\(J_{0}\cos wt\textbf{i}_{x}\), es una fuente de ondas planas.

    9.jpg

    (a) De las ecuaciones de Maxwell se obtiene una única ecuación diferencial relativa\(E_{x}\) a\(J_{x}\).

    (b) Encontrar los campos eléctricos y magnéticos dentro y fuera de la distribución de corriente.

    c) ¿Cuánta potencia promedio en el tiempo por unidad de área es entregada por la corriente?

    d) ¿Cómo se compara esta potencia generada con la potencia electromagnética promedio en el tiempo por unidad de área que deja la corriente volumétrica en\(z=\pm d\)?

    \(10\)

    Una onda TEM\(\left ( E_{x},H_{y} \right )\) se propaga en un medio cuya permitividad y permeabilidad son funciones de\(z\)\(\varepsilon \left ( z \right )\), y\(\mu \left ( z \right )\).

    (a) Anote las ecuaciones de Maxwell y obtenga ecuaciones diferenciales parciales simples en\(E_{x}\) y\(H_{y}\).

    b) Considerar el caso idealizado donde\(\varepsilon \left ( z \right )=\varepsilon e^{\alpha \left | z \right |}\) y\(\mu \left ( z \right )=\mu e^{-\alpha \left | z \right |}\). Una hoja actual\(K_{0}e^{j\omega t}\textbf{i}_{x}\) está en\(z=0\). ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos resultantes en cada lado de la lámina?

    c) ¿Para qué valores de a son las soluciones espacialmente evanescentes u oscilatorias?

    \(11\)

    Deseamos comparar diversas mediciones entre dos observadores, el segundo moviéndose a velocidad constante\(v\textbf{i}_{z}\), con respecto al primero.

    a) El primer observador mide eventos simultáneos en dos posiciones\(z_{1}\) y de\(z_{2}\) tal manera que\(t_{1}=t_{2}\). ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre los dos eventos\(t_{1}'-t_{2}'\) medido por el segundo observador?

    b) El primer observador mide un intervalo de tiempo\(\Delta t=t_{1}-t_{2}\) entre dos eventos en una misma posición\(z\). ¿Cuál es el intervalo de tiempo medido por el segundo observador?

    c) El primer observador mide la longitud de un palo como\(L=z_{2}-z_{1}\). ¿Cuál es la longitud del palo medida por el segundo observador?

    \(12\)

    Un observador estacionario mide la velocidad de una partícula como\(\textbf{u}=u_{x}\textbf{i}_{x}+u_{y}\textbf{i}_{y}+u_{z}\textbf{i}_{z}\).

    (a) ¿Qué velocidad\(\textbf{u}'=u_{x}'\textbf{i}_{x}+u_{y}'\textbf{i}_{y}+u_{z}'\textbf{i}_{z}\),, mide otro observador que se mueve a velocidad\(v\textbf{i}_{z}\) constante?

    (b) Encontrar\(\textbf{u}'\) para los siguientes valores de\(\textbf{u}\) dónde\(c_0\) está la velocidad espacial libre de la luz:

    (i)\(\textbf{u}=c_{0}\textbf{i}_{x}\)

    ii)\(\textbf{u}=c_{0}\textbf{i}_{y}\)

    iii)\(\textbf{u}=c_{0}\textbf{i}_{z}\)

    iv)\(\textbf{u}=\left (c_{0} /\sqrt{3} \right )\left [\textbf{i}_{x} +\textbf{i}_{y}+\textbf{i}_{z}\right ]\)

    c) ¿Los resultados de los apartados a) y b) concuerdan con el postulado de que la velocidad de la luz para todos los observadores es\(c_0\)?

    Sección 7.4

    \(13\)

    Un campo eléctrico es de la forma

    \(\textbf{E}=100e^{j\left ( 2\pi \times 10^{6}t-2\pi \times 10^{-2}z \right )}\textbf{i}_{x} \, \textrm{volts/m}\)

    a) ¿Cuál es la frecuencia, longitud de onda y velocidad de la luz en el medio?

    b) Si el medio tiene permeabilidad\(\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}\,\textrm{henry/m}\), ¿cuál es la permitividad\(\varepsilon \), la impedancia\(\eta \) de onda y el campo magnético?

    c) ¿Cuánta potencia promedio en el tiempo por unidad de área es transportada por la ola?

