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8.6: La guía de ondas rectangular

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    86925
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Mostramos en la Sección 8-1-2 que los campos eléctrico y magnético para\(\textrm{TEM}\) las ondas tienen la misma forma de soluciones en el plano transversal al eje de la línea de transmisión que para la estática. El conductor interno dentro de una estructura de línea de transmisión cerrada como un cable coaxial es necesario para\(\textrm{TEM}\) las ondas ya que lleva una corriente superficial y una distribución de carga superficial, que son la fuente de los campos magnético y eléctrico. Una estructura conductora hueca, llamada guía de ondas, no puede propagar\(\textrm{TEM}\) ondas ya que los campos estáticos dentro de una estructura conductora que no encierra corriente o carga son cero.

    Sin embargo, se permiten nuevas soluciones con campos eléctricos o magnéticos a lo largo del eje de la guía de ondas así como en el plano transversal. Tales soluciones también pueden propagarse a lo largo de las líneas de transmisión. Aquí la corriente de desplazamiento axial puede actuar como fuente del campo magnético transversal dando lugar a modos magnéticos transversales (\(\textrm{TM}\)) ya que el campo magnético se encuentra completamente dentro del plano transversal. De manera similar, un campo magnético axial variable en el tiempo genera modos eléctricos transversales (\(\textrm{TE}\)). Las soluciones más generales permitidas en una línea de transmisión son\(\textrm{TEM}\)\(\textrm{TM}\), y\(\textrm{TE}\) modos. Al quitar el conductor interno en una línea de transmisión cerrada se deja una guía de onda que solo puede propagarse\(\textrm{TM}\) y\(\textrm{TE}\) modos.

    Ecuaciones Gobernantes

    Para desarrollar estas soluciones generales volvemos a las ecuaciones de Maxwell en un material lineal libre de fuentes:

    \ [\ begin {align}\ nabla\ veces\ textbf {E} &=-\ mu\ frac {\ parcial\ textbf {H}} {\ parcial t}\ nonumber\
    \ nabla\ veces\ textbf {H} &=\ varepsilon\ frac {\ parcial\ textbf {E}} {\ t parcial}\ nonúmero\
    \ varepsilon\ nabla\ cdot\ textbf {E} &=0\ nonumber\\
    \ mu\ nabla\ cdot \ textbf {H} &=0\ end {align}\ nonumber\]

    Tomando el rizo de la ley de Faraday, ampliamos el producto de doble cruz y luego sustituimos la ley de Ampere para obtener una ecuación vectorial simple en\(\textbf{E}\) solitario:

    \ begin {align}\ nabla\ times\ left (\ nabla\ times\ textbf {E}\ derecha) &=\ nabla\ izquierda (\ nabla\ cdot\ textbf {E}\ derecha) -\ nabla^ {2}\ textbf {E}\ nonumber\\ &
    =-\ mu\ frac {\ parcial} {\ t parcial}\ izquierda (\ nabla\ veces\ textbf {H}\ derecha)\ nonumber\\ &
    =-\ varepsilon\ mu\ frac {\ parcial ^2\ textbf {E}} {\ parcial t^2}\ end {align}

    \(\nabla \cdot  \textbf{E}=0\)Desde la ley de Gauss cuando la densidad de carga es cero, (2) se reduce a la ecuación de onda vectorial en\(\textbf{E}\):

    \[ \nabla^{2}\textbf{E}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2 \textbf{E}}{\partial t^2},\quad c^{2}=\frac{1}{\varepsilon \mu } \nonumber \]

    Si tomamos el rizo de la ley de Ampere y realizamos operaciones similares, también obtenemos la ecuación de onda vectorial en\(\textbf{H}\):

    \[ \nabla^{2}\textbf{H}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2 \textbf{H}}{\partial t^2} \nonumber \]

    Las soluciones para\(\textbf{E}\) y\(\textbf{H}\) en (3) y (4) no son independientes. Si resolvemos para cualquiera\(\textbf{E}\) o\(\textbf{H}\), el otro campo se obtiene de (1). Las ecuaciones de onda vectorial en (3) y (4) son válidas para cualquier guía de onda conformada. En particular, nos limitamos en este texto a guías de onda cuya forma de sección transversal es rectangular, como se muestra en la Figura 8-27.

    Modos Magnéticos Transversales (TM)

    Primero consideramos\(\textrm{TM}\) los modos donde el campo magnético tiene\(x\) y\(y\) componentes pero ningún\(z\) componente. Es más sencillo resolver (3) para el\(z\) componente del campo eléctrico y luego obtener los otros componentes del campo eléctrico y magnético en términos de\(E_{z}\) directamente a partir de las ecuaciones de Maxwell en (1).

    Asumimos así soluciones de la forma

    \[ E_{z}=\textrm{Re}\left [ \hat{E}_{z}\left ( x,y \right )e^{j\left ( \omega t-k_{z}z \right )} \right ] \nonumber \]

    donde se asume una\(z\) dependencia exponencial porque se supone que el área de la sección transversal de la guía de ondas es uniforme para\(z\) que ninguno de los coeficientes en (1) dependa de\(z\). Luego, sustituyendo en (3) produce la ecuación de Helmholtz:

    \[ \frac{\partial^2 E_{z}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_{z}}{\partial y^2}-\left ( k_{z}^{2}-\frac{\omega ^{2}}{c^{2}} \right )\hat{E}_{z}=0 \nonumber \]

    27.jpg
    Figura 8-27 Una guía de ondas sin pérdidas con sección transversal rectangular.