    \(14\)

    El campo eléctrico de una onda plana polarizada elípticamente en un medio con impedancia de onda (\ eta\) es

    \(\textbf{E}=\textrm{Re}\left ( E_{x0}\textbf{i}_{x}+E_{y0}e^{j\phi }\textbf{i}_{y} \right )e^{j\left ( \omega t-kz \right )}\)

    donde\(E_{x0}\) y\(E_{y0}\) son reales.

    a) ¿Cuál es el campo magnético?

    b) ¿Cuáles son las densidades de flujo de potencia instantánea y promedio en el tiempo?

    \(15\)

    En la Sección 3-1-4 encontramos que la fuerza sobre una de las cargas\(\mathcal{Q}\) de un dipolo eléctrico atómico esférico de radio\(R_{0}\) es

    \(\textbf{F}=\mathcal{Q}\left [ \textbf{E}-\frac{\mathcal{Q}\textbf{d}}{4\pi \varepsilon _{0}R_{0}^{3}} \right ]\)

    donde\(\textbf{d}\) esta el espaciamiento dipolar.

    (a) Escribir la ley de Newton para esta carga móvil con masa\(M\) asumiendo que el campo eléctrico varía sinusoidalmente con el tiempo como\(E_{0}\cos \omega t\) y resuelva para\(\textbf{d}\). (Pista: Let\(\omega _{0}^{2}=\mathcal{Q}^{2}/\left ( M4\pi \varepsilon _{0}R_{0}^{3} \right )\))

    b) ¿Cuál es la polarización\(\textbf{P}\) en función de\(\textbf{E}\) si hay\(N\) dipolos por unidad de volumen? ¿Cuál es la función de permitividad dependiente de la frecuencia\(\varepsilon \left ( \omega  \right )\), donde

    \(\textbf{D}\left ( \textbf{r} \right )=\varepsilon \left ( \omega  \right )\textbf{E}\left ( \textbf{r} \right )\)

    Este modelo suele ser apropiado para la propagación de la luz en medios dieléctricos.

    (c) Utilizar los resultados de (b) en las ecuaciones de Maxwell para encontrar la relación entre el número de onda\(k\) y la frecuencia\(\omega \).

    d) ¿Para qué rangos de frecuencia tenemos propagación o evanescencia?

    e) ¿Cuáles son las velocidades de fase y de grupo de las olas?

    (f) Derivar el teorema complejo de Poynting para este dieléctrico dispersivo.

    \(16\)

    La propagación de ondas de alta frecuencia en la ionosfera se describe parcialmente por el desarrollo en la Sección 7-4-4 excepto que debemos incluir el campo magnético dc de la tierra, que tomamos para ser\(H_{0}\textbf{i}_{z}\).

    a) Los transportistas de carga tienen carga\(q\) y masa\(m\). Escribe los tres componentes de la ley de fuerza de Newton descuidando las colisiones pero incluyendo la inercia y la ley de fuerza Coulomb-Lorentz. Descuidar las amplitudes de campo magnético de las ondas propagadoras\(H_{0}\) en comparación con la ley de fuerza de Lorentz.

    (b) Resolver para cada componente de la densidad de corriente\(\textbf{J}\) en términos de los componentes de velocidad de carga asumiendo que las ondas de propagación varían sinusoidalmente con el tiempo como\(e^{j\omega t}\).

    Pista: Definir

    \(\omega _{p}^{2}=\frac{q^{2}n}{m\varepsilon },\quad \omega _{0}=\frac{q\mu _{0}H_{0}}{m}\)

    (c) Utilizar los resultados de (b) en las ecuaciones de Maxwell para campos de la forma\(e^{j\left ( \omega t-kz \right )}\) para resolver para el número de onda\(k\) en términos de\(\omega\).

    d) ¿A qué frecuencias es el número de onda cero o infinito? ¿En qué rango de frecuencia tenemos evanescencia o propagación?

    e) Para cada uno de los dos modos que se encuentran en la letra c), ¿cuál es la polarización del campo eléctrico?

    (f) ¿Cuál es la velocidad de fase de cada onda? Dado que cada modo viaja a una velocidad diferente, la atmósfera actúa como un cristal birrefringente aniso trópico. Una onda linealmente\(E_{0}e^{j\left ( \omega t-k_{0}z \right )}\textbf{i}_{x}\) polarizada incide sobre dicho medio. Escribe este campo como la suma de ondas polarizadas circularmente derecha e izquierda.

    Pista:

    \(E_{0}\textbf{i}_{x}=\frac{E_{0}}{2}\left ( \textbf{i}_{x}+j\textbf{i}_{y} \right )+\frac{E_{0}}{2}\left ( \textbf{i}_{x}-j\textbf{i}_{y} \right )\)

    g) Si el campo transmitido\(z=0\) justo en el interior del medio tiene amplitud\(E_{t}e^{j\omega t}\textbf{i}_{x}\), ¿cuáles son los campos eléctricos y magnéticos en todo el medio?

    \(17\)

    Nitrobenceno con\(\mu =\mu _{0}\) y\(\varepsilon =35\varepsilon _{0}\) se coloca entre electrodos de placa paralelos de espaciado\(s\) y longitud\(l\) tensado por un voltaje de CC\(V_{0}\). Las mediciones han demostrado que la luz polarizada paralela al campo eléctrico de CC viaja a la velocidad\(c_{\parallel }\), mientras que la luz polarizada perpendicular al campo eléctrico de CC viaja ligeramente más rápido a la velocidad\(c_{\perp }\), estando relacionada con el campo eléctrico de CC\(E_{0}\) y longitud de onda de luz de espacio libre como

    \(\frac{1}{c_{\parallel }}+\frac{1}{c_{\perp }}=\lambda BE_{0}^{2}\)

    donde\(B\) se llama la constante Kerr que para nitrobenceno está\(B\approx 4.3\times 10^{-12}\,\textrm{sec/V}^{2}  \) en\(\lambda =500\,\textrm{nm}\).

    (a) La luz polarizada linealmente con longitud de onda\(\lambda =500\,\textrm{nm}\) de espacio libre incide en\(45^{\circ }\) el campo eléctrico de CC. Después de salir de la celda Kerr, ¿cuál es la diferencia de fase entre los componentes de campo de la luz paralela y perpendicular al campo eléctrico de CC?

    (b) ¿Cuáles son todos los valores de las fuerzas del campo eléctrico que permiten que la célula Kerr actúe como una placa de cuarto o media onda?

    c) La celda Kerr se coloca entre polarizadores cruzados (polariscopio). ¿Qué valores de campo eléctrico permiten la máxima transmisión de luz? ¿No hay transmisión de luz?

    Sección 7.5

    \(18\)

    Una onda plana uniforme con campo eléctrico\(y\) dirigido es normalmente incidente sobre un medio de plasma\(z = 0\) con la ley constitutiva\(\partial \textbf{J}_{f}/\partial t=\omega _{p}^{2}\varepsilon \textbf{E}\). Los campos varían sinusoidalmente en el tiempo como\(e^{j\omega t}\).

    a) ¿Cuál es la forma general de los campos incidentes, reflejados y transmitidos?

    b) Aplicando las condiciones de contorno, encuentre las amplitudes de campo.

    c) ¿Cuál es la densidad de potencia electromagnética promedio en el tiempo en cada región para\(\omega > \omega _{p}\) y para\(\omega <  \omega _{p}\)?

    18.jpg
    \(19\)

    Un filtro polarizador para microondas está formado esencialmente por muchos cables paralelos altamente conductores cuya separación es mucho menor que una longitud de onda. Esa polarización cuyo campo eléctrico es transversal a los cables pasa a través. El campo eléctrico incidente es

    \(\textbf{E}=E_{x}\cos \left ( \omega t-kz \right )\textbf{i}_{x}+E_{y}\sin \left ( \omega t-kz \right )\textbf{i}_{y}\)

    19.jpg

    a) ¿Cuál es el campo magnético incidente y la densidad de potencia incidente?

    b) ¿Cuáles son los campos transmitidos y la densidad de potencia?