    Esta ecuación se puede resolver asumiendo la misma solución de producto utilizada para resolver la ecuación de Laplace en la Sección 4-2-1, de la forma

    \[ \hat{E}_{z}\left ( x,y \right )=X\left ( x \right )Y\left ( y \right ) \nonumber \]

    donde\(X\left ( x \right )\) es sólo una función de la\(x\) coordenada y\(Y\left ( y \right )\) es sólo una función de\(y\). Sustituir esta forma supuesta de solución en (6) y dividirla por\(X\left ( x \right )Y\left ( y \right )\) rendimientos

    \[ \frac{1}{X}\frac{d^{2}X}{dx^{2}}+\frac{1}{Y}\frac{d^{2}Y}{dy^{2}}=k_{z}^{2}-\frac{\omega ^{2}}{c^{2}} \nonumber \]

    Al resolver la ecuación de Laplace en la Sección 4-2-1 el lado derecho era cero. Aquí el razonamiento es el mismo. El primer término en el lado izquierdo en (8) es sólo una función de\(x\) mientras que el segundo término es sólo una función de\(y\). La única forma en que una función de\(x\) y una función de\(y\) pueden sumar una constante para todos\(x\) y\(y\) es si cada función por sí sola es una constante,

    \ [\ frac {1} {X}\ frac {d^ {2} X} {dx^ {2}} =-k_ {x} ^ {2}\
    \ frac {1} {Y}\ frac {d^ {2} Y} {dy^ {2}} =-k_ {y} ^ {2}\ nonumber\]

    donde las constantes de separación deben obedecer la relación

    \[ k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}=\omega ^{2}/c^{2} \nonumber \]

    Cuando resolvimos la ecuación de Laplace en la Sección 4-2-6, no hubo dependencia del tiempo así que eso\(\omega =0\). Entonces encontramos que al menos uno de los números de onda era imaginario, dando soluciones en descomposición. Para frecuencias finitas es posible que los tres números de onda sean reales para la propagación pura. Los valores de estos números de onda serán determinados por las dimensiones de la guía de ondas a través de las condiciones límite.

    Las soluciones a (9) son sinusoides de manera que la dependencia transversal del campo eléctrico axial\(\hat{E}_{z}\left ( x,y \right )\) es

    \[ \hat{E}_{z}\left ( x,y \right )=\left ( A_{1}\sin k_{x}x+A_{2}\cos k_{x}x \right )\left ( B_{1}\sin k_{y}y+B_{2}\cos k_{y}y \right ) \nonumber \]

    Debido a que la guía de ondas rectangular en la Figura 8-27 está compuesta por paredes perfectamente conductoras, el componente tangencial del campo eléctrico en las paredes es cero:

    \ [\ hat {E} _ {z}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =0,\ quad\ hat {E} _ {z}\ izquierda (x=0, y\ derecha) =0\
    \ sombrero {E} _ {z}\ izquierda (x, y=b\ derecha) =0,\ quad\ hat {E} _ _ {z}\ izquierda (x=a, y\ derecha) =0\ nonumber\]

    Estas condiciones de contorno entonces lo requieren\(A_{2}\) y\(B_{2}\) son cero para que (11) se simplifique a

    \[ \hat{E}_{z}\left ( x,y \right )=E_{0}\sin k_{x}x\sin k_{y}y \nonumber \]

    donde\(E_{0}\) es una amplitud de campo relacionada con la intensidad de una fuente y los números de onda transversales deben obedecer las igualdades

    \ [k_ {x} =m\ pi /a,\ quad m=1,2,3,... \\
    k_ {y} =m\ pi /b,\ quad n=1,2,3,... \ nonumber\]

    Tenga en cuenta que si cualquiera\(m\) o\(n\) es cero en (13), el campo eléctrico axial es cero. Las soluciones de guía de ondas se describen así como\(\textrm{TM}_{mn}\) modos donde ambos\(m\) y\(n\) son números enteros mayores que cero.

    Los demás componentes del campo eléctrico se encuentran a partir del\(z\) componente de la ley de Faraday, donde\(\textbf{H}_{z}=0\) y la ley de Gauss sin carga en (1):

    \ [\ frac {\ parcial E_ {y}} {\ parcial x} =\ frac {\ parcial E_ {x}} {\ parcial y}\
    \ frac {\ parcial E_ {x}} {\ parcial x} +\ frac {\ parcial E_ {y}} {\ parcial y} +\ frac {\ parcial E_ {z}} {\ parcial z} =0\ nonumber\]

    Al tomar\(\partial /\partial x\) de la ecuación superior y\(\partial /\partial y\) de la ecuación inferior, eliminamos\(E_{x}\) para obtener

    \[ \frac{\partial^2 E_{y}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_{y}}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2 E_{z}}{\partial y\partial z} \nonumber \]

    donde se conoce el lado derecho de (13). La solución general para\(E_{y}\) debe ser de la misma forma que (11), requiriendo nuevamente que el componente tangencial del campo eléctrico sea cero en las paredes de la guía de ondas,

    \[ \hat{E}_{y}\left ( x=0,y \right )=0,\quad \hat{E}_{y}\left ( x=a,y \right )=0 \nonumber \]

    para que la solución a (16) sea

    \[ \hat{E}_{y}=-\frac{jk_{y}k_{z}E_{0}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\sin k_{x}x\cos k_{y}y \nonumber \]

    Luego resolvemos por\(E_{x}\) usar la ecuación superior en (15):

    \[ \hat{E}_{x}=-\frac{jk_{x}k_{z}E_{0}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\cos k_{x}x\sin k_{y}y \nonumber \]

    donde vemos que las condiciones de frontera

    \[ \hat{E}_{x}\left ( x,y=0 \right )=0,\quad \hat{E}_{x}\left ( x,y=b \right )=0  \nonumber \]

    están satisfechos.

    El campo magnético se encuentra más fácilmente en la ley de Faraday

    \[ \hat{\textbf{H}}\left ( x,y \right )=-\frac{1}{j\omega \mu }\nabla \times \hat{\textbf{E}}\left ( x,y \right ) \nonumber \]

    para rendir

    \ [\ begin {align}\ hat {H} _ {x} &=-\ frac {1} {j\ omega\ mu}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ sombrero {E} _ _ {z}} {\ parcial y} -\ frac {\ parcial\ sombrero {E} _ {y}} {\ parcial z}\ derecha)\ nonumber\\ &
    =-\ frac {k_ {y} k^ {2}} {j\ omega\ mu\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)} E_ {0}\ sin k_ {x} x\ cos k_ {y} y\ nonumber\\ &
    =\ frac {j\ omega\ varepsilon k_ {y}} {k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}} E_ {0}\ sin k_ {x} x\ cos k_ {y} y\ nonumber\
    \ sombrero {H} _ {y} &=-\ frac {1} {j\ omega\ mu} izquierda (\ frac {\ parcial\ sombrero {E} _ _ {x}} {\ parcial z} -\ frac {\ parcial\ sombrero {E} _ {z}} {\ parcial x}\ derecha)\ nonumber\\ &
    =\ frac {k_ {y} k^ {2} E_ {0}} {j\ omega\ mu\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ cos k_ {x} x\ sin k_ {y} y\ nonumber\\ &
    =-\ frac {j\ omega\ varepsilon k_ {x}} {k_ {x} ^ {2} +k_ {} y ^ {2} E_ {0}\ cos k_ {x} x\ sin k_ {y} y\ nonumber\
    \ hat {H} _ {z} &=0\ end {align}\ nonumber\]

    Tenga en cuenta que las condiciones de contorno del componente normal de\(\textbf{H}\) ser cero en las paredes de la guía de ondas se satisfacen automáticamente:

    \ [\ hat {H} _ {y}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =0,\ quad\ hat {H} _ {y}\ izquierda (x, y=b\ derecha) =0\
    \ sombrero {H} _ {x}\ izquierda (x=0, y\ derecha) =0,\ quad\ hat {H} _ {y}\ izquierda (x=a, y\ derecha) =0\ nonumber\]

    La distribución de carga superficial en las paredes de la guía de ondas se encuentra a partir de la discontinuidad de\(\textbf{D}\) los campos normales:

    \ [\ hat {\ sigma} _ {f}\ izquierda (x=0, y\ derecha) =\ varepsilon\ hat {E} _ {x}\ izquierda (x=0, y\ derecha) =-\ frac {jk_ {z} k_ {x}\ varepsilon} {k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}} E_ {0}\ sin k_ {y} y\
    \ sombrero {\ sigma} _ {f}\ izquierda (x=a, y\ derecha) =-\ varepsilon\ hat {E} _ _ {x}\ izquierda (x=a, y\ derecha) =\ frac {jk_ {z} k_ {x}\ varepsilon} {k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}} E _ {0}\ cos m\ pi\ sin k_ {y} y\
    \ hat {\ sigma} _ {f}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =\ varepsilon\ hat {E} _ _ {x}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =-\ frac {jk_ {z} k_ {y}\ varepsilon} {k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}} E_ {0}\ sin k_ {x} x\
    \ sombrero {\ sigma} _ {f}\ izquierda (x, y=b\ derecha) =-\ varepsilon\ sombrero {E} _ {x}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =-\ frac {jk_ {z } k_ {y}\ varepsilon} {k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}} E_ {0}\ cos n\ pi\ sin k_ {x} x\ nonumber\]

    De igual manera, las corrientes superficiales se encuentran por la discontinuidad en los componentes tangenciales de\(\textbf{H}\) ser puramente\(z\) dirigidas:

    \ [\ hat {K} _ _ {z}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =-\ sombrero {H} _ {x}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =\ frac {k_ {y} k^ {2} E_ {0}\ sin k_ {x} x} {j\ omega\ mu\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\
    \ sombrero {K} _ {z}\ izquierda (x, y=b\ derecha) =\ sombrero {H} _ {x}\ izquierda (x, y=b\ derecha) =-\ frac {k_ {y} k^ {2} E_ {0}} {j\ omega\ mu\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha) }\ sin k_ {x} x\ cos n\ pi\
    \ sombrero {K} _ {z}\ izquierda (x=0, y\ derecha) =\ sombrero {H} _ {x}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =\ frac {k_ {x} k^ {2} E_ {0}} {j\ omega\ mu\ izquierda (k_ {x} ^ {^ 2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ sin k_ {y} y\
    \ sombrero {K} _ {z}\ izquierda (x=a, y\ derecha) =-\ sombrero {H} _ {x}\ izquierda (x=a, y\ derecha) =-\ frac {k_ {x} k^ {2} E_ {0}\ cos m\ pi\ sin k_ {y} y} {j\ omega\ mu\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ nonumber\]

    Vemos que si\(m\) o\(n\) son pares, las cargas superficiales y las corrientes superficiales en paredes opuestas son de signo opuesto, mientras que si\(m\) o\(n\) son impares, son del mismo signo. Esto nos ayuda a trazar las líneas de campo para los diversos\(\textrm{TM}_{mn}\). modos mostrados en la Figura 8-28. El campo eléctrico es siempre normal y el campo magnético tangencial a las paredes de la guía de ondas. Donde la carga superficial es positiva, el campo eléctrico apunta hacia fuera de la pared, mientras que apunta hacia donde la carga superficial es negativa. Para modos de orden superior, los patrones de campo mostrados en la Figura 8-28 se repiten dentro de la guía de ondas.