    (c) Otro conjunto de cables polarizadores se colocan paralelos pero a cierta distancia\(d\) y se orientan en ángulo\(\phi \) con respecto al primero. ¿Cuáles son los campos transmitidos?

    \(20\)

    Una onda plana uniforme con campo eléctrico\(y\) dirigido\(E_{y}=E_{0}\cos \omega \left ( t-z/c \right )\) es normalmente incidente sobre un plano perfectamente conductor que se mueve con velocidad constante\(v\textbf{i}_{z}\), donde\(v\ll c\).

    a) ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos totales en cada región?

    b) ¿Cuál es la frecuencia de la onda reflejada?

    (c) ¿Cuál es la densidad de flujo de potencia? ¿Por qué no podemos usar el complejo vector Poynting para encontrar la potencia promedio en el tiempo?

    20.jpg

    Sección 7.6

    \(21\)

    Un dieléctrico\(\left ( \varepsilon _{2},\mu _{2} \right )\) de espesor\(d\) recubre un conductor perfecto. Una onda plana uniforme es normalmente incidente sobre el recubrimiento desde el medio circundante con propiedades\(\left ( \varepsilon _{1},\mu _{1} \right )\).

    21.jpg

    a) ¿Cuál es la forma general de los campos en los dos medios dieléctricos? (Pista: ¿Por qué se puede escribir el campo eléctrico transmitido como\(\textbf{E}_{t}=\textrm{Re}\left [ \hat{E}_{t}\sin k_{2}\left ( z-d \right )e^{j\omega t}\textbf{i}_{x} \right ]?\))

    b) Aplicando las condiciones de contorno, ¿cuáles son las amplitudes de campo?

    c) ¿Cuál es el flujo de energía promedio en el tiempo en cada región?

    d) ¿Cuál es la presión de radiación promedio en el tiempo sobre el conductor?

    Sección 7.7

    \(22\)

    Un campo eléctrico de la forma\(\textbf{Re}\left ( \hat{E}e^{j\omega t}e^{-\pmb{\gamma } \cdot \textbf{r}} \right )\) se propaga en un conductor con pérdida con permitividad\(\varepsilon \)\(\mu \), permeabilidad y conductividad\(\sigma \). Si\(\boldsymbol{\gamma }=\boldsymbol{\alpha }+j\textbf{k}\), ¿qué igualdades deben\(\boldsymbol{\alpha }\) y\(\textbf{k}\) obedecer?

    \(23\)

    Una lámina de carga superficial con densidad de carga\(\sigma _{0}\sin \left ( \omega t-k_{x}x \right )\) se coloca\(z =0\) dentro de un medio lineal con propiedades\(\left ( \varepsilon ,\mu  \right )\).

    23.jpg

    a) ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos?

    b) ¿Qué corriente superficial fluye en la lámina?

    \(24\)

    Una hoja actual del formulario\(\textrm{Re}\left ( K_{0}e^{j\left ( \omega t-k_{x}x \right )}\textbf{i}_{x}\right )\) se encuentra en el espacio libre en\(z =0\). Un medio dieléctrico\(\left ( \varepsilon ,\mu  \right )\) de extensión semi-infinita se coloca en\(z=d\).

    24.jpg

    (a) ¿Para qué rango de frecuencia podemos tener una onda plana no uniforme en el espacio libre y una onda plana uniforme en el dieléctrico? ¿Onda plana no uniforme en cada región? ¿Onda plana uniforme en cada región?

    b) ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos en todas partes?

    (c) ¿Cuál es la densidad de flujo de potencia\(z\) dirigida promedio en el tiempo en cada región si tenemos una onda plana no uniforme en el espacio libre pero una onda plana uniforme en el dieléctrico?