    Las ranuras a menudo se cortan en las paredes de la guía de ondas para permitir la inserción de una pequeña sonda deslizante que mide el campo eléctrico. Estas ranuras deben colocarse en posiciones de corriente superficial cero para que las distribuciones de campo de un modo particular solo se alteren de manera insignificante. Si se corta una ranura a lo largo de la\(z\) dirección de la\(y = b\) superficie en\(x = a/2\), la corriente de superficie dada en (25) es cero para\(\textrm{TM}\) los modos if\(\sin \left ( k_{x}a/2 \right )=0\), lo cual es cierto para los\(m=\textrm{even}\) modos.

    Modos Eléctricos Transversales (TE)

    Cuando el campo eléctrico se encuentra completamente en el\(xy\) plano, es más conveniente resolver primero (4) para\(H_{z}\). Entonces en cuanto a\(\textrm{TM}\) los modos asumimos una solución de la forma

    \[ H_{z}=\textrm{Re}\left [ \hat{H}_{z}\left ( x,y \right )e^{j\left (\omega t-k_{z}z  \right )} \right ] \nonumber \]

    que cuando se sustituye en (4) rinde

    \[ \frac{\partial^2 \hat{H}_{z}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \hat{H}_{z}}{\partial y^2}-\left ( k_{z}^{2}-\frac{\omega ^{2}}{c^{2}} \right )\hat{H}_{z}=0 \nonumber \]

    28.jpg

    28b.jpg
    Figura 8-28 Las líneas transversales de campo eléctrico y magnético para los\(\textrm{TM}_{21}\) modos\(\textrm{TM}_{11}\) y. El campo eléctrico está puramente\(z\) dirigido donde convergen las líneas de campo.

    Nuevamente esta ecuación se resuelve asumiendo una solución de producto y separando para dar una solución de la misma forma que (11):

    \[ \hat{H}_{z}\left ( x,y \right )=\left ( A_{1}\sin k_{x}x+A_{2}\cos k_{x}x \right )\left ( B_{1}\sin k_{y}y+B_{2}\cos k_{y}y \right ) \nonumber \]

    Las condiciones límite de cero componentes normales de\(\) H en las paredes de la guía de ondas requieren que

    \ [\ hat {H} _ {x}\ izquierda (x=0, y\ derecha) =0,\ quad\ hat {H} _ {x}\ izquierda (x=a, y\ derecha) =0\
    \ sombrero {H} _ {y}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =0,\ quad\ hat {H} _ {y}\ izquierda (x, y=b\ derecha) =0\ nonumber\]

    Usando operaciones idénticas como en (15) - (20) para los\(\textrm{TM}\) modos en que se encuentran las soluciones de campo magnético

    \ [\ begin {align}\ hat {H} _ {x} &=\ frac {jk_ {z} k_ {x} H_ {0}} {k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}}\ sin k_ {x} x\ cos k_ {y} y,\ quad k_ {x} =\ frac {m\ pi} a},\, k_ {y} =\ frac {n\ pi} {b}\ nonumber\
    \ sombrero {H} _ {y} &=\ frac {jk_ {z} k_ {y} H_ {0}} {k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}}\ sin k_ {x} x\ cos k_ {y} y\ nonumber\\
    \ hat {H} _ {z} &=H_ {0}\ cos k_ {x} x\ cos k_ {y} y\ end {align}\ nonumber\]

    El campo eléctrico se obtiene entonces más fácilmente de la ley de Ampere en (1),

    \[ \hat{\textbf{E}}=\frac{1}{j\omega \varepsilon }\nabla \times \hat{\textbf{H}} \nonumber \]

    para rendir

    \ [\ begin {align}\ hat {E} _ {x} &=\ frac {1} {j\ omega\ varepsilon}\ izquierda (\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial y}\ sombrero {H} _ _ {z} -\ frac {\ parcial} {\ parcial} {H} _ _ {y}\ derecha)\ nonumber\\ &
    =- frac {k_ {y} k^ {2} H_ {0}} {j\ omega\ varepsilon\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ cos k_ {x} x\ sin k_ {y} y\ nonumber\\ & ;
    =\ frac {j\ omega\ mu k_ {y}} {k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}} H_ {0}\ cos k_ {x} x\ sin k_ {y} y\ nonumber\
    \ sombrero {E} _ {y} &=\ frac {1} {j\ omega\ varepsilon}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ sombrero {H} _ {x}} {\ z parcial} -\ frac {\ parcial\ sombrero {H} _ {z}} {\ parcial x}\ derecha)\ nonumber\\ &
    =\ frac {k_ {x} k^ {2} H_ {0}} {j\ omega\ varepsilon\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ sin k_ {x} x\ cos k_ {y} y\ nonumber\\ &
    =-\ frac {j\ omega\ mu k_ {x}} {k_ {x}} {k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}} H_ {0}\ sin k_ {x} x\ cos k_ {y} y\ nonumber\
    \ sombrero {E} _ _ {z} &=0\ end {align}\ nonumber\]

    Vemos en (32) que según se requiera los componentes tangenciales del campo eléctrico en las paredes de la guía de ondas son cero. Las densidades de carga superficial en cada una de las paredes son:

    \ [\ hat {\ sigma} _ {f}\ izquierda (x=0, y\ derecha) =\ varepsilon\ hat {E} _ {x}\ izquierda (x=0, y\ derecha) =\ frac {-k_ {y} k^ {2} H_ {0}} {j\ omega\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ sin k_ {y} y\
    \ hat {\ sigma} _ {f}\ izquierda (x=a, y\ derecha) =-\ varepsilon\ hat {E} _ _ {x}\ izquierda (x=a, y\ derecha) =\ frac {k_ {y} k^ {2} H_ {0}} {j\ omega izquierda\ (k _ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ cos m\ pi\ sin k_ {y} y\
    \ hat {\ sigma} _ {f}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =\ varepsilon\ hat {E} _ {y}\ izquierda (x, y=0\ derecha) =-\ frac {k_ x} k^ {2} H_ {0}} {j\ omega\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ sin k_ {x} x\
    \ sombrero {\ sigma} _ {f}\ izquierda (x, y=b\ derecha) =-\ varepsilon\ sombrero {E} _ {y}\ izquierda (x, y=b\ derecha) =-\ frac {k_ {x} k^ {2} H_ {0}} {j\ omega\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ cos n\ pi\ sin k_ {x} x\ nonumber\]

    Para\(\textrm{TE}\) los modos, las corrientes superficiales determinadas a partir de la discontinuidad de la tangencial\(\textbf{H}\) ahora fluyen en trayectorias cerradas en las paredes de la guía de ondas:

    \ [\ begin {align}\ hat {\ textbf {K}}\ left (x=0, y\ right) &=\ textbf {i} _ {x}\ times\ hat {\ textbf {H}}\ left (x=0, y\ right)\ nonumber\\ &
    =\ textbf {i} _ _ {z}\ hat {H} _ _ {y}\ izquierda (x=0, y\ derecha) -\ textbf {i} _ {y}\ hat {H} _ {z}\ izquierda (x=0, y\ derecha)\ nonumber\
    \ hat {\ textbf {K}}\ izquierda (x=a, y\ derecha ) &=-\ textbf {i} _ {x}\ veces\ hat {\ textbf {H}}\ izquierda (x=a, y\ derecha)\ nonumber\\ &
    =-\ textbf {i} _ {z}\ hat {H} _ {y}\ left (x=a, y\ derecha) +\ textbf {i} _ {y}\ sombrero {H} _ {z}\ izquierda (x=a, y\ derecha)\ nonumber\
    \ sombrero {\ textbf {K}}\ izquierda (x, y=0\ derecha) &=\ textbf {i} _ {y}\ veces\ sombrero {\ textbf {H}}\ izquierda ( x, y=0\ derecha)\ nonumber\\ &
    =-\ textbf {i} _ {z}\ hat {H} _ {x}\ izquierda (x, y=0\ derecha) +\ textbf {i} _ {x}\ hat {H} _ {z}\ izquierda (x, y=0\ derecha)\ nonumber\
    \ hat {\ textbf {K}}\ izquierda (x, y=b\ derecha) &=-\ textbf {i} _ {y}\ veces\ hat {\ textbf {H}}\ izquierda (x, y=b\ derecha)\ nonumber\\ &
    =\ textbf {i} _ {z}\ hat {H} _ {x}\ izquierda (x, y=b\ derecha) -\ textbf {i} _ {x} _ {x}\ sombrero {H} _ {z}\ izquierda (x, y=b\ derecha)\ end {align}\ nonumber\]

    Tenga en cuenta que para\(\textrm{TE}\) los modos cualquiera\(n\) o\(m\) (pero no ambos) puede ser cero y aún así producir un conjunto no trivial de soluciones. Como se muestra en la Figura 8-29, cuando\(n\) es cero no hay variación en los campos en la\(y\) dirección y el campo eléctrico se\(y\) dirige puramente mientras que el campo magnético no tiene\(y\) componente. Los patrones de\(\textrm{TE}_{21}\) campo\(\textrm{TE}_{11}\) y son representativos de los modos de orden superior.

    Cut-t

    Los onumerostransversales son

    \[ k_{x}=\frac{m\pi }{a},\quad k_{y}=\frac{n\pi }{b} \nonumber \]

    de manera que la variación axial de los campos se obtiene de (10) como

    \[ k_{z}=\left [ \frac{\omega_{2}}{c^{2}}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} \right ]^{1/2}=\left [ \frac{\omega^{2}}{c^{2}}-\left ( \frac{m\pi }{a} \right )^{2}-\left ( \frac{n\pi }{b} \right )^{2} \right ]^{1/2} \nonumber \]

    29.jpg
    Figura 8-29 (a) Las líneas transversales de campo eléctrico y magnético para diversos\(\textrm{TE}\) modos. El campo magnético está puramente\(z\) dirigido donde convergen las líneas de campo. El\(\textrm{TE}_{10}\) modo se llama el modo dominante ya que tiene la frecuencia de corte más baja. (b) Líneas de corriente superficial para el\(\textrm{TE}_{10}\) modo.
    29b.jpg
    Figura 8-29

    Así, aunque\(k_{x}\) y\(k_{y}\) son reales,\(k_{z}\) pueden ser reales puros o puros imaginarios. Un valor real de\(k_{z}\) representa el flujo de potencia hacia abajo de la guía de ondas en la dirección z. Un valor imaginario de decaimiento exponencial\(k_{z}\) medio sin flujo de potencia promedio en el tiempo. La transición de las ondas propagantes (\(k_{z}\)reales) a la evanescencia (\(k_{z}\)imaginaria) ocurre para\(k_{z}=0\). La frecuencia cuando es cero se llama la frecuencia de corte\(\omega _{c}\):

    \[ \omega _{c}=c\left [ \left ( \frac{m\pi }{a} \right )^{2}+\left ( \frac{n\pi }{b} \right )^{2} \right ]^{1/2} \nonumber \]