    Sección 7.8

    \(25\)

    Una onda plana uniforme\(\textrm{Re}\left ( E_{0}e^{j\left ( \omega t-k_{x}x-k_{z}z \right )} \textbf{i}_{y}\right )\) es oblicuamente incidente sobre una esquina perfectamente conductora en ángulo recto. La ola es incidente en ángulo\(\theta _{i}\) con la\(z =0\) pared.

    25.jpg

    (a) Intentar una solución compuesta por las ondas incidentes y reflejadas de cada superficie del conductor. ¿Cuál es la forma general de solución? (Pista: Hay cuatro olas diferentes.)

    b) Aplicando las condiciones de contorno, ¿cuáles son los campos eléctrico y magnético?

    c) ¿Cuáles son las distribuciones de carga superficial y corriente en las paredes conductoras?

    d) ¿Cuál es la fuerza por unidad de área en cada pared?

    e) ¿Cuál es la densidad de flujo de potencia?

    Sección 7.9

    \(26\)

    El principio de menor tiempo de Fermat establece que la luz, cuando se refleja o refracta desde una interfaz, escogerá la ruta de menor tiempo para propagarse entre dos puntos.

    26.jpg

    (a) Un haz de luz desde el punto\(A\) incide sobre una interfaz dieléctrica en ángulo\(\theta _{i}\), desde la normal y se refleja a través del punto\(B\) en ángulo\(\theta _{r}\). En términos de\(\theta _{i}\),\(\theta _{r}\), \(h_{1}\)y\(h_{2}\), y la velocidad de la luz\(c_1\), ¿cuánto tiempo tarda la luz en viajar de\(A\) a\(B\) por este camino? ¿Qué otra relación hay entre\(\theta _{i}\)\(\theta _{r}\),\(L_{AB}\), \(h_{1}\)y\(h_{2}\)?

    (b) Encontrar el ángulo\(\theta _{i}\) que satisfaga el principio de Fermat. ¿Qué es\(\theta _{r}\)?

    c) En términos de\(\theta _{i}\),,\(\theta _{r}\), \(h_{1}\)\(h_{3}\), y las velocidades de la luz\(c_{1}\) y\(c_{2}\) en cada medio, ¿cuánto tiempo tarda la luz en viajar de\(A\) a\(C\)?

    d) Encontrar la relación entre\(\theta _{i}\) y\(\theta _{r}\) que satisfaga el principio de Fermat.

    \(27\)

    En muchos casos la permeabilidad de los medios dieléctricos es igual a la del espacio libre. En este límite muestran que los coeficientes de reflexión y transmisión para ondas oblicuamente incidentes sobre medios dieléctricos son:\(\textbf{E}\) paralelos a la interfaz

    \(R=-\frac{\sin \left ( \theta _{i}-\theta _{t} \right )}{\sin \left ( \theta _{i}+\theta _{t} \right )},\quad T=\frac{2\cos \theta _{i}\sin \theta _{t}}{\sin \left ( \theta _{i}+\theta _{t} \right )}\)

    \(\textbf{H}\)paralelo a la interfaz

    \(R=\frac{\tan \left ( \theta _{i}-\theta _{t} \right )}{\tan \left ( \theta _{i}+\theta _{t} \right )},\quad T=\frac{2\cos \theta _{i}\sin \theta _{i}}{\sin \left ( \theta _{i}+\theta _{t} \right )\cos \left ( \theta _{i}-\theta _{t} \right )}\)

    \(28\)

    La luz blanca está compuesta por todo el espectro visible. El índice de refracción\(n\) para la mayoría de los materiales es una función débil de la longitud de onda\(\lambda \), a menudo descrita por la ecuación de Cauchy

    \(n=A+B/\lambda ^{2}\)

    28.jpg

    Un haz de luz blanca incide\(30^{\circ }\) a un trozo de vidrio con\(A=1.5\) y\(B=5\times 10^{-15}\,\textrm{m}^{2}\). ¿Cuáles son los ángulos transmitidos para los colores violeta\(\left ( 400\,\textrm{nm} \right )\)\(\left ( 440\,\textrm{nm} \right )\), azul\(\left ( 550\,\textrm{nm} \right )\), verde\(\left ( 600\,\textrm{nm} \right )\), amarillo\(\left ( 650\,\textrm{nm} \right )\), naranja y rojo\(\left ( 700\,\textrm{nm} \right )\)? Esta separación de colores se llama dispersión.

    \(29\)

    Una losa dieléctrica de espesor\(d\) con velocidad de la luz\(c_{2}\) se coloca dentro de otro medio dieléctrico de extensión infinita con velocidad de la luz\(c_{1}\), donde\(c_{1}< c_{2}\). Una onda electromagnética\(\textbf{H}\) paralela a la interfaz es incidente sobre la losa en ángulo\(\theta_{i}\).

    (a) Encontrar los campos eléctricos y magnéticos en cada región. (Pista: Usa la regla de Cramer para encontrar las cuatro amplitudes de campo desconocidas en términos de\(E_{i}\).)

    29.jpg

    (b) ¿Para qué rango de ángulo incidente tenemos ondas planas uniformes o no uniformes a través de la región media?

    (c) Cuál es la densidad de potencia promedio en tiempo transmitida con ondas planas uniformes o no uniformes a través de la región media. ¿Cómo podemos tener flujo de energía a través de la región media con ondas planas no uniformes?

    Sección 7.10

    \(30\)

    Considera los diversos prismas mostrados.

    30.jpg

    a) ¿Cuál es el índice mínimo de refracción\(n_{1}\) necesario para que .no se transmita energía promedio en el tiempo a través de la hipotenusa cuando los prismas están en el espacio libre\(n_{2}=1\), o agua\(n_{2}=1.33\)?

    b) A estos valores del índice de refracción, ¿cuáles son los ángulos de salida\(\theta _{e}\)?

    \(31\)

    Un pez debajo de la superficie del agua con índice de refracción\(n=1.33\) ve una estrella a la que mide estar\(30^{\circ }\) desde lo normal. ¿Cuál es el ángulo real de la estrella con respecto a lo normal?

    31.jpg
    \(32\)

    Una tubería de luz recta con índice de refracción\(n_{1}\) tiene un recubrimiento dieléctrico con índice\(n_{2}\) agregado para protección. El tubo de luz suele estar dentro del espacio libre por lo que\(n_{3}\) suele ser la unidad.

    32.jpg

    (a) La luz dentro de la tubería incide sobre la primera interfaz en ángulo\(\theta _{1}\). ¿Cuáles son los ángulos\(\theta _{2}\) y\(\theta _{3}\)?

    (b) ¿Qué valor de\(\theta _{1}\) hará\(\theta _{3}\) igual al ángulo crítico para la reflexión interna total en la segunda interfaz?

    (c) ¿En qué se diferencia este valor del ángulo crítico si el recubrimiento no estaba presente de manera que\(n_{1}\) estuviera directamente en contacto con\(n_{3}\)?

    (d) Si requerimos que la reflexión total se produzca en la primera interfaz, cuál es el rango permitido del ángulo incidente\(\theta _{1}\). ¿El recubrimiento debe tener un índice de refracción mayor o menor que el tubo de luz?

    \(33\)

    Una pieza esférica de vidrio de radio\(R\) tiene índice de refracción\(n\).

    (a) Un rayo de luz vertical es incidente a la\(x\,\left ( x< R \right )\) distancia del diámetro vertical. ¿A qué\(y\) distancia de la parte superior de la esfera se cruzará el rayo de luz con el diámetro vertical? ¿Para qué rango\(n\) y la luz refractada\(x\) cruzará el diámetro vertical dentro de la esfera?

    33.jpg

    (b) Un haz de luz vertical de radio\(\alpha R\,\left ( \alpha < 1 \right )\) incide sobre un hemisferio de este vidrio que descansa sobre una mesa. ¿Cuál es el radio\(R'\) de la luz sobre la mesa?


    This page titled 7.11: Problemas is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Markus Zahn (MIT OpenCourseWare) .