    Esta frecuencia varía para cada modo con los parámetros de modo\(m\) y\(n\). Si asumimos que\(a\) es mayor que\(b\), la frecuencia de corte más baja ocurre para el\(\textrm{TE}_{10}\) modo, que se denomina modo dominante o fundamental. Ningún modo puede propagarse por debajo de esta frecuencia crítica más baja\(\omega _{c0}\):

    \[ \omega _{c0}=\frac{\pi c}{a}\Rightarrow f_{c0}=\frac{\omega _{c0}}{2\pi }=\frac{c}{2a}\textrm{Hz} \nonumber \]

    Si una guía de ondas llena de aire tiene\(a=1\,\textrm{cm}\), entonces\(f_{c0}=1.5\times 10^{10}\,\textrm{Hz}\), mientras que si\(a=10\,\textrm{cm}\), entonces\(f_{c0}=15\,\textrm{MHz}\). Esto explica por qué normalmente no podemos escuchar la radio cuando circulamos por un túnel. A medida que la frecuencia se eleva por encima\(\omega _{c0}\), otros modos pueden propagarse.

    La velocidad de fase y grupo de las olas son

    \ [v_ {p} =\ frac {\ omega} {k_ {z}} =\ frac {\ omega} {\ left [\ frac {\ omega^ {2}} {c^ {2}} -\ izquierda (\ frac {m\ pi} {a}\ derecha) ^ {2} -\ izquierda (\ frac {n\ pi} {b}\ derecha) ^ ^ {2}\ derecha] ^ {1/2}}\\
    v_ {g} =\ frac {d\ omega} {dk_ {z}} =\ frac {k_ {z} c^ {2}} {\ omega} =\ frac {c^ {2}} {v_ {p}}\ Rightarrow v_ {g} v_ {p} =c^ {2}\ umber\]

    Al corte,\(v_{g}=0\) y\(v_{p}=\infty \) con su producto siempre una constante.

    Flujo de potencia de guía de ondas

    El flujo de potencia promediado en el tiempo por unidad de área a través de la guía de ondas se encuentra a partir del vector Poynting:

    \[ <\textbf{S}>=\frac{1}{2}\textrm{Re}\left ( \hat{\textbf{E}}\times \hat{\textbf{H}}^{\ast }\right ) \nonumber \]

    (a) Flujo de potencia para los modos TM

    Sustituir las soluciones de campo que se encuentran en la Sección 8-6-2 en (40) rendimientos

    \ [\ begin {align &= <\ textbf {S} >\ frac {1} {2}\ textrm {Re}\ left [\ left (\ hat {E} _ {x}\ textbf {i} _ {x} +\ hat {E} _ {y}\ textbf {i} _ {y} +\ hat {E} _ {z}\ textbf {i} _ {z}\ textbf {i} _ {z}\ derecha) e^ {-jk_ {z} z}\ veces\ izquierda (\ hat {H} _ {x} ^ {\ ast}\ textbf {i} _ {x} +\ hat {H} _ {y} ^ {\ ast}\ textbf {i} _ {y}\ derecha) e^ {+jk_ {z} ^ {\ ast} z}\ derecha]\ nonúmero\\ &
    =\ frac {1} {2}\ textrm {Re}\ izquierda [\ izquierda (\ sombrero {E} _ {x}\ sombrero {H} _ {y} ^ {\ ast} -\ sombrero {E} _ {y}\ sombrero {H} _ {x} ^ {\ ast}\ derecha)\ textbf {i} _ {z} +\ sombrero {E} _ {z}\ left (\ hat {H} _ {x} ^ {\ ast}\ textbf {i} _ {y} -\ hat {H} _ {y} ^ {\ ast}\ textbf {i} _ {x}\ derecha)\ derecha] e^ {-j\ izquierda (k_ {z} -k_ {z} ^ {\ ast}\ derecha) z}\ end {align}\ nonumber\]

    donde recordamos que\(k_{z}\) puede ser imaginario para un modo particular si la frecuencia está por debajo de corte. Para los modos de propagación donde\(k_{z}\) es real para que\(k_{z}=k_{z}^{\ast }\), no haya\(z\) dependencia en (41). Para los modos evanescentes donde\(k_{z}\) es puro imaginario, la dependencia z del vector Poynting es un exponencial real en descomposición de la forma\(e^{-2\left | k_{z} \right |z}\). Para cualquiera de los casos vemos a partir de (13) y (22) que el producto de\(\hat{E}_{z}\) con ff. y\(\hat{H}_{x}\) es puro imaginario de manera que las partes reales del flujo de potencia promedio de tiempo\(x\) - y\(y\) -dirigido son cero en (41). Solo el\(z\) flujo de potencia dirigido puede tener un promedio de tiempo:

    \[ <\textbf{S}>=\frac{\omega \varepsilon \left | E_{0} \right |^{2}}{2\left ( k_{x}^{2}+k_{y}^{2} \right )}\textrm{Re}\left [ k_{z}e^{-j\left ( k_{z}-k_{z}^{\ast }\right )z}\left ( k_{x}^{2}\cos ^{2}k_{x}x\sin ^{2} k_{y}y+ k_{y}^{2}\sin^{2}k_{x}x\cos^{2} k_{y}y\right ) \right ]\textbf{i}_{z} \nonumber \]

    Si\(k_{z}\) es imaginario, tenemos eso\(<\textbf{S}>=0\) mientras que un real\(k_{z}\) da como resultado un flujo de potencia promedio en el tiempo distinto de cero. El flujo\(z\) de potencia total dirigido se encuentra integrando (42) sobre el área de la sección transversal de la guía de ondas:

    \ [\ begin {align} <P>&=\ int_ {x=0} ^ {a}\ int_ {y=0} ^ {b dxdy <S_ {z} >\ nonumber\\ & =
    \ frac {\ omega\ varepsilon k_ {z} Abe_ {0} ^ {2}} {8\ left (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)}\ end {align}\ nonumber\]

    donde se asume que\(k_{z}\) es real, y utilizamos las siguientes identidades:

    \ [\ int_ {0} ^ {a}\ sin ^ {2}\ frac {m\ pi x} {a} dx=\ frac {a} {m\ pi}\ izquierda (\ frac {1} {2}\ frac {m\ pi x} {a} -\ frac {1} {4}\ sin\ frac {2m\ pi x} {a}\ derecha)\ bigg|_ {0} ^ {a} =\ left\ {\ begin {matrix}
    a/2,\ quad m\ neq 0\\
    0,\ quad m=0
    \ end {matrix}\ right. \\
    \ int_ {0} ^ {a}\ cos ^ {2}\ frac {m\ pi x} {a} dx=\ frac {a} {m\ pi}\ izquierda (\ frac {1} {2}\ frac {m\ pi x} {a} +\ frac {1} {4}\ sin\ frac {2m\ pi x} {a}\ derecha)\ bigg|_ {0} ^ {a} =\ left\ {\ begin {matrix}
    a/2,\ quad m\ neq 0\\
    0,\ quad m=0
    \ end {matrix}\ right. \ nonumber\]

    Para los\(\textrm{TM}\) modos, tanto m como n deben ser distintos de cero.

    (b) Flujo de potencia para los modos TE

    El mismo razonamiento se utiliza para los campos electromagnéticos que se encuentran en la Sección 8-6-3 sustituidos en (40):

    \ [\ begin {align &= <\ textbf {S} >\ frac {1} {2}\ textrm {Re}\ left [\ left (\ hat {E} _ {x}\ textbf {i} _ {x} +\ hat {E} _ {y}\ textbf {i} _ {y}\ derecha) e^ {-jk_ {z}}\ veces\ left (\ hat {H} _ _ {x} ^ {\ ast}\ textbf {i} _ {x} +\ hat {H} _ {y} ^ {\ ast}\ textbf {i} _ {y} +\ hat {H} _ {z} ^ {\ ast}\ textbf {i} _ {z}\ derecha) e^ {+jk_ {z} ^ {ast\ z}}\ derecho]\ nonúmero\\ &
    =\ frac {1} {2}\ textrm {Re}\ izquierda [\ izquierda (\ sombrero {E} _ {x}\ sombrero {H} _ {y} ^ {\ ast} -\ sombrero {E} _ {y}\ sombrero {H} _ {x} ^ {\ ast}\ derecha)\ textbf {i} _ {z} -\ sombrero {H} _ _ {z} -\ sombrero {H} _ _ {z} _ {z}} ^ {\ ast}\ izquierda (\ hat {E} _ {x}\ textbf {i} _ {y} -\ hat {E} _ {y}\ textbf {i} _ {x}\ derecha)\ derecha] e^ {-j\ izquierda (k_ {z} -k_ {z} ^ {\ ast}\ derecha) z}\ end {align}\ nonumber\]

    De igual manera, nuevamente tenemos que el producto de\(\hat{H}_{z}^{\ast }\) con\(\hat{E}_{x}\) y\(\hat{E}_{y}\) es puro imaginario para que no haya flujos de potencia promedio de tiempo\(x\)\(y\) -y -dirigidos. El\(z\) flujo de potencia dirigido se reduce a

    \[ <S_{z}>=\frac{1}{2}\frac{\omega \mu H_{0}^{2}}{\left ( k_{x}^{2}+k_{y}^{2} \right )}\left ( k_{y}^{2}\cos ^{2} k_{x}x\sin ^{2}k_{y}y+k_{x}^{2}\sin ^{2}k_{x}x\cos ^{2}k_{y}y\right )\textrm{Re}\left ( k_{z}e^{-j\left ( k_{z}-k_{z}^{\ast } \right )z} \right ) \nonumber \]

    Nuevamente tenemos un flujo\(z\) de potencia promedio de tiempo no dirigido a cero solo si\(k_{z}\) es real. Entonces la potencia total dirigida por z es

    \ [<P>=\ int_ {x=0} ^ {a}\ int_ {y=0} ^ {b <S_ {z} >, dy=\ left\ {\ begin {matrix}\
    frac {\ omega\ mu k_ {z} AbH_ {0} ^ {2}} {8\ left (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)},\ quad m, n\ neq 0\\\
    frac {\ omega\ mu k_ {z} AbH_ {0} ^ {2}} {4\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)},\ quad m\,\ textrm {o}\, n\ neq 0
    \ end {matriz}\ derecha. \ nonumber\]

    donde nuevamente usamos las identidades de (44). Anote el factor de\(2\) diferencias en (47) para cualquiera de los modos\(\textrm{TE}_{10}\) o\(\textrm{TE}_{01}\),. Ambos\(m\) y\(n\) no pueden ser cero ya que el\(\textrm{TE}_{00}\) modo se reduce al campo magnético no\(z\) dirigido espacialmente constante trivial.

    Pérdidas de muro

    Si las paredes de la guía de ondas tienen una conductividad óhmica alta pero no infinita\(\sigma _{w}\), podemos calcular la tasa de atenuación espacial utilizando el enfoque de perturbación aproximada descrito en la Sección 8-3-4b. Los campos se descomponen como\(e^{-\alpha z}\), donde

    \[ \alpha =\frac{1}{2}\frac{<P_{dL}>}{<P>} \nonumber \]

    donde\(<P_{dL}>\) es la potencia disipada promedio en el tiempo por unidad de longitud y\(<P>\) es el flujo de potencia electromagnética en la guía de ondas sin pérdidas derivado en la Sección 8-6-5 para cada uno de los modos.

    En particular, calculamos a para el\(\textrm{TE}_{00}\) modo\(\left ( k_{x}=\pi /a,k_{y}=0 \right )\). Los campos de guía de ondas son entonces

    \ [\ begin {align}\ hat {\ textbf {H}} &=H_ {0}\ left (\ textbf {i} _ {x}\ frac {jk_ {z} a} {\ pi}\ sin\ frac {\ pi x} {a} +\ cos\ frac {\ pi x} {a}\ textbf {i} _ {z}\ derecha)\ nonumber\
    \ sombrero {\ textbf {E}} &=-\ frac {j\ omega\ mu a} {\ pi} H_ {0}\ sin\ frac {\ pi x} {a}\ textbf {i} _ {y}\ end {align}\ nonumber\]

    La corriente superficial en cada pared se encuentra de (34) como

    \[ \begin{align}\hat{\textbf{K}}\left ( x=0,y \right )&=\hat{\textbf{K}}\left ( x=a,y \right )=-H_{0}\textbf{i}_{y}\nonumber \\ \hat{\textbf{K}}\left ( x,y=0 \right )&=-\hat{\textbf{K}}\left ( x,y=b \right )=H_{0}\left ( -\textbf{i}_{z}\frac{jk_{z}a}{\pi }\sin \frac{\pi x}{a}+\textbf{i}_{x}\cos \frac{\pi x}{a} \right )\end{align} \nonumber \]

    Con paredes con pérdida, el componente del campo eléctrico\(\textbf{E}_{w}\) dentro de las paredes está en la misma dirección que la corriente superficial proporcional por una conductividad superficial\(\sigma _{w}\delta \), donde\(\delta \) está la profundidad de la piel como se encuentra en la Sección 8-3-4b. La densidad de potencia disipada promedio en el tiempo por unidad de área en las paredes es entonces:

    <P_ {d}\ left (x, y=0\ right) >\ [\ begin {align &= <P_ {d}\ left (x=0, y\ right) > \<P_ {d}\ left (x=a, y\ right) > nonumber\\ &=\ frac {1} {2}\ textrm {Re}\ left (\ hat {\ textbf {E}} _ {w}\ cdot\ hat {\ textbf {K}} ^ {\ ast}\ right) =\ frac {1} {2}\ frac {H_ {0} ^ 2}} {\ sigma _ {w}\ delta}\ nonumber\\\ &=<P_
    {d}\ izquierda (x, y=b\ derecha) >\ nonumber\\ &=\ frac {1} {2}\ frac {H_ {0} ^ {2}} {\ sigma _ {w}\ delta}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {k_ {z} a} {\ pi}\ derecha) ^ {2}\ sin ^ {2}\ frac\ pi x} {a} +\ cos ^ {2}\ frac {\ pi x} {a}\ derecha]\ end {align}\ nonumber\]

    El tiempo total promedio de potencia disipada por unidad de longitud\(<P_{dL}>\) requerida en (48) se obtiene integrando cada uno de los términos en (51) a lo largo de las paredes de la guía de ondas:

    \ [\ begin {align &= <P_ {dL} >\ int_ {0} ^ {b}\ izquierda [+\ <P_ {d}\ left (x=0, y\ right) > derecha<P_ {d}\ left (x=a, y\ right) >] dy\ nonumber\\ &\ quad +\
    int_ {0} ^ {a}\ izquierda [+\ derecha <P_ {d}\ left (x, y=0\ right) > ]<P_ {d}\ left (x, y=b\ right) > dx\ nonumber\\ & =\ frac
    {H_ {0} ^ {2} b} {\ sigma _ {w}\ delta} +\ frac {H_ {0} ^ {2}} {\ sigma _ {w}\ delta}\ int_ {0} ^ {a}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {k_ {z} a} {\ pi}\ derecha) ^ {2}\ sin ^ {2}\ frac {\ pi x} a} +\ cos ^ {2}\ frac {\ pi x} {a}\ derecha] dx\ nonumber\\ &
    =\ frac {H_ {0} ^ {2}} {\ sigma _ {w}\ delta}\ izquierda\ {b+\ frac {a} {2}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {k_ {z} a} {\ pi}\ derecha) ^ {2} +1\ derecha]\ derecha\} =\ frac {H_ {0} ^ {2}} {\ sigma _ {w}\ delta}\ izquierda [b+\ frac {a} {2}\ izquierda (\ frac {\ omega ^ {2} a^ {2}} {\ pi ^ {2} c^ {2}}\ derecha)\ derecha]\ final {align}\ nonumber\]

    mientras que la potencia electromagnética por encima del corte para el\(\textrm{TE}_{10}\) modo viene dada por (47),

    \[ <P>=\frac{\omega \mu k_{z}abH_{0}^{2}}{4\left ( \pi /a \right )^{2}} \nonumber \]

    para que

    \[ \alpha =\frac{1}{2}\frac{<P_{dL}>}{<P>}=\frac{2\left ( \frac{\pi }{a} \right )^{2}\left [ b+\frac{a}{2}\left ( \frac{\omega ^{2}a^{2}}{\pi ^{2}c^{2}}\right ) \right ]}{\omega \mu abk_{z}\sigma _{w}\delta } \nonumber \]

    donde

    \[ k_{z}=\left [ \frac{\omega ^{2}}{c^{2}}-\left ( \frac{\pi }{a} \right )^{2} \right ]^{1/2};\quad \frac{\omega }{c}> \frac{\pi }{a} \nonumber \]


